Парадокс кинетической энергии

[Krit]

В википедии есть статья: "Парадокс кинетической энергии" про игрушечную машинку и Землю. Я решил рассмотреть случай многих тел и не могу разобраться.

Имеются $N$ точечных материальных тел. Для удобства примем массу каждого равной $1 \text { kg}$, обозначим их $P_n, n \in N $. Тела пронумерованы и скорость каждого равна его порядковому номеру $V_{P_n}=n \text { m/s}$ (начало отсчета связано с телом $P_0$, которое считается покоящимся).
Также имеется аналог игрушечной машинки, массой $1 \text{ kg}$, обозначим ее $Q$, которая имеет запас внутренней энергии $E$ и способность мгновенно и абсолютно упруго отталкиваться от тел $P_n$ (например, батарейка, электромотор, храповик и пружина, срабатывающая раз в секунду). Мощность $Q$ равна 2 Вт.

В начальный момент времени $t=n=0$ скорости $V_Q=V_{P_0}=0$ машинка и первое тело покоятся рядом друг с другом. Срабатывает пружина, высвобождая внутреннюю энергию $E_Q=2 \text{ J}$.
$Q$ и $P_0$ приобретают равный, противоположно направленный импульс $|MV|_Q=|MV|_{P_0}=1 kg \cdot m/s$. Сумма кинетических энергий в СО $Q$: $W_Q+W_{P_0}=\frac{1\cdot 0^2}{2}+\frac{1\cdot 2^2}{2} =2 \text{ J}$. Далее $Q$ оказывается покоящимся рядом с $P_ 1$.
Т.к. $V_Q=n=V_{P_n}$, в каждый последующий момент времени $t=n, n \in N$ в СО $Q$ происходит тоже самое: затраты внутренней энергии $\Delta E = \operatorname{const}= 2 \text{ J}$, скорость и кинетическая энергия $Q$ равны нулю, скорость, импульс и кинетическая энергия очередного $P_n$ равны соответственно: $V_{P_n}=2 \text{ m/s}; W_{P_n}= 2 \text{ J}$.


В стартовой СО все несколько иначе.
$Q$ движется с постоянным ускорением $a_Q=1 \text{ m/ss}$, его кинетическая энергия растет, как $W_Q=\frac {n^2}{2}$, где $n=t$. Поэтому с точки зрения наблюдателя в стартовой СО мощность $Q$ и затрачиваемая им на разгон внутренняя энергия должны ежесекундно расти на величину $\Delta E_Q = \frac{\frac{(n+1)^2}{2}} {\frac {n^2}{2}} \text{ J}$.
Это имеет место уже на начальном этапе, т.е. релятивистские эффекты не причем.
В стартовой СО даже в первую секунду $Q$ и $P_0$ приобретают равные противоположно направленные скорости $1 \text{ m/s}$ и кинетическую энергию $W_Q=W_{P_0}=\frac{1^2}{2}=0,5 \text{ J}$, что в сумме дает $1 \text{ J}$, при затратах внутренней энергии $E_Q=2 \text{ J}$.


