2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 17:07 


23/05/18
2
В википедии есть статья: "Парадокс кинетической энергии" про игрушечную машинку и Землю. Я решил рассмотреть случай многих тел и не могу разобраться.

Имеются $N$ точечных материальных тел. Для удобства примем массу каждого равной $1 \text { kg}$, обозначим их $P_n, n \in N $. Тела пронумерованы и скорость каждого равна его порядковому номеру $V_{P_n}=n \text { m/s}$ (начало отсчета связано с телом $P_0$, которое считается покоящимся).
Также имеется аналог игрушечной машинки, массой $1 \text{ kg}$, обозначим ее $Q$, которая имеет запас внутренней энергии $E$ и способность мгновенно и абсолютно упруго отталкиваться от тел $P_n$ (например, батарейка, электромотор, храповик и пружина, срабатывающая раз в секунду). Мощность $Q$ равна 2 Вт.

В начальный момент времени $t=n=0$ скорости $V_Q=V_{P_0}=0$ машинка и первое тело покоятся рядом друг с другом. Срабатывает пружина, высвобождая внутреннюю энергию $E_Q=2 \text{ J}$.
$Q$ и $P_0$ приобретают равный, противоположно направленный импульс $|MV|_Q=|MV|_{P_0}=1 kg \cdot m/s$. Сумма кинетических энергий в СО $Q$: $W_Q+W_{P_0}=\frac{1\cdot 0^2}{2}+\frac{1\cdot 2^2}{2} =2 \text{ J}$. Далее $Q$ оказывается покоящимся рядом с $P_ 1$.
Т.к. $V_Q=n=V_{P_n}$, в каждый последующий момент времени $t=n, n \in N$ в СО $Q$ происходит тоже самое: затраты внутренней энергии $\Delta E = \operatorname{const}= 2 \text{ J}$, скорость и кинетическая энергия $Q$ равны нулю, скорость, импульс и кинетическая энергия очередного $P_n$ равны соответственно: $V_{P_n}=2 \text{ m/s}; W_{P_n}= 2 \text{ J}$.


В стартовой СО все несколько иначе.
$Q$ движется с постоянным ускорением $a_Q=1 \text{ m/ss}$, его кинетическая энергия растет, как $W_Q=\frac {n^2}{2}$, где $n=t$. Поэтому с точки зрения наблюдателя в стартовой СО мощность $Q$ и затрачиваемая им на разгон внутренняя энергия должны ежесекундно расти на величину $\Delta E_Q = \frac{\frac{(n+1)^2}{2}} {\frac {n^2}{2}} \text{ J}$.
Это имеет место уже на начальном этапе, т.е. релятивистские эффекты не причем.
В стартовой СО даже в первую секунду $Q$ и $P_0$ приобретают равные противоположно направленные скорости $1 \text{ m/s}$ и кинетическую энергию $W_Q=W_{P_0}=\frac{1^2}{2}=0,5 \text{ J}$, что в сумме дает $1 \text{ J}$, при затратах внутренней энергии $E_Q=2 \text{ J}$.


