Линейная независимость и линейное преобразование

[Antonij]

Пусть V векторное пространство над полем рациональных чисел размерностью 3.
Пусть $f$ линейное преобразование этого пространства такое, что
$f(x)=y$
$f(y)=z$
$f(z)=x+y$
где $x\not=0$. Докажите, что система $x,y,z$ линейно независима.

Мои мысли. Что-то вырисовывается, если пробую предположить от противного, что система лин. зависима. Например, могу показать, что $x\not=ky$ просто несколько раз беру $f$ от $x$ и использую, что поле ${\mathbb Q}$. Но обобщить не получается $x\not=ky+mz$. Что особенно настораживает, совсем не использую, что размерность 3.

Есть ли какое-то элегантное решение?

[Walker_XXI]

Antonij в сообщении #1314346 писал(а):

Что особенно настораживает, совсем не использую, что размерность 3.

Хуже то, что не используете факт линейности преобразования $f$.

[Antonij]

Линейность использую. Покажу, как доказал $x\not=ky$
$x\not=0\Rightarrow y\not=0\Rightarrow z\not=0$
$x=ky=k^2z=k^4z+k^3z$
$k^2+k-1=0$
Не имеет корней в {\mathbb Q}$.
Или Вы имеете ввиду свойства не из определения линейного преобразования?
Приходит на ум только то, что $f$ переводит линейно зависимую систему в линейно зависимую. Не нашел применения этому факту.

[iifat]

А можно для особо тупых поподробнее? Да, все три вектора ненулевые, но вы, кажется, хотели озвучить доказательство.
Следующей строчки вообще не понял.

[Antonij]

От ротивного: пусть $y=0$. Тогда
$f(y)=0=z\Rightarrow f(z)=f(0)=0=x+y\Rightarrow x=0.$
Противоречие.
$x=ky\Rightarrow f(x)=y=kz\Rightarrow x=k^2z\Rightarrow f(x)=y=k^2(x+z)=k^2x+k^3z=k^4z+k^3z\Rightarrow k^4+k^3-k^2=0.$

-- 23.05.2018, 20:56 --

Вроде решил. Показал, что если x,y лин. независимы, то в поле Q не найдётся k и m таких, что z=kx+my. Но размерность так нигде и не использовал. Если будут идеи на счет размерности, дайте знать.

[iifat]

Antonij в сообщении #1314380 писал(а):

размерность так нигде и не использовал

Если размерность меньше трёх, в поле не может быть трёх линейно независимых векторов. Так что ваше доказательство доказывает несуществование линейного оператора.
Для размерности три и более теорема верна.