Возможно стоит рассмотреть полную кинетическую энергию всех $P_n$ и $Q$ до и после взаимодействия ?
Рассмотрим разгон $Q$ до 1 км/с.
Имеем $N=999$, сумма кинетических энергий всех $P_n$ равна $W_{NQ}=\sum\limits_{n=0}^{999} \frac{n^2}{2}=166416750 \text{ J}$, $W_Q=0 \text{ J}$.
В процессе разгона $Q$ перераспределяет кинетическую энергию всех $P_n$ таким образом, что $W_{P_n}$ становится равно предыдущему $W_{P_{n-1}}$, т.е. $W_{P_{999}}=W_{P_{998}}$ и т.д.
В стартовой СО изначально нулевой $P_0$ с нулевой $W_{P_0}=0$, приобретает $W_{P_0}=0,5 \text {J}$, а его место занимает $P_1$ c $W_{P_1}=0$. Также сам $Q$ приобретает скорость $V_Q=1000 \text { m/s}$ и кинетическую энергию $W_Q=\frac{1000^2}{2}=5\cdot 10^5 \text{ J}$. Итого сумма кинетических энергий всех $P_n,Q$ после разгона: $W'_{NQ}=\sum\limits_{n=0}^{998} \frac{n^2}{2}+0,5+5\cdot 10^5 =165917750+0,5+500000= 166417750,5 \text{ J}$. Т.е. она увеличилась на величину кинетической энергии набранной $Q$, что логично, но появился непонятный довесок в $0,5 \text{ J}$.
В СО $Q$ произошло аналогичное перераспределение кинетической энергии всех $P_n$, однако покоящегося относительно него $P_n$ не осталось, т.к. $Q$ оттолкнулся от $P_{999}$, который получил скорость $v=-2 \text { m/s}$, далее $V_{P_{998}}=-4 \text { m/s},…$ и т.д. Таким образом сумма кинетических энергий всех $P_n$ стала равна $W_{PN}= \sum\limits_{n=1}^{1000} \frac{(2n)^2}{2}=667667000 \text{ J}$. Кинетическая энергия самого $Q$ в собственной СО естественно не изменилась и осталась равна нулю.
Разность начальной и конечной суммы кинетических энергий в СО $Q$ составила $667667000-166416750=501250250 \text{ J}$, что на 3 порядка больше изменения кинетической энергии самого $Q$ (и разности суммы кинетических энергий в стартовой СО до и после), не говоря уже о расчетных затратах внутренней энергии.

Рассчитаем, сколько внутренней энергии $E_Q$ было потрачено при разгоне. Т.к. в СО $Q$ мощность неизменна, пружина при каждом толчке, тратит одинаковое количество энергии $\Delta E=E_n=2 \text{ J}$, придавая $Q$ одинаковое ускорение, импульс, кинетическую энергию. Следовательно функция затрат потенциальной энергии линейная: $E_Q=2\cdot n \text{ J}$. За время разгона $Q$ истратит $2000 \text{ J}$ потенциальной энергии.
Сравнивая эту величину с величинами, на которые изменилась кинетическая энергия всей системы, что в СО $Q$, что в стартовой СО, возникают вопросы, почему они мягко говоря не соответствуют.
Помогите найти ошибку в рассуждениях/расчетах.

[realeugene]

Krit в сообщении #1314352 писал(а):

Сумма кинетических энергий в СО $Q$

Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

[EUgeneUS]

Krit в сообщении #1314352 писал(а):

Также имеется аналог игрушечной машинки, массой $1 \text{ kg}$, обозначим ее $Q$, которая имеет запас внутренней энергии $E$ и способность мгновенно и абсолютно упруго отталкиваться от тел $P_n$ (например, батарейка, электромотор, храповик и пружина, срабатывающая раз в секунду). Мощность $Q$ равна 2 Вт.

Нечто массы 1 кг способно мгновенно менять скорость, а мощность всего 2 Вт. Да, ладно.

realeugene в сообщении #1314359 писал(а):

Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

Вместо

[Walker_XXI]

Krit в сообщении #1314352 писал(а):

решил рассмотреть случай многих тел и не могу разобраться.
Имеются $N$ точечных материальных тел.

Зачем рассматривать $N$ тел, если для того, чтобы запутаться, Вам хватило двух ($Q$ и $P_0$)? Система отсчёта, связанная с $Q$, не является инерциальной - это тело меняет скорость, и в этой СО не выполняется з-н сохранения импульса. Правильное рассмотрение будет в "стартовой СО", т.к. она инерциальна на протяжении всего "эксперимента". Именно в ней нужно, исходя из з-нов сохранения импульса и энергии, найти конечные скорости тел. Они будут равны по модулю, противоположны, но таковы, что суммарная кинетическая энергия окажется 2 Дж (т.е. по 1 Дж на каждое). Итого $V_Q=\sqrt{2}\text{ м/с}$. Учитывая это в СО, сопутствующей телу $Q$ после отскока от тела $P_0$, начальные скорости и кинетические энергии тел не будут равны 0. Теперь всё сойдётся.

