Помогите разобраться с теоремой Гаусса (про поток).

[Munin]

The_my_friend_you в сообщении #1314680 писал(а):

К тому же она даже в школах изучается.

Есть две теоремы Гаусса. Одна изучается в школе, и относится к физике. Это

$$\oint\limits_S \vec{E}\,d\vec{S}\equiv\oint\limits_S \vec{E}\cdot\vec{n}\,dS=\tfrac{1}{\varepsilon_0}\int\limits_V \rho\,dV=\tfrac{1}{\varepsilon_0}Q.$$

А в вузе изучается другая теорема Гаусса (теорема Гаусса-Остроградского)

$$\oint\limits_S \vec{v}\,d\vec{S}=\int\limits_V \operatorname{div}\vec{v}\,dV.$$

Они между собой тесно связаны, вторая используется для доказательства первой.

[The_my_friend_you]

pogulyat_vyshel спасибо за помощь

[Munin]

Для случая электростатики (неподвижные заряды и неизменные электрические поля) теорему Гаусса (физическую) можно доказать элементарными методами, то есть по методу Ньютона.

Рассмотрим каждый точечный заряд, создающий вокруг себя кулоновское электрическое поле

$$\vec{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\,\vec{r}}{r^3}.$$

Суммарное электрическое поле - это поле, получаемое векторной суммой этих кулоновских полей, рассчитанной в каждой точке пространства (принцип суперпозиции). Соответственно, и интеграл от поля можно считать как сумму интегралов для каждого отдельного точечного заряда.

Дальше рассмотрим два случая:

I. Точечный заряд охвачен поверхностью интегрирования.

Разобьём всё пространство вокруг заряда на тонкие конические трубки прямыми лучами, которые исходят из точки заряда. Каждая такая трубка будет содержать телесный угол $d\Omega,$ а все вместе - они будут содержать телесный угол $\int d\Omega=4\pi.$ Поверхность интегрирования будет пересекать каждую трубку 1 раз, а если она пересечёт какую-то трубку несколько раз, то это будет нечётное число раз, и ориентация пересечений будет разной: $k$ раз нормаль к поверхности будет направлена "наружу", от заряда, и $k-1$ раз - нормаль будет направлена "внутрь", к заряду. Если поверхность пересекает трубку как-то более сложно, то разобьём её на более мелкие трубки - всё равно для интегрирования нам надо будет взять предел, при котором $d\Omega\to 0.$

Далее, поставим каждой трубке $d\Omega$ такой элемент поверхности $dS,$ который высекается из поверхности интегрирования этой трубкой. Если трубка достаточно тонкая, то поверхность интегрирования в этом элементе приблизительно плоская, и может быть задана одним вектором нормали $\vec{n},$ а расстояние от точки заряда - расстоянием $r$ и радиус-вектором $\vec{r}.$ Тогда поперечное сечение трубки в месте пересечения будет $d\Sigma=r^2\,d\Omega,$ а площадь элемента поверхности - с учётом взаимного наклона поверхности и трубки, $dS=d\Sigma/\cos\alpha,$ где $\alpha$ - угол наклона поверхности, отсчитываемый так, что нормальная поверхность имеет $\alpha=0$ - тогда $\cos\alpha=1.$ Посчитать $\cos\alpha$ можно по правилам векторной алгебры, поскольку мы знаем, что $\vec{r}\,\vec{n}=r\cdot 1\cdot\cos\alpha.$ Соберём всё это вместе:

$$dS=\dfrac{r^2}{\cos\alpha}\,d\Omega=\dfrac{r^3}{\vec{r}\,\vec{n}}\,d\Omega.$$

И подставим в интеграл Гаусса для нашего одиночного точечного заряда:

$$\oint\limits_S \vec{E}\,\vec{n}\,dS=\oint\limits_S \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\biggl(\dfrac{q\,\vec{r}}{r^3}\cdot\vec{n}\biggr)\dfrac{r^3}{\vec{r}\,\vec{n}}\,d\Omega=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint\limits_S d\Omega.$$

