2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 16:38 


31/03/15
51
Пусть V векторное пространство над полем рациональных чисел размерностью 3.
Пусть $f$ линейное преобразование этого пространства такое, что
$f(x)=y$
$f(y)=z$
$f(z)=x+y$
где $x\not=0$. Докажите, что система $x,y,z$ линейно независима.

Мои мысли. Что-то вырисовывается, если пробую предположить от противного, что система лин. зависима. Например, могу показать, что $x\not=ky$ просто несколько раз беру $f$ от $x$ и использую, что поле ${\mathbb Q}$. Но обобщить не получается $x\not=ky+mz$. Что особенно настораживает, совсем не использую, что размерность 3.

Есть ли какое-то элегантное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 17:55 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
Antonij в сообщении #1314346 писал(а):
Что особенно настораживает, совсем не использую, что размерность 3.

Хуже то, что не используете факт линейности преобразования $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 18:53 


31/03/15
51
Линейность использую. Покажу, как доказал $x\not=ky$
$x\not=0\Rightarrow y\not=0\Rightarrow z\not=0$
$x=ky=k^2z=k^4z+k^3z$
$k^2+k-1=0$
Не имеет корней в {\mathbb Q}$.
Или Вы имеете ввиду свойства не из определения линейного преобразования?
Приходит на ум только то, что $f$ переводит линейно зависимую систему в линейно зависимую. Не нашел применения этому факту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 19:05 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
А можно для особо тупых поподробнее? Да, все три вектора ненулевые, но вы, кажется, хотели озвучить доказательство.
Следующей строчки вообще не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 19:11 


31/03/15
51
От ротивного: пусть $y=0$. Тогда
$f(y)=0=z\Rightarrow f(z)=f(0)=0=x+y\Rightarrow x=0.$
Противоречие.
$x=ky\Rightarrow f(x)=y=kz\Rightarrow x=k^2z\Rightarrow f(x)=y=k^2(x+z)=k^2x+k^3z=k^4z+k^3z\Rightarrow k^4+k^3-k^2=0.$

-- 23.05.2018, 20:56 --

Вроде решил. Показал, что если x,y лин. независимы, то в поле Q не найдётся k и m таких, что z=kx+my. Но размерность так нигде и не использовал. Если будут идеи на счет размерности, дайте знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная независимость и линейное преобразование
Сообщение23.05.2018, 20:30 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Antonij в сообщении #1314380 писал(а):
размерность так нигде и не использовал
Если размерность меньше трёх, в поле не может быть трёх линейно независимых векторов. Так что ваше доказательство доказывает несуществование линейного оператора.
Для размерности три и более теорема верна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group