[Krit]

realeugene в сообщении #1314359 писал(а):

Krit в сообщении #1314352 писал(а):

Сумма кинетических энергий в СО $Q$

Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

Я имею в виду систему отсчета, связанную с $Q$ в те промежутки времени, когда оно покоится. Т.е. сработала пружина, скорость мгновенно изменилась, тело снова покоится в новой ИСО. Т.е. правильней сказать я имею в виду последовательность ИСО в которых покоится $Q$ между толчками.

EUgeneUS в сообщении #1314361 писал(а):

Нечто массы 1 кг способно мгновенно менять скорость, а мощность всего 2 Вт. Да, ладно.

Я представил себе школьный пример. Две тележки равной массы, между ними пружина. Пружина почти мгновенно (к примеру за время 0,01с) распрямляется. Тележки приобретают равный противоположно направленный импульс и далее двигаются 0,99с прямолинейно и равномерно. В это время моторчик взводит пружину вновь. Думаю в подобных экспериментах такая идеализация допустима ?

Walker_XXI в сообщении #1314364 писал(а):

Зачем рассматривать $N$ тел, если для того, чтобы запутаться, Вам хватило двух ($Q$ и $P_0$)? Система отсчёта, связанная с $Q$, не является инерциальной - это тело меняет скорость, и в этой СО не выполняется з-н сохранения импульса. Правильное рассмотрение будет в "стартовой СО", т.к. она инерциальна на протяжении всего "эксперимента". Именно в ней нужно, исходя из з-нов сохранения импульса и энергии, найти конечные скорости тел. Они будут равны по модулю, противоположны, но таковы, что суммарная кинетическая энергия окажется 2 Дж (т.е. по 1 Дж на каждое). Итого $V_Q=\sqrt{2}\text{ м/с}$. Учитывая это в СО, сопутствующей телу $Q$ после отскока от тела $P_0$, начальные скорости и кинетические энергии тел не будут равны 0. Теперь всё сойдётся.

Вы предлагаете рассмотреть два тела $Q$ и $P_0$ ? Этот случай есть в вики. Давайте хотя бы три рассмотрим. Попробую расписать еще раз.

ИСО связана с двумя телами $Q,P_0$, массами 1 кг., покоящимися в начале координат в момент времени $t_0=0$. Срабатывает пружина, которая придает телам $Q,P_0$ равный разнонаправленный импульс. Скорость тела $Q$ стала равна 1 м/с, тела $P_0$ равна -1м/с. Кинетическая энергия тела $Q$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$ тела $P_0$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$. Их сумма равна $1 \text{ J}$.

В ИСО связанной с телом $Q$ начальные данные теже. Сработала пружина. Тело $Q$ покоится в новой ИСО, в которой его скорость и кинетическая энергия равны нулю, а второе тело приобрело скорость -2 м/с. Кинетическая энергия второго тела равна $\frac{1\cdot 2^2}{2}=2 \taxt{ J}$.
Переходим к третьему телу $P_1$. В нулевой момент времени в стартовой ИСО его скорость равна 1 м/с, координата $x=-0,5 \text{ m}$, кинетическая энергия $W_{P_1}=\frac{1}{2} \text{ J}$.
В момент времени $t=1 \text{ s}$ координата $P_1$ равна $x=0,5 \text{ m}$ и совпадает с координатой тела $Q$. Т.к. при ускорении в 1 м/сс тело $Q$ за секунду пройдет расстояние как раз $t^2/2=1^2/2=0,5 \text{ m}$. Оба тела $Q,P_1$ находятся в одной ИСО и покоятся относительно друг друга в окрестности одной точки.

При $t=2$ вновь мгновенно (время порядка 0,01 с. срабатывает пружина (медленно взведенная за период 0,99 с)).
В стартовой ИСО скорость тела $P_1$ падает с 1 м/с до нуля, соответственно кинетическая энергия тоже. Скорость тела $Q$ увеличивается до 2 м/с., его кинетическая энергия теперь равна $\frac{2^2}{2}=2 \text{ J}$. Таким образом сумма кинетических энергий тел $Q,P_0,P_1$ в стартовой ИСО до первого взаимодействия равна $0,5 \text{ J}$ (вклад тела $P_1$), после первого взаимодействия $1,5 \text{ J}$ (вклад тел $P_1, Q, P_0$) и после второго взаимодействия $2,5 \text{ J}$ (вклад тел $Q,P_0$).

