2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение17.05.2018, 08:16 


03/02/16
88
Здравствуйте.
Последовательность $a_n$ задана условиями $ a_1=1 $, $a_{n+1} = \sin(a_n)$. Сходится ли ряд $\sum\limits_{i =1} ^ {\infty} a_i$?;

Видно, что
$\lim\limits_{i \rightarrow \infty} a_i = 0$
$\lim\limits_{i \rightarrow \infty} \frac {a_{i+1}}{a_i} = \lim\limits_{a_i \rightarrow 0} \frac{\sin(a_i)}{a_i} = 1$

Вот, что делать дальше, я не знаю. Думал о том, чтобы найти какую-то функцию, чтобы сравнить ее с исходной, но не к чему не пришел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение17.05.2018, 12:34 
Заслуженный участник


25/02/08
2909
an2ancan
Можно попытаться показать, что главный член асимптотики при $k \to  + \infty $ есть ${a_k} \sim \sqrt {\frac{3}{k}} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение17.05.2018, 18:00 
Заслуженный участник


10/01/16
1714
an2ancan
Для последовательности $b_{n+1} =f(b_n)$ с функцией $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+cx^2}}$ все члены явно выражаются через $b_1$, и (ра)сходимость соответствующего ряда легко проверяется. Рассматривая различные $c$, и сравнивая функции $f(x)$ и $\sin x$, можно получить желаемую для признака сравнения оценку (снизу)

-- 17.05.2018, 20:02 --

Но асимптотику, указанную Ms-dos4, так просто не получить....

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение17.05.2018, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
670
матмех спбгу
an2ancan, если интересно получение асимптотики для итераций синуса, то в книжке Де Брёйна Н. Г. "Асимптотические методы в анализе" эта задача подробно разобрана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение17.05.2018, 19:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2909
DeBill
Ну я не математик а физик, так что методы могут показаться дикими, но я ту асимптотику получил так. Раскладывая синус в ряд Тейлора, получаем
$${a_{k + 1}} = {a_k} - \frac{{a_k^3}}{6} + O(a_k^5)$$
Т.к. ${a_k}$ убывает, отбрасываем все члены высших порядков, и рассмотрим $k$ как континуальную переменную. Тогда
$$a(k + 1) \approx a(k) - \frac{{{a^3}(k)}}{6}$$
Откуда по аналогии с разложением ${\left. {a(k + x)} \right|_{x = 1}}$ получим $$\frac{{da}}{{dk}} \approx  - \frac{1}{6}{a^3}(k)$$
Интегрируя данное ДУ, $$a(k) \approx \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {k - C} }}$$. Константа нам не важна при $k \to  + \infty $, так что $$a(k) \sim \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt k }}$$
P.S.Ногами не пинать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение18.05.2018, 00:32 
Заслуженный участник


10/01/16
1714
Ms-dos4
Ну, а я математик, а не физик...
И ту асимптотику получал так:
Диффеоморфизм $x \mapsto \sin x$ гладко эквивалентен сдвигу за единичное время вдоль фазовых кривых векторного поля $\frac{x^2}{1-cx^2}\frac{\partial}{\partial x}$ для некоторого $c$ (лень его считать) ( это следует из теоремы о секториальной нормализации аналитических диффеоморфизмов, касательных к тождественному. Доказательство ее несложно - так, пара страниц выкладок. Теорема достаточно известная (ну, я ее знаю. И еще несколько человек знаю, которые ее знают...)). Ну, а для такого сдвига - все делается также как у Вас.... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение18.05.2018, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
670
матмех спбгу
Ms-dos4 в сообщении #1312962 писал(а):
P.S.Ногами не пинать.

Ваш метод также имеет математическое обоснование :-). См. разбор задачи 4.8 главы 6 из Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А. "Избранные задачи по вещественному анализу" (в моем издании он проведен на стр. 280-281).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.05.2018, 01:25 
Заслуженный участник


18/01/15
685
Коллеги, а не зря ли вы со столь крупнокалиберных орудий бабахаете? Это задача с шадовского экзамена, а все шадовские задачи имеют то интересное свойство, что они тривиальны. Ну и эта тоже в две строчки решается, если чуть знать матан.

(Заметим в скобках, что ТС, судя по его предыдущим темам, имеет намерение "подготовиться" к этому экзамену, узнавая решения задач прошлых лет. Мне этот путь представляется, мягко говоря, сомнительным.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group