У нас остался интеграл от телесных углов, взятый по всей поверхности, охватывающей заряд. Из-за того, что поверхность замкнута, и охватывает заряд ровно один раз, этот интеграл равен $4\pi,$ даже если трубка пересекает поверхность несколько раз: при пересечениях "нормалью внутрь" $d\Omega$ будет формально отрицательным, и в итоге вклад каждой трубки в сумме по всем пересечениям поверхности будет ровно равен угловому размеру $d\Omega$ этой трубки. Итак:

$$\oint\limits_S \vec{E}\,\vec{n}\,dS=\ldots=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.$$

II. Точечный заряд находится вне поверхности интегрирования.

Проделаем всё точно так же: разобьём всё пространство вокруг заряда на тонкие конические трубки. Но теперь поверхность интегрирования будет пересекать каждую трубку чётное число раз: на $k$ пересечений "нормалью наружу" приходится столько же, $k$ пересечений "нормалью внутрь". Далее все выкладки аналогичны, кроме того, что интеграл от телесных углов, взятых с учётом направления нормали, будет равен 0. По сути, мы видим "из точки заряда" поверхность интегрирования снаружи, и угловая площадь "её стороны, повёрнутой к нам", будет в точности равна угловой площади "стороны, повёрнутой от нас", так как поверхность замкнутая. Итак:

$$\oint\limits_S \vec{E}\,\vec{n}\,dS=\ldots=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 0=0.$$

Суммируем по всем зарядам, и получаем искомое соотношение.

[The_my_friend_you]

Munin Огромное вам спасибо! Всё более-менее понятно.

[Pphantom]

The_my_friend_you в сообщении #1314692 писал(а):

Ну да, у меня в наилучшем случае уровень 10-11 класса по математике (а в некоторых темах комбинаторики вообще днищенский). Опыта в приложении её к физике - только по механике чутка, изучал математика абсолютно отрешенно от физики.

Ну, комбинаторика тут роли не играет, а вот матанализ был бы очень кстати.

The_my_friend_you в сообщении #1314692 писал(а):

Проблема как раз в том что понять её я не никак не могу.

Все-таки сформулируйте то, что Вы понять никак не можете.

The_my_friend_you в сообщении #1314692 писал(а):

Я и тут сделал ошибку?

Нет, но тогда, когда теорема Гаусса изучается "сразу после...", никаких потоков не появляется и формулировка выглядит иначе (при этом доказывать теорему никто не пытается).

Дальше, собственно, уже все написали,

[EUgeneUS]

The_my_friend_you
Так как ошибку в своем первом посте Вы сами не нашли, осталось впечатление, что понимания (например, причем тут нормаль) так и не наступило. Поэтому вернемся на пару шагов назад.
Итак,
вот это тыква:

The_my_friend_you в сообщении #1314670 писал(а):

$$\int\limits_{}^{} \overrightarrow E dS $$

А вот это правильно:

Munin в сообщении #1314713 писал(а):

$$\oint\limits_S \vec{E}\,d\vec{S}\equiv\oint\limits_S \vec{E}\cdot\vec{n}\,dS=...$$

Разница в том, что $d\vec{S}$ - это вектор, а не скаляр. И считается сумма большого количества маленьких скалярных произведений.
Как маленькая площадка может быть вектором? С точки зрения банальной эрудиции и школьной программы это рвет голову.
А вот как: в качестве вектора мы берем нормаль к этой площадке, и этот вектор единичной длины умножаем на её площадь. Теперь можно сначала посчитать скалярное произведение, получить скаляр, умножить его опять на маленький скаляр (площадь элементарной площадки) и все просуммировать по всей поверхности. Это отражено во втором правильном варианте записи.

Зачем это нужно.
Представим что векторное поле - это поле скоростей несжимаемой жидкости, многим так понятнее. Есть труба, через которую она течет. Поток (суммарный, через всю трубу) - один кубометр в час.
Посчитаем его. Возьмем перпендикулярное сечение трубы, посмотрим сколько течет через каждую маленькую площадку (это скорость течения, она может быть разная, например), просуммируем, получим один кубометр в час.
А теперь возьмем какое-то косое сечение, скорости те же, а площадь сечения увеличилась, и как же нам получить правильный один кубометр в час? А очень просто, нужно считать не просто поток через маленькую площадку (это модуль скорости), а перпендикулярную относительно маленькой площадки составляющую потока (скорости).
Как это сделать? Нужно взять перпендикуляр к площадке и посчитать проекцию скорости на него. А это ничто иное как скалярное произведение скорости (векторного поля), на нормаль к поверхности.

