Исследование интегралов на сходимость

[savlabeay]

thething в сообщении #1313421 писал(а):

Да нет же, я Вам вот на это отвечал

savlabeay в сообщении #1313355 писал(а):

$\lim\limits_{A\to\infty}\int\limits_{1}^{A}\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha dt}{t}$

Вот этот интеграл у Вас расходится. Что там было еще помимо него, я не в курсе, т.к. Вы этого не предоставили. Подозреваю, что Вы там исследовали отсутствие абсолютной сходимости, сводя к косинусу двойного угла.

-- 19.05.2018, 15:35 --

К исходной функции на бесконечности эквивалентности применять нельзя, т.к. она незнакопостоянна.

То есть, исследуя на абсолютную сходимость, найдем значения параметра, при котором, сходимость будет достигаться. А остальная ОДЗ параметра, уйдет на условную сходимость и расходимость интеграла в целом. Я ничего не путаю? И если не путаю, то исходный интеграл также нуждается в исследовании, для отсеивания значений параметра, при котором интеграл расходится. ps и да, я сводил к косинусу двойного угла.

[thething]

Выше я предлагал последовательность действий, распишу ещё раз, подробнее:
1. Находим области абсолютной сходимости и ее отсутствия (тут скорее всего признаки сравнения)
2. Исследуем условную сходимость в оставшихся после исследования абсолютной сходимости областях (тут, например, Абель-Дирихле)
3. Исследуем отсутствие сходимости в оставшейся после п.2 области (ну или наличие, но это как-то реже).

Попробуйте по этой схеме исследовать Ваш первый интеграл, а потом -- оба интеграла из второго задания.

[savlabeay]

thething в сообщении #1313437 писал(а):

Выше я предлагал последовательность действий, распишу ещё раз, подробнее:
1. Находим области абсолютной сходимости и ее отсутствия (тут скорее всего признаки сравнения)
2. Исследуем условную сходимость в оставшихся после исследования абсолютной сходимости областях (тут, например, Абель-Дирихле)
3. Исследуем отсутствие сходимости в оставшейся после п.2 области (ну или наличие, но это как-то реже).

Попробуйте по этой схеме исследовать Ваш первый интеграл, а потом -- оба интеграла из второго задания.

Хорошо, спасибо, сейчас попробую.

[Lia]

savlabeay
Замечание за постоянное избыточное цитирование. Пользуйтесь кнопкой "Вставка" для цитирования выделенного фрагмента текста или удаляйте лишнее из цитаты.

[savlabeay]

thething в сообщении #1313437 писал(а):

Выше я предлагал последовательность действий, распишу ещё раз, подробнее:

В общем, немного посидев, подумал, если начнем исследовать сразу абсолютную сходимость, то можно сделать лишнюю работу, исследуя при $\alpha<0$ и $\alpha>0$. Если исходный интеграл прогнать по Дирихле в двух особых точках (1 и $\infty$), то придем к выводу, что $\alpha>0$. А при исследовании на абсолют сходимость пока не получается. В одном случае (сокращенно: $|\sin(t)|\geqslant\sin(t)^2$) интеграл распадается на два и один из них сходится, другой нет. А при второй попытке (сокращенно: $|\sin(t)|\leqslant1$) интеграл расходится и соответственно ни о чем не говорит.

[thething]

savlabeay
Воля Ваша, главное, чтобы задача была решена. Делайте, как Вам удобно.

savlabeay в сообщении #1313458 писал(а):

интеграл распадается на два и один из них сходится, другой нет

И о чём это Вам говорит?

[savlabeay]

thething в сообщении #1313459 писал(а):

И о чём это Вам говорит?

А, ну да, расходится и исходный

[thething]

savlabeay в сообщении #1313458 писал(а):

придем к выводу, что $\alpha>0$

Перепроверьте ещё раз этот вывод. А то маловато как-то. Для окрестности единицы предельный признак сравнения дает бОльшее множество, а для окрестности бесконечности уже Абель даёт любые значения альфа

(Оффтоп)

Замечу, что никакой лишней работы по предложенной мной схеме делать не придется. Изначально про альфа Вы вообще ничего не знаете, ни больше оно нуля, ни меньше (кроме самых элементарных случаев). По "моей" схеме Вы постепенно отсекаете области той или иной сходимости, начиная от более сильной к самой слабой. А главное -- это порядок и никаких проблем, чтобы собрать всё, что получилось в один ответ.. Но я не настаиваю.

[savlabeay]

thething в сообщении #1313466 писал(а):

Перепроверьте ещё раз этот вывод.

Да, я уже понял, что ошибся. А для каждой окрестности (в моем случае 1 и бесконечность) необходимо свое исследование на абсолют и условную сходимости?

[thething]

savlabeay в сообщении #1313470 писал(а):

А для каждой окрестности (в моем случае 1 и бесконечность) необходимо свое исследование на абсолют и условную сходимости?

Да, интеграл надо разбить на два и исследовать каждый отдельно, а потом найти пересечение полученных областей абсолютной и условной сходимости.

[savlabeay]

savlabeay в сообщении #1313470 писал(а):

предельный признак сравнения дает бОльшее множество

При исследовании единички получилось, что параметр захватывает еще и 0.

[thething]

Нет, мало. Можете написать, как именно исследовали, чтоб Вам не играть в угадайку.

[savlabeay]

Начал с разбиения интеграла: $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha\sin(t)dt}{t}=$\int\limits_{1}^{2}\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha\sin(t)dt}{t}+$\int\limits_{2}^{\infty}\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha\sin(t)dt}{t}$. Исследую первый, как Вы и посоветовали, начал с абсолют сходимости, используя признак сравнения $|\sin(t)|\leqslant1$. Пришел к интегралу: $\int\limits_{1}^{2}\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha dt}{t}$, далее использовал предельный признак сравнения, взяв за $g(x)=\frac{1}{t^2}$ из этого получилось, что альфа больше, либо равно ноль.

[thething]

Этот интеграл -- от знакоположительной функции, его не имеет смысла исследовать на абсолютную сходимость. Можно сразу применять предельный признак. Используйте в подынтегральной функции то, что я раньше говорил про эквивалентности. Здесь Вас интересует эквивалентность при $t \to 1$

Ещё предельный признак хорош тем, что он даст Вам также и условие расходимости.

[savlabeay]

thething в сообщении #1313488 писал(а):

Используйте в подынтегральной функции то, что я раньше говорил про эквивалентности.

То есть, имеет место быть, вот такая запись? $\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha\sin(t)}{t}\sim\frac{(1-\frac{1}{t})^\alpha\sin(1)}{t}$