Сходимость ряда

[an2ancan]

Здравствуйте.
Последовательность $a_n$ задана условиями $ a_1=1 $, $a_{n+1} = \sin(a_n)$. Сходится ли ряд $\sum\limits_{i =1} ^ {\infty} a_i$?;

Видно, что
$\lim\limits_{i \rightarrow \infty} a_i = 0$
$\lim\limits_{i \rightarrow \infty} \frac {a_{i+1}}{a_i} = \lim\limits_{a_i \rightarrow 0} \frac{\sin(a_i)}{a_i} = 1$

Вот, что делать дальше, я не знаю. Думал о том, чтобы найти какую-то функцию, чтобы сравнить ее с исходной, но не к чему не пришел.

[Ms-dos4]

an2ancan
Можно попытаться показать, что главный член асимптотики при $k \to + \infty $ есть ${a_k} \sim \sqrt {\frac{3}{k}} $.

[DeBill]

an2ancan
Для последовательности $b_{n+1} =f(b_n)$ с функцией $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+cx^2}}$ все члены явно выражаются через $b_1$, и (ра)сходимость соответствующего ряда легко проверяется. Рассматривая различные $c$, и сравнивая функции $f(x)$ и $\sin x$, можно получить желаемую для признака сравнения оценку (снизу)

-- 17.05.2018, 20:02 --

Но асимптотику, указанную Ms-dos4, так просто не получить....

[demolishka]

an2ancan, если интересно получение асимптотики для итераций синуса, то в книжке Де Брёйна Н. Г. "Асимптотические методы в анализе" эта задача подробно разобрана.

[Ms-dos4]

DeBill
Ну я не математик а физик, так что методы могут показаться дикими, но я ту асимптотику получил так. Раскладывая синус в ряд Тейлора, получаем

$${a_{k + 1}} = {a_k} - \frac{{a_k^3}}{6} + O(a_k^5)$$

Т.к. ${a_k}$ убывает, отбрасываем все члены высших порядков, и рассмотрим $k$ как континуальную переменную. Тогда

$$a(k + 1) \approx a(k) - \frac{{{a^3}(k)}}{6}$$

Откуда по аналогии с разложением ${\left. {a(k + x)} \right|_{x = 1}}$ получим

$$\frac{{da}}{{dk}} \approx - \frac{1}{6}{a^3}(k)$$

Интегрируя данное ДУ,

$$a(k) \approx \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {k - C} }}$$

. Константа нам не важна при $k \to + \infty $, так что

$$a(k) \sim \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt k }}$$

P.S.Ногами не пинать.

[DeBill]

Ms-dos4
Ну, а я математик, а не физик...
И ту асимптотику получал так:
Диффеоморфизм $x \mapsto \sin x$ гладко эквивалентен сдвигу за единичное время вдоль фазовых кривых векторного поля $\frac{x^2}{1-cx^2}\frac{\partial}{\partial x}$ для некоторого $c$ (лень его считать) ( это следует из теоремы о секториальной нормализации аналитических диффеоморфизмов, касательных к тождественному. Доказательство ее несложно - так, пара страниц выкладок. Теорема достаточно известная (ну, я ее знаю. И еще несколько человек знаю, которые ее знают...)). Ну, а для такого сдвига - все делается также как у Вас....

[demolishka]

Ms-dos4 в сообщении #1312962 писал(а):

P.S.Ногами не пинать.

Ваш метод также имеет математическое обоснование . См. разбор задачи 4.8 главы 6 из Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А. "Избранные задачи по вещественному анализу" (в моем издании он проведен на стр. 280-281).

[vpb]

Коллеги, а не зря ли вы со столь крупнокалиберных орудий бабахаете? Это задача с шадовского экзамена, а все шадовские задачи имеют то интересное свойство, что они тривиальны. Ну и эта тоже в две строчки решается, если чуть знать матан.

(Заметим в скобках, что ТС, судя по его предыдущим темам, имеет намерение "подготовиться" к этому экзамену, узнавая решения задач прошлых лет. Мне этот путь представляется, мягко говоря, сомнительным.)