-- 25.05.2018, 09:05 --

Теперь присоединяюсь к вопросу:

Pphantom в сообщении #1314741 писал(а):

Все-таки сформулируйте то, что Вы понять никак не можете.

[The_my_friend_you]

EUgeneUS в сообщении #1314776 писал(а):

Так как ошибку в своем первом посте Вы сами не нашли, осталось впечатление, что понимания (например, причем тут нормаль) так и не наступило.

О полном понимании безусловно говорить не приходится, потому и написал что всё лишь более-менее понятно. Почему используется $\overrightarrow n$ в случае когда заряд находится внутри я примерно понимаю, потому что угол между $\overrightarrow n$ и $\overrightarrow E$ таким же как и угол между dS1 который $\perp$ $\overrightarrow E$ и dS (который пронизывает этот $\overrightarrow E$) на выбранной замкнутой поверхности ( если я неправильно понял буду рад пояснению). А вот почему в случае когда заряд находится вне замкнутой поверхности используется точно также используется $\overrightarrow n$ я понимаю довольно слабо, хотя то что коническая трубка будет

Munin в [quote="Munin в сообщении #1314725 писал(а):

теперь поверхность интегрирования будет пересекать каждую трубку чётное число раз: на $k$ пересечений "нормалью наружу" приходится столько же, $k$ пересечений "нормалью внутрь"

я понимаю.

-- 25.05.2018, 11:28 --

EUgeneUS в сообщении #1314776 писал(а):

Pphantom в сообщении #1314741

писал(а):
Все-таки сформулируйте то, что Вы понять никак не можете.

Непонятно почему в любом случае используется нормаль (почему она используется когда заряд внутри замкнутой поверхности я вроде понимаю, см. выше

-- 25.05.2018, 11:31 --

Pphantom в сообщении #1314741 писал(а):

Нет, но тогда, когда теорема Гаусса изучается "сразу после...", никаких потоков не появляется и формулировка выглядит иначе (при этом доказывать теорему никто не пытается).

То есть плохо что я пытаюсь понять её нормально (доказательно) из-за того что не обладаю достаточным уровнем знаний? Стоит просто принять её как факт?

[EUgeneUS]

Поясните, пожалуйста, вот эту фразу, я её не понял:

The_my_friend_you в сообщении #1314799 писал(а):

Почему используется $\overrightarrow n$ в случае когда заряд находится внутри я примерно понимаю, потому что угол между $\overrightarrow n$ и $\overrightarrow E$ таким же как и угол между dS1 который $\perp$ $\overrightarrow E$ и dS (который пронизывает этот $\overrightarrow E$) на выбранной замкнутой поверхности ( если я неправильно понял буду рад пояснению).

Со слов "таким же".

И поймите один простой момент: нам вообще без разницы, где заряд, когда считаем поверхностный интеграл. На примере с трубкой: нам без разницы, где насос, который воду гонит, мы считаем поток локально, через каждую маленькую площадку и суммируем.

Это уже потом: когда посчитаем, по всей замкнутой поверхности, "волшебным образом" окажется, что интеграл будет равен нулю, если внутри не оказалось насосов или сливов (и жидкость несжимаемая, не забываем).

[The_my_friend_you]

EUgeneUS в сообщении #1314813 писал(а):

Со слов "таким же".

EUgeneUS в сообщении #1314813 писал(а):

угол между $\overrightarrow n$ и $\overrightarrow E$

будет равным углу между dS1 (который на картинке снизу изображен как dS┴) и dS.

[Walker_XXI]

The_my_friend_you, вот мы считаем скалярное произведение $\vec{E}$ и $\vec{n}$. Скажите, а какая разница, где находится заряд, создавший поле $\vec{E}$? Главное, что он не на поверхности, по которой интегрируем.

-- 25.05.2018, 14:04 --

А смысл теоремы Гаусса прост: поля создаются источниками; если все источники поля вне какой-то области пространства (ограниченной замкнутой поверхностью), то "сколько поля вошло в эту область, столько и выйдет". На уровне силовых линий можете это представить как "сколько линий вошло внутрь, столько и вышло" (правило подсчёта простое: выходящие линии со знаком плюс, входящие - минус).