Теперь рассмотрим тоже в ИСО в которой покоится тело $Q$ после второго толчка (по телу $P_1$). Время $t=2 \text { s}$. Сработала пружина. Тело $Q$ покоится в новой ИСО, в которой его скорость и кинетическая энергия равны нулю, а тело $P_1$ приобрело скорость -2 м/с. Кинетическая энергия тела $P_1$ равна $\frac{1\cdot 2^2}{2}=2 \taxt{ J}$. Тело $P_0$ продолжает удаляться и его скорость увеличилась до -3 м/с., а кинетическая энергия до $\frac{3^2}{2}=4,5 \text{ J}$. Суммарная кинетическая энергия системы составляет $0+4,5+2=6,5 \text{ J}$.

Теперь рассмотрим расход внутренней энергии тела $Q$. В обоих случаях взаимодействия он оставался неизменным и равным $2 \text{ J}$. Он не зависит от скорости относительно начала координат и является внутренней характеристикой тела $Q$. Общий расход внутренней энергии составил $4 \text{ J}$.
Если присмотреться, то неважно какова именно мощность, главное, что расход внутренней энергии равный, т.е. линейная функция от $t$. В тоже время кинетическая энергия, как тела $Q$, так и всей системы $Q,P_0,P_1$ растет квадратично от времени.
Мой вопрос, как это согласовать ?

[Walker_XXI]

Krit в сообщении #1314386 писал(а):

Вы предлагаете рассмотреть два тела $Q$ и $P_0$ ? Этот случай есть в вики. Давайте хотя бы три рассмотрим. Попробую расписать еще раз.

Я предлагаю рассмотреть правильно (хотя бы опираясь на Википедию, несмотря на то, что тут и школьной физики достаточно) хотя бы два тела. Тогда увидите, что и в случае трёх тел указанного Вами парадокса нет.

Krit в сообщении #1314386 писал(а):

ИСО связана с двумя телами $Q,P_0$, массами 1 кг., покоящимися в начале координат в момент времени $t_0=0$. Срабатывает пружина, которая придает телам $Q,P_0$ равный разнонаправленный импульс. Скорость тела $Q$ стала равна 1 м/с, тела $P_0$ равна -1м/с. Кинетическая энергия тела $Q$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$ тела $P_0$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$. Их сумма равна $1 \text{ J}$.

И это значит, что в пружине тела $Q$ была запасена энергий 1 Дж.

Krit в сообщении #1314386 писал(а):

В ИСО связанной с телом $Q$ начальные данные теже.

Стоп. Зачем Вам третье тело, если здесь уже ошибка? И я ровно об этом писал в предыдущем сообщении. Если рассматриваете ИСО, связанную с телом $Q$ до взаимодействия с телом $P_0$, то в ней те же начальные данные, но это ровна та же СО, которую Вы рассмотрели в предыдущем абзаце - в ней тело $Q$ не покоится после отскока. Если рассматриваете ИСО, связанную с телом $Q$ после взаимодействия с телом $P_0$, то в ней другие начальные условия. Если рассматривать СО, в которой тело $Q$ все время покоится, то такая СО не является инерциальной, и в ней все Ваши рассуждения будут неверными.

[realeugene]

Krit в сообщении #1314386 писал(а):

Я имею в виду систему отсчета, связанную с $Q$ в те промежутки времени, когда оно покоится. Т.е. сработала пружина, скорость мгновенно изменилась, тело снова покоится в новой ИСО. Т.е. правильней сказать я имею в виду последовательность ИСО в которых покоится $Q$ между толчками.

Это различные ИСО. В каждой ИСО свои импульсы и кинетические энергии всех тел. Бессмысленно их сравнивать в различных ИСО, нужно преобразовывать к общей ИСО для их сравнения (и для суммирования/вычитания).

[pogulyat_vyshel]

для взрослых

(Оффтоп)

Таких парадоксов куча. Они основаны на том, что реакции идеальных связей могут в одной инерциальной системе совершать работу , а в другой -- нет. Если теорему об изменении кин. энергии студенту рассказывали именно на уровне строгости теоремы, а не на физическом интуитивном уровне проблем не возникает