Возможно стоит рассмотреть полную кинетическую энергию всех $P_n$ и $Q$ до и после взаимодействия ?
Рассмотрим разгон $Q$ до 1 км/с.
Имеем $N=999$, сумма кинетических энергий всех $P_n$ равна $W_{NQ}=\sum\limits_{n=0}^{999} \frac{n^2}{2}=166416750 \text{ J}$, $W_Q=0 \text{ J}$.
В процессе разгона $Q$ перераспределяет кинетическую энергию всех $P_n$ таким образом, что $W_{P_n}$ становится равно предыдущему $W_{P_{n-1}}$, т.е. $W_{P_{999}}=W_{P_{998}}$ и т.д.
В стартовой СО изначально нулевой $P_0$ с нулевой $W_{P_0}=0$, приобретает $W_{P_0}=0,5 \text {J}$, а его место занимает $P_1$ c $W_{P_1}=0$. Также сам $Q$ приобретает скорость $V_Q=1000 \text { m/s}$ и кинетическую энергию $W_Q=\frac{1000^2}{2}=5\cdot 10^5 \text{ J}$. Итого сумма кинетических энергий всех $P_n,Q$ после разгона: $W'_{NQ}=\sum\limits_{n=0}^{998} \frac{n^2}{2}+0,5+5\cdot 10^5 =165917750+0,5+500000=  166417750,5 \text{ J}$. Т.е. она увеличилась на величину кинетической энергии набранной $Q$, что логично, но появился непонятный довесок в $0,5 \text{ J}$.
В СО $Q$ произошло аналогичное перераспределение кинетической энергии всех $P_n$, однако покоящегося относительно него $P_n$ не осталось, т.к. $Q$ оттолкнулся от $P_{999}$, который получил скорость $v=-2 \text { m/s}$, далее $V_{P_{998}}=-4 \text { m/s},…$ и т.д. Таким образом сумма кинетических энергий всех $P_n$ стала равна $W_{PN}= \sum\limits_{n=1}^{1000} \frac{(2n)^2}{2}=667667000 \text{ J}$. Кинетическая энергия самого $Q$ в собственной СО естественно не изменилась и осталась равна нулю.
Разность начальной и конечной суммы кинетических энергий в СО $Q$ составила $667667000-166416750=501250250 \text{ J}$, что на 3 порядка больше изменения кинетической энергии самого $Q$ (и разности суммы кинетических энергий в стартовой СО до и после), не говоря уже о расчетных затратах внутренней энергии.

Рассчитаем, сколько внутренней энергии $E_Q$ было потрачено при разгоне. Т.к. в СО $Q$ мощность неизменна, пружина при каждом толчке, тратит одинаковое количество энергии $\Delta E=E_n=2 \text{ J}$, придавая $Q$ одинаковое ускорение, импульс, кинетическую энергию. Следовательно функция затрат потенциальной энергии линейная: $E_Q=2\cdot n \text{ J}$. За время разгона $Q$ истратит $2000 \text{ J}$ потенциальной энергии.
Сравнивая эту величину с величинами, на которые изменилась кинетическая энергия всей системы, что в СО $Q$, что в стартовой СО, возникают вопросы, почему они мягко говоря не соответствуют.
Помогите найти ошибку в рассуждениях/расчетах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 17:27 


27/08/16
9426
Krit в сообщении #1314352 писал(а):
Сумма кинетических энергий в СО $Q$
Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 17:33 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Krit в сообщении #1314352 писал(а):
Также имеется аналог игрушечной машинки, массой $1 \text{ kg}$, обозначим ее $Q$, которая имеет запас внутренней энергии $E$ и способность мгновенно и абсолютно упруго отталкиваться от тел $P_n$ (например, батарейка, электромотор, храповик и пружина, срабатывающая раз в секунду). Мощность $Q$ равна 2 Вт.


Нечто массы 1 кг способно мгновенно менять скорость, а мощность всего 2 Вт. Да, ладно.

realeugene в сообщении #1314359 писал(а):
Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

Вместо :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 17:47 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
Krit в сообщении #1314352 писал(а):
решил рассмотреть случай многих тел и не могу разобраться.
Имеются $N$ точечных материальных тел.
Зачем рассматривать $N$ тел, если для того, чтобы запутаться, Вам хватило двух ($Q$ и $P_0$)? Система отсчёта, связанная с $Q$, не является инерциальной - это тело меняет скорость, и в этой СО не выполняется з-н сохранения импульса. Правильное рассмотрение будет в "стартовой СО", т.к. она инерциальна на протяжении всего "эксперимента". Именно в ней нужно, исходя из з-нов сохранения импульса и энергии, найти конечные скорости тел. Они будут равны по модулю, противоположны, но таковы, что суммарная кинетическая энергия окажется 2 Дж (т.е. по 1 Дж на каждое). Итого $V_Q=\sqrt{2}\text{ м/с}$. Учитывая это в СО, сопутствующей телу $Q$ после отскока от тела $P_0$, начальные скорости и кинетические энергии тел не будут равны 0. Теперь всё сойдётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 19:31 


23/05/18
2
realeugene в сообщении #1314359 писал(а):
Krit в сообщении #1314352 писал(а):
Сумма кинетических энергий в СО $Q$
Какую именно инерциальную систему отсчёта вы называете "СО $Q$"? До или после?

