Ряды с отрицательными и положительными элементами

[thething]

А мне прям так и хочется интегральный синус $\operatorname{Si}\left(\frac{\sin x}{x}\right)$ заменить просто на $\frac{\sin x}{x}$. Они там графически вообще практически неотличимы на бесконечности. Возможно, копать в сторону свойств интегрального синуса. Может, по формуле Тейлора его..

[SomePupil]

MestnyBomzh в сообщении #1314275 писал(а):

но вот потом задумался про то, насколько вообще корректно так делать

Корректно только когда оценки снизу и сверху стремятся к одному и тому же пределу. В этом случае дело сводится к банальным милиционерам. Я сейчас не вижу простого способа получить такие тонкие оценки.

MestnyBomzh в сообщении #1314293 писал(а):

Но он тут не чередует $+$ и $-$, а делает это примерно раз через три слагаемых. И проблема тут, как раз, в слове "примерно"

В произвольном ряду соседние члены с одинаковыми знаками можно группировать. От этого сходимость/несходимость исходного ряда не изменится. Да, и тут играет роль только конечность слагаемых с одинаковыми знаками, так что проблема может быть только в том, стремятся ли к нулю слагаемые.

[Munin]

MestnyBomzh в сообщении #1314293 писал(а):

от интеграла как избавились?

Я пока не избавлялся. Я вижу, что "наивно" интеграл похож на $\dfrac{\sin k}{k},$ и этому даже можно придавать некий более точный смысл, раскладывая $\dfrac{\sin x}{x}$ в нуле в ряд Тейлора. И поэтому я хочу сначала понять более простую задачу, как мне кажется - с рядом $\sum\dfrac{\sin k}{k}.$ Если это misleaded, я опускаю руки (я и так их опускаю, мои знания, навыки и идеи тут уже кончаются).

[MestnyBomzh]

SomePupil в сообщении #1314296 писал(а):

так что проблема может быть только в том, стремятся ли к нулю слагаемые.

Ага, то есть мы группируем слагаемые и получаем знакочередующийся ряд, верно?
А теперь надо показать, что каждое из слагаемых стремится к нулю. Это же довольно очевидно: $ \int\limits_{0}^{\varepsilon} \frac{\sin x}{x} dx \to 0$ при $\varepsilon \to 0$. Другое дело, что там же монотонность ещё нужна, с ней уже не так очевидно

[thething]

Munin в сообщении #1314298 писал(а):

И поэтому я хочу сначала понять более простую задачу, как мне кажется - с рядом $\sum\dfrac{\sin k}{k}.$

Дык по Дирихле же сходится, или я Вас не так понял?

[MestnyBomzh]

Кстати насчёт того, что $a_k$ сливается с $\frac{\sin k}{k}$ на бесконечности: мы можем использовать предельный признак сравнения, или он тоже только для знакоопределенных рядов?

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1314302 писал(а):

Кстати насчёт того, что $a_k$ сливается с $\frac{\sin k}{k}$ на бесконечности: мы можем использовать предельный признак сравнения, или он тоже только для знакоопределенных рядов?

К сожалению, не можем.

[Otta]

Я ничего не понимаю, честное слово. Или не вижу проблемы в упор.
При $k\to \infty$ верхний предел стремится к нулю, раскладываем по Тейлору до главного члена асимптотики подынтегральную функцию, остальное загоняем в о-большое, интегрируем, получаем два слагаемых, первое вида $\sin k/k$, с ним все ясно, про второе - показываем, что сходится абсолютно, являясь, в свою очередь, о-большим от чего-то там эталонного обобщенно гармонического.

Что не так?
Стандартное выделение главной части.

[ShMaxG]

А я бы воспользовался теоремой о среднем:

$$\int\limits_{0}^{\frac{\sin{k}}{k}}\frac{\sin{x}}{x}dx=\frac{\sin{x_k}}{x_k}\frac{\sin{k}}{k}, \ \ |x_k|\in\left[ 0, \frac{|\sin{k}|}{k} \right]$$

Коэффициент перед $\sin{k}/k$ сходится к единице при $k\to\infty$, а ряд от $\sin{k}/k$ условно сходится к $(\pi-1)/2$, как следует из рядов Фурье. Абсолютно ряд $\sin{k}/k$ не сходится, что можно показать, выделив соответствующую подпоследовательность.

[Otta]

ShMaxG в сообщении #1314306 писал(а):

А я бы воспользовался теоремой о среднем:

... тем самым неявно ссылаясь на предельный признак сравнения.

[Munin]

thething в сообщении #1314300 писал(а):

Дык по Дирихле же сходится, или я Вас не так понял?

Да, я сильно туплю.

[thething]

(Оффтоп)

Пришла Otta и всё разрулила Всё оказалось элементарно.

[SomePupil]

MestnyBomzh в сообщении #1314299 писал(а):

Другое дело, что там же монотонность ещё нужна, с ней уже не так очевидно

А если подумать?

[worm2]

ShMaxG в сообщении #1314306 писал(а):

ряд от $\sin{k}/k$ условно сходится к $(\pi-1)/2$, как следует из рядов Фурье.

Это и есть ключевой момент доказательства, остальное тривиально. Если не знать тяжёлую артиллерию в виде рядов Фурье, то
Хотя... тут ещё можно использовать тот факт (тоже не особенно тривиальный), что сумма $\left|\sum\limits_{k=1}^n \sin k\right|$ ограничена сверху для любого $n$ (есть явная формула) и применить признак Дирихле.

[Otta]

worm2 в сообщении #1314313 писал(а):

Это и есть ключевой момент доказательства, остальное тривиально.

Не понимаю.
Сходимость ряда $\sum \sin k/k$ (не значение, а сходимость) обосновывается и безо всяких рядов Фурье. Но это не главное, главное, что это ничего не дает в подтверждение сходимости исходного ряда.
Если $a_n=\beta_n b_n$, и $\beta_n\to 1$, то сходимость $\sum b_n$ не влечет сходимость $\sum a_n$ без предположения о знакопостоянстве (или дополнительных требований к $\beta_n$).
Так что хоть с фурьями, хоть без фурьёв обосновать "ключевой момент", толку от него не видно. Или я опять чего-то не понимаю.

Upd

(worm2)

Признак Дирихле проходят на 1 курсе, и ряд вида $\sum\dfrac{\sin x}{x^p}$ является обязательным к рассмотрению.