[EUgeneUS]

The_my_friend_you
можно и так представить: мы считаем площадь проекции элементарной площадки на плоскость, перпендикулярную вектору. Тогда имеем право умножить её на модуль вектора. Только нужно аккуратно разобраться что есть вектор, а что скаляр.

$d \vec{S}$ - это вектор, так как это ориентированная элементарная площадка
$d S_{\perp}$ - это скаляр, так как это площадь проекции (элементарной площадки на плоскость, перпендикулярную вектору).
А не наоборот, как у Вас.

[Munin]

У меня $dS_{\perp}$ было обозначено $d\Sigma.$

The_my_friend_you, пожалуйста, пишите формулы так, как положено на этом форуме. Иначе вас всё равно заставят, но пока будут заставлять - разговор приостановится.

[The_my_friend_you]

Walker_XXI в сообщении #1314826 писал(а):

The_my_friend_you, вот мы считаем скалярное произведение $\vec{E}$ и $\vec{n}$. Скажите, а какая разница, где находится заряд, создавший поле $\vec{E}$? Главное, что он не на поверхности, по которой интегрируем.

Никакая, я наконец понял.
Всем огромное спасибо, наконец разобрался.

[EUgeneUS]

Walker_XXI в сообщении #1314826 писал(а):

На уровне силовых линий можете это представить как "сколько линий вошло внутрь, столько и вышло" (правило подсчёта простое: выходящие линии со знаком плюс, входящие - минус).

Причем плюс и минус получается автоматически из знака скалярного произведения (после некоторых договоренностей). Скажу об этом пару слов, а дальше уже и не знаю, что можно не понимать.

The_my_friend_you
Представьте себе любую кривую, но достаточно гладкую поверхность (пока не замкнутую): лист бумаги, параболическую антенну, горшочек какой-нибудь...
Так как поверхность достаточно гладкая, в каждой точке можно построить касательную плоскость и нормаль к ней. Но с выбором направления нормали есть некий произвол - есть два совершенно равнозначных направления: "туда" и "обратно", какое выбрать? Да любое! Но как только выбрали один раз весь произвол закончился. У нас не может нормаль в одной точке торчать "туда", а в другой близкой "обратно".
Представьте, что выбрали направление одной нормали, а потом её таскают по всей поверхности, оставляя нормалью (то есть перпендикулярно к поверхности).

Теперь поверхность замкнута: горшочек накрыли крышкой, резиновый шарик, коробочка из бумаги...
Для замкнутых поверхностей просто договорились: нормали торчат наружу, а не внутрь, причем все нормали. Тогда, если линии векторного поля входят в замкнутую область - они учитываются с минусом, а если выходят - со знаком плюс, просто в силу выбора направления нормалей и знака скалярного произведения.

[The_my_friend_you]

EUgeneUS в сообщении #1314848 писал(а):

The_my_friend_you
Представьте себе любую кривую, но достаточно гладкую поверхность (пока не замкнутую): лист бумаги, параболическую антенну, горшочек какой-нибудь...
Так как поверхность достаточно гладкая, в каждой точке можно построить касательную плоскость и нормаль к ней. Но с выбором направления нормали есть некий произвол - есть два совершенно равнозначных направления: "туда" и "обратно", какое выбрать? Да любое! Но как только выбрали один раз весь произвол закончился. У нас не может нормаль в одной точке торчать "туда", а в другой близкой "обратно".
Представьте, что выбрали направление одной нормали, а потом её таскают по всей поверхности, оставляя нормалью (то есть перпендикулярно к поверхности).

Да, спасибо, по этой логике я и понял. Правда рассматривал положительный, а после отрицательный заряд помещенный внутрь замкнутой поверхности, если принимать поток вектора напряженности электрического поля положительного заряда как положительный ("выходящий"), то поток вектора напряженности электрического поля отрицательного заряда (входящий) отрицательный. Когда заряд вне замкнутой поверхности, поток сначало входит в замкнутую поверхность, а после - выходит из неё, потому сумма потоков по всей поверхности нулевая.
аналогия с водой очень помогла, большое спасибо за объяснение!