Я имею в виду систему отсчета, связанную с $Q$ в те промежутки времени, когда оно покоится. Т.е. сработала пружина, скорость мгновенно изменилась, тело снова покоится в новой ИСО. Т.е. правильней сказать я имею в виду последовательность ИСО в которых покоится $Q$ между толчками.
EUgeneUS в сообщении #1314361 писал(а):
Нечто массы 1 кг способно мгновенно менять скорость, а мощность всего 2 Вт. Да, ладно.

Я представил себе школьный пример. Две тележки равной массы, между ними пружина. Пружина почти мгновенно (к примеру за время 0,01с) распрямляется. Тележки приобретают равный противоположно направленный импульс и далее двигаются 0,99с прямолинейно и равномерно. В это время моторчик взводит пружину вновь. Думаю в подобных экспериментах такая идеализация допустима ?
Walker_XXI в сообщении #1314364 писал(а):
Зачем рассматривать $N$ тел, если для того, чтобы запутаться, Вам хватило двух ($Q$ и $P_0$)? Система отсчёта, связанная с $Q$, не является инерциальной - это тело меняет скорость, и в этой СО не выполняется з-н сохранения импульса. Правильное рассмотрение будет в "стартовой СО", т.к. она инерциальна на протяжении всего "эксперимента". Именно в ней нужно, исходя из з-нов сохранения импульса и энергии, найти конечные скорости тел. Они будут равны по модулю, противоположны, но таковы, что суммарная кинетическая энергия окажется 2 Дж (т.е. по 1 Дж на каждое). Итого $V_Q=\sqrt{2}\text{ м/с}$. Учитывая это в СО, сопутствующей телу $Q$ после отскока от тела $P_0$, начальные скорости и кинетические энергии тел не будут равны 0. Теперь всё сойдётся.

Вы предлагаете рассмотреть два тела $Q$ и $P_0$ ? Этот случай есть в вики. Давайте хотя бы три рассмотрим. Попробую расписать еще раз.

ИСО связана с двумя телами $Q,P_0$, массами 1 кг., покоящимися в начале координат в момент времени $t_0=0$. Срабатывает пружина, которая придает телам $Q,P_0$ равный разнонаправленный импульс. Скорость тела $Q$ стала равна 1 м/с, тела $P_0$ равна -1м/с. Кинетическая энергия тела $Q$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$ тела $P_0$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$. Их сумма равна $1 \text{ J}$.

В ИСО связанной с телом $Q$ начальные данные теже. Сработала пружина. Тело $Q$ покоится в новой ИСО, в которой его скорость и кинетическая энергия равны нулю, а второе тело приобрело скорость -2 м/с. Кинетическая энергия второго тела равна $\frac{1\cdot 2^2}{2}=2 \taxt{ J}$.
Переходим к третьему телу $P_1$. В нулевой момент времени в стартовой ИСО его скорость равна 1 м/с, координата $x=-0,5 \text{ m}$, кинетическая энергия $W_{P_1}=\frac{1}{2} \text{ J}$.
В момент времени $t=1 \text{ s}$ координата $P_1$ равна $x=0,5 \text{ m}$ и совпадает с координатой тела $Q$. Т.к. при ускорении в 1 м/сс тело $Q$ за секунду пройдет расстояние как раз $t^2/2=1^2/2=0,5 \text{ m}$. Оба тела $Q,P_1$ находятся в одной ИСО и покоятся относительно друг друга в окрестности одной точки.

При $t=2$ вновь мгновенно (время порядка 0,01 с. срабатывает пружина (медленно взведенная за период 0,99 с)).
В стартовой ИСО скорость тела $P_1$ падает с 1 м/с до нуля, соответственно кинетическая энергия тоже. Скорость тела $Q$ увеличивается до 2 м/с., его кинетическая энергия теперь равна $\frac{2^2}{2}=2 \text{ J}$. Таким образом сумма кинетических энергий тел $Q,P_0,P_1$ в стартовой ИСО до первого взаимодействия равна $0,5 \text{ J}$ (вклад тела $P_1$), после первого взаимодействия $1,5 \text{ J}$ (вклад тел $P_1, Q, P_0$) и после второго взаимодействия $2,5 \text{ J}$ (вклад тел $Q,P_0$).

