Расчёт гравитационного замедления времени в два действия

[m_еugene]

.
Даётся алгоритм расчёта, позволяющий при заданной массе тела и расстоянию до его центра находить эффект гравитации:
Гравитационное замедление времени и линейное сокращение размера.

Обычный расчёт в ОТО для определения гравитационного времени предполагает
переход от понятия "искривление геометрии" к понятию "гравитационное поле",
делается приближение для величины поля и
через нетривиальные формулы находится численное значение для искомого гравитационного замедления времени.
Эта манера определения замедления в цифрах напоминает мне кривой способ нахождения площади прямоугольного треугольника:
Длинный путь:
берём интеграл от подинтегральной функции ( прямая, частью которой является гипотенуза) в пределах (числа начала и окончания основания) находим первообразную и подставляем пределы интегрирования.

Результат несомненно верен, но кто пользуется таким способом?

Обычно попросту умножают основание на высоту.

И в случае расчёта гравитационного замедления времени имеется способ расчёта в два действия.

Взято из
Re: Гравитационное искривление времени
http://www.astronomy.ru/forum/index.php ... 69.80.html
« Ответ #86: 30.09.2007 [15:27:38] »

Способ расчёта основан на применении формулы решения Шварцшильда (Ландавшиц, Т2, -(100.14)

Исходные данные:

Гравитационная постоянная:
$ k = 6,67286741(83)*10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2} $

Скорость света $300 000$ км = $3*10^8 $ м \сек
.
1. Находим вторую космическую скорость для чего подставляем в формулу из школьного учебника
(или из http://www.gek47.narod.ru/a/dok.html )

$V= \sqrt \frac{2km}{r}$

массу тела в килограммах

радиус в метрах

Получим значение второй космической скорости в метрах/ сек для данного радиуса и массы тела.

2. Находим замедление времени для чего подставляем в формулу преобразования Лоренца
( отмечена " где v берется из (3)" ) из той же работы

$dt` = dt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2} }$

И проведу расчёт для замедления времени для поверхности Земли.

данные:
Радиус Земли $6.370 $ км $=6,37*10^6$ метров.
Масса Земли $9737*10^{24}$кг
применяем алгоритм, 1) :


$V=\sqrt \frac{2* 6,67286741(83) *10^{-11} m^3 kg^{-1}s^{-2} * 5,9737*10^{24 }kg}{ 6,37*10^6 m} $


Получаем $11200$м/сек

Далее применяем алгоритм, 2) :

$ dt` = \sqrt{1-\frac{11200^2}{(3 * 10^8)^2} }$

Получили

замедление скорости на поверхности Земли $0,9999999993 = 1 - 7*10^{-10} $.

То есть:
на одну секунду течения времени вдали приходится 0,9999999993 секунды по времени на поверхности Земли.

Применив формулу преобразования Лоренца для сокращения размера


$dr` = dr \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2} } $

получим также и значение для гравитационного сокращения размера

_________________________________________________________________
.
Ну и сразу дам расчёт по этому же алгоритму для опыта Паунда-Ребки

Дано:
Радиус Земли $6.370 $ км $=6,37*10^6$ м метров для первой точки

радиус для второй точки больше на $22,5$ метров

для опыта Паунда-Ребки, на поверхности Земли.

Я приводил этот расчёт в http://www.gek47.narod.ru/a/dok.html

поскольку эффект чрезвычайно мал, я решал его через приращения

и получил разницу в частотах $2,46 * 10^{-15}$

Опыт даёт для тех же условий $2,47 * 10^{-15}}$

Сам расчёт в приращениях умещается на страницу.

Обращу Ваше внимание, что в последнем расчёте не используется
ни масса Земли,
ни гравитационная постоянная
ни понятие "гравитационное поле" -
то есть расчёт начинается с уже известной второй космической скорости для одной из точек
.
Полагаю. что предложенный расчёт гораздо проще употребляемого в ОТО и его
стоит обсудить на форуме.

С уважением Евгений

P.S. В школе можно преподавать гравитацию.
Все необходимые формулы для определения гравитационных эффектов в школе уже есть.
.

[photon]

[mod="photon"]еugene
1) Не понятно, что Вы предлагаете обсуждать - это не блог, а форум.
2) Для записи формул используйте принятую на форуме нотацию ($\TeX$; введение, справка)
3) Красное цветовыделение запрещено - читайте правила

Переношу тему в Карантин. После внесения исправлений свяжитесь с одним из модераторов[/mod]

[photon]

[mod="photon"]Возвращено[/mod]

[m_еugene]

Уважаемые.

В откликах на «Алгоритм …» был задан вопрос –

а как это самое r находить – ведь от интересующей точки до центра рулеткой не измеришь.
Тем более до центра Чёрной дыры.


Решение Ш. ведено для утилитарных целей:
Определение эффектов гравитации в зависимости от удалённости рассматриваемой точки от центра гравитации.


Я вернусь к выводу этого решения Ш, проведённого ЛЛ, Т2, стр 385-388.

Я согласен с ЛЛ, что расстояние от центра в понимании евклидова пространства не имеет аналога в гравитации.

На стр. 386 имеется фраза:
....выберем координату r и t таким образом ... Последнее означает, что что радиус-вектор r определён таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат
была равна 2(пи)r

итак, имеем одну точку, в которой расстояния по галилеевым координатам и у ЛЛ совпадают:
эта точка в начале координат, то есть ноль.

Вторая точка - это гравитационный радиус.
При выводе решения Ш. подставляется гравитационный радиус, определённый по Ньютону. То есть в решение вводится радиус, на котором вторая космическая скорость равна скорости света.
Формула (100.13)

Третье - на бесконечности метрика решения Ш. совпадает с галилеевой.
ЛЛ Т2 стр. 388.
Как и следовало, на бесконечности ... т.е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой.

То есть имеется по крайней мере две точки, в которых соотношение между расстоянием в решении Ш. и галилеевыми координатами определено однозначно (совпадают), и на бесконечности метрики совпадают.

Действительно, что, находясь в гравитации, определить своё местонахождение от центра не просто,
однако это не означает, что определить это самое r которое входит в решение Ш. невозможно.

Это делается так:
Берётся стандарт частоты в интересующей точке, и его частота сравнивается с таким же стандартом частоты, находящемся в удалении - на таком удалении, какова требуется точность в определении r .

Это сравнение вставляется в формулу решения Ш. и получаем то самое r ,
где мы находимся и которое соответствует расстоянию от центра до нас
и которое и входит в формулу решения Ш.
и которое ранее «не знали, как определить»

Теперь и Вы знаете.

Вывод прост:

Решение Шварцшильда - инструмент, формула, