Исследование интегралов на сходимость

[thething]

Да, только ещё докрутить надо. Чему эквивалентно $t$? Как можно скобку преобразовать и применить эквивалентность?

[savlabeay]

В голову только это приходит:
Сделать замену $t-1=p$ и получить $\frac{p^\alpha\sin(p+1)}{(p+1)^{\alpha+1}}\sim\frac{p^\alpha\sin(p+1)}{(\alpha+1)p+1}$, где p стремится к 0

[thething]

Вот только давайте больше замен не делать. Всё же просто: $t\sim 1$. А если в скобке найти общий знаменатель, то и там будет $t\sim 1$. И останется только эталонный интеграл, помноженный на константу.

[savlabeay]

thething в сообщении #1313573 писал(а):

И останется только эталонный интеграл, помноженный на константу

Если я правильно все понял, то останется просто интеграл $\sin(1)\int\limits_{1}^{2}(t-1)^\alpha d(t-1)$ и на выходе получаем, что $\alpha>-1$. Если это так, то я немного не понимаю, почему мы можем так смело брать и заменять t на 1.

[thething]

Потому что

thething в сообщении #1313412 писал(а):

Любая функция эквивалентна своему пределу, если этот предел конечный и ненулевой

[savlabeay]

Понял. В такой случае, в окрестности 1 получаем альфа больше минус единицы, абсолютное схождение. В окрестности бесконечности сходится при любых альфа, а при исследовании на абсолютную и условную расходимости, получаю два интеграла, один расходится, другой сходится (причем при любых альфа) Получается, что интеграл условно сходится при альфа больше -1.

[thething]

savlabeay в сообщении #1313607 писал(а):

Получается, что интеграл условно сходится при альфа больше -1.

Да

[savlabeay]

thething в сообщении #1313608 писал(а):

Да

Спасибо Вам большое, узнал для себя много нового.