Теперь рассмотрим тоже в ИСО в которой покоится тело $Q$ после второго толчка (по телу $P_1$). Время $t=2 \text { s}$. Сработала пружина. Тело $Q$ покоится в новой ИСО, в которой его скорость и кинетическая энергия равны нулю, а тело $P_1$ приобрело скорость -2 м/с. Кинетическая энергия тела $P_1$ равна $\frac{1\cdot 2^2}{2}=2 \taxt{ J}$. Тело $P_0$ продолжает удаляться и его скорость увеличилась до -3 м/с., а кинетическая энергия до $\frac{3^2}{2}=4,5 \text{ J}$. Суммарная кинетическая энергия системы составляет $0+4,5+2=6,5 \text{ J}$.

Теперь рассмотрим расход внутренней энергии тела $Q$. В обоих случаях взаимодействия он оставался неизменным и равным $2 \text{ J}$. Он не зависит от скорости относительно начала координат и является внутренней характеристикой тела $Q$. Общий расход внутренней энергии составил $4 \text{ J}$.
Если присмотреться, то неважно какова именно мощность, главное, что расход внутренней энергии равный, т.е. линейная функция от $t$. В тоже время кинетическая энергия, как тела $Q$, так и всей системы $Q,P_0,P_1$ растет квадратично от времени.
Мой вопрос, как это согласовать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение23.05.2018, 20:00 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
Krit в сообщении #1314386 писал(а):
Вы предлагаете рассмотреть два тела $Q$ и $P_0$ ? Этот случай есть в вики. Давайте хотя бы три рассмотрим. Попробую расписать еще раз.
Я предлагаю рассмотреть правильно (хотя бы опираясь на Википедию, несмотря на то, что тут и школьной физики достаточно) хотя бы два тела. Тогда увидите, что и в случае трёх тел указанного Вами парадокса нет.
Krit в сообщении #1314386 писал(а):
ИСО связана с двумя телами $Q,P_0$, массами 1 кг., покоящимися в начале координат в момент времени $t_0=0$. Срабатывает пружина, которая придает телам $Q,P_0$ равный разнонаправленный импульс. Скорость тела $Q$ стала равна 1 м/с, тела $P_0$ равна -1м/с. Кинетическая энергия тела $Q$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$ тела $P_0$ равна $\frac{1\cdot 1^2}{2}=0,5 \text{ J}$. Их сумма равна $1 \text{ J}$.
И это значит, что в пружине тела $Q$ была запасена энергий 1 Дж.

Krit в сообщении #1314386 писал(а):
В ИСО связанной с телом $Q$ начальные данные теже.
Стоп. Зачем Вам третье тело, если здесь уже ошибка? И я ровно об этом писал в предыдущем сообщении. Если рассматриваете ИСО, связанную с телом $Q$ до взаимодействия с телом $P_0$, то в ней те же начальные данные, но это ровна та же СО, которую Вы рассмотрели в предыдущем абзаце - в ней тело $Q$ не покоится после отскока. Если рассматриваете ИСО, связанную с телом $Q$ после взаимодействия с телом $P_0$, то в ней другие начальные условия. Если рассматривать СО, в которой тело $Q$ все время покоится, то такая СО не является инерциальной, и в ней все Ваши рассуждения будут неверными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение24.05.2018, 01:32 


27/08/16
9426
Krit в сообщении #1314386 писал(а):
Я имею в виду систему отсчета, связанную с $Q$ в те промежутки времени, когда оно покоится. Т.е. сработала пружина, скорость мгновенно изменилась, тело снова покоится в новой ИСО. Т.е. правильней сказать я имею в виду последовательность ИСО в которых покоится $Q$ между толчками.
Это различные ИСО. В каждой ИСО свои импульсы и кинетические энергии всех тел. Бессмысленно их сравнивать в различных ИСО, нужно преобразовывать к общей ИСО для их сравнения (и для суммирования/вычитания).

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс кинетической энергии
Сообщение24.05.2018, 09:18 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
для взрослых

(Оффтоп)

Таких парадоксов куча. Они основаны на том, что реакции идеальных связей могут в одной инерциальной системе совершать работу , а в другой -- нет. Если теорему об изменении кин. энергии студенту рассказывали именно на уровне строгости теоремы, а не на физическом интуитивном уровне проблем не возникает

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group