"Броуновское" движение, физическая задача (частицы в сфере)

[Cervix]

В общем-то задача по физике, но вопрос скорее в том, какие есть мат. методы для ее решения.
В сфере радиуса ${R}$ с поглощающими стенками находится разреженный газ из ${N_0}$ покоящихся частиц. В момент $t=0$ внутри сферы включаются хаотические поля, так что на каждую частицу действует своя случайная сила $\mathbf{f}(t)$ с корреляционной функцией $\langle\mathbf{f}(t)\mathbf{f}(t')\rangle=D\delta(t-t')$.
Сколько частиц останется через достаточно большое время t?
P.S.: ур-е движения для частицы $m\mathbf{\ddot r}(t)=\mathbf{f}(t)$.

[e7e5]

Cervix писал(а):

В общем-то задача по физике, но вопрос скорее в том, какие есть мат. методы для ее решения.

Как то видел толстенную книжку. Вроде так и называлась про Броуновское Движение. Автора не помню, вроде с английского был перевод.

[Bard]

Не знаю, как это по математически, но по жизни так. Если у частицы есть возможность улизнуть от Вашего хаотического поля, то она улизнёт. Поэтому через большое время в Вашей колбе частиц не будет.
Интересно, а что будет если мера не пустого поглощающего множества на сфере равна нулю, а мера отражающего единица?
И ещё вопрос. Нельзя ли Вашу модель записать в виде уравнения диффузии со случайным распределением внешних сил. Граничные условия понятны.

[Cervix]

Bard писал(а):

Не знаю, как это по математически, но по жизни так. Если у частицы есть возможность улизнуть от Вашего хаотического поля, то она улизнёт.

Если не ошибаюсь, то в 2D у частицы есть ненулевая вероятность оставаться в круге сколь угодно долго (этот случай мне тоже интересно было бы рассмотреть, если я пойму общий подход). Хотя в 3D ваше утверждение, скорее всего, верно.

Bard писал(а):

И ещё вопрос. Нельзя ли Вашу модель записать в виде уравнения диффузии со случайным распределением внешних сил. Граничные условия понятны.

На этот вопрос, у меня возникает встречный - как скоррелированна сила в обычной диффузии (Эйнштейна-Смолуховского, что ли). Но как бы там ни было - меня больше интересуют мат. методы для этой задачи, а не ссылка на уже решенную физ. методами (если есть ссылка на мат. методы решения обычной диффузии, то кидайте - с удовольствием посмотрю)

[Gafield]

Цитата:

Если не ошибаюсь, то в 2D у частицы есть ненулевая вероятность оставаться в круге сколь угодно долго

Я не специалист, но мне кажется это странно, во всяком случае, неочевидно. Для дискретной модели броуновского движения на прямой и плоскости частица возвращается в начало координат с вероятностью единица, что для непрерывного случая означает, вероятно, что она вернется в круг п.н. А так, вроде, она должна отклоняться от нуля как $t^{1/2}$. Броуновское движение с исчезновением частиц на стенках моделируется первой краевой задачей для уравнения теплопроводности с нулевым граничным условием. Если бы некоторая (ненулевая) часть частиц оставалась в круге, то средняя температура оставалась бы больше нуля, а она экспоненциально убывает с ростом времени. Для малых $t$ асимптотика убывания тепла получена в статье Mean curvature and the heat equation. Может, там есть какие-то полезные идеи или ссылки.

Ну и до какой-то степени количество оставшихся частиц будет зависеть еще от начального их распределения.

[Cervix]

Gafield писал(а):

Ну и до какой-то степени количество оставшихся частиц будет зависеть еще от начального их распределения.

Ну пусть мы решим данную задачу при некотором распределении, тогда полученный ответ надо усреднить по всем возможным распределениям.

Gafield писал(а):

А так, вроде, она должна отклоняться от нуля как $t^{1/2}$.

Да, возможно, вы правы. Но все же, что можно сказать о внешней силе, глядя на ее коррелятор

[Gafield]

Корреляционная функция равна дельта-функции для белого шума (производной по времени от винеровского процесса). Так что, если я ничего не путаю, это будет броуновское блуждание, а с вероятностью один через какое-то время частиц в шаре не останется.

[Someone]

Cervix писал(а):

Если не ошибаюсь, то в 2D у частицы есть ненулевая вероятность оставаться в круге сколь угодно долго

Нет, Вы неправильно это поняли. Речь идёт о симметричных блужданиях по квадратной сетке, и утверждение состоит в том, что частица с вероятностью 1 будет возвращаться в начальную точку бесконечно много раз. Для трёхмерной сетки имеется положительная вероятность того, что частица никогда не вернётся в начальную точку. Точные формулировки можно посмотреть в учебнике.

[Cervix]

Someone писал(а):

Точные формулировки можно посмотреть в учебнике.

С этого места поподробнее. Наверное, моя проблема в том, что я не понимаю, в каком учебнике это смотреть
Т.е. раз задача по статфизу, то и смотрю я в соответствующих учебниках, но мне это не особо помогает. Короче, где могут рассматриваться:
1) Блуждание на решетке.
2) Блуждание в 2D, 3D.
3) Возможно, какие-то различные корреляторы:?:
Т.е. в итоге я еще не совсем понимаю, что именно мне нужно для решения этой задачи, и, возможно, подобных ей.

[PAV]

Совсем "популярно", но вполне понятно, можно посмотреть в книжечке Мостеллер "50 занимательных вероятностных задач". Там про блуждания пара задач была.

Можно посмотреть в учебнике Ширяева "Вероятность", там про блуждания тоже точно есть раздел, но там дольше и глубже читать.

[Someone]

Cervix писал(а):

Наверное, моя проблема в том, что я не понимаю, в каком учебнике это смотреть

[1] А.А.Боровков. Теория вероятностей. "Наука", Москва, 1986.

Глава 12, § 3.

[2] В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1. Москва, "Мир", 1984.

Глава XIV, § 7.

Если же речь идёт о Вашей задаче, то в ней частица будет поглощаться на границе с вероятностью 1.

[Cervix]

PAV, Someone, спасибо за ссылки.
Я еще не очень хорошо с ними познакомился, но все же:
Мостеллер "50 занимательных вероятностных задач" - там рассматривается блуждание на решетках.
Ширяев "Вероятность" - очень уж фундаментальный курс, боюсь, что не готов с ним познакомиться
А.А.Боровков. Теория вероятностей. - опять же блуждание на решетках.
В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1. - да, там есть кое-чего про 2D, 3D.
В общем, мне этого хватит, чтобы ознакомиться с решетками, но все же есть еще некоторые моменты.
Да, в этих книгах есть строгое рассмотрение подобных вопросов, но:
а) то ли я не тем местом смотрел, то ли там нет именно такого коррелятора (возможно он там описан на "другом языке" )
б) хочется верить, что существуют более прикладные, что ли, пособия с разобранными задачами и не такой мощной математикой (да, я понимаю, что исходно хотел видеть мат. методы и т.п., но это чересчур )

[Gafield]

А чего смотреть блуждания? Если задача уже сведена к уравнению теплопроводности, надо смотреть книги по УРЧП Для броуновского движения на прямой плотность вероятности в любой момент времени равна свертке плотности переходной вероятности (фундаментального решения) с начальной плотностью. Точно также для первой краевой задачи переходной плотностью вероятности будет функция Грина. С помощью метода Фурье (также, как для отрезка) она представляется в виде суммы произведений эспонент, умноженных на собственные функции задачи Дирихле в шаре $B_R$. Начальная функця $\psi_0$ раскладывается по этим же с.ф. Откуда

$$N_t=C e^{-t\lambda_1 D/m}+O(e^{-t\lambda_2 D/m})$$

, где $C=\left(\int_{B_R}\psi_0\phi_1\,dx\right)\left(\int_{B_R}\phi_1\,dx\right)$, $\lambda_1<\lambda_2\le ...$ - с.з. для $-\Delta$, $\phi_1$ - нормированная (в $L_2$) с.ф. для $\lambda_1$. Коэффициент в экспоненте я посчитал в уме, но вроде похоже на правду.

Поскольку задача из статфизики, то $N_0$, вероятно, очень велико, а начальная плотность $}\psi_0$ скорее всего предполагается постоянной и равной $N_0$ делить на объем шара. Первую с.ф. можно вычислить или найти в книжках по уравнению Лапласа.

Для начала можно разобраться с отрезком, на шар все рассуждения переносятся без изменений, синусы заменяются на с.ф. задачи Дирихле.

[Cervix]

Gafield писал(а):

Если задача уже сведена к уравнению теплопроводности, надо смотреть книги по УРЧП Для броуновского движения на прямой плотность вероятности в любой момент времени равна свертке плотности переходной вероятности (фундаментального решения) с начальной плотностью.

Не спешите, пожалуйста. Как от моей задачи перейти к ур-ю теплопроводности?

Gafield писал(а):

Откуда

$$N_t=C e^{-t\lambda_1 D/m}+O(e^{-t\lambda_2 D/m})$$

Как составить это уравнение опираясь только на условие этой задачи? (дело в том, что это не совсем "броуновское" движение, тут нет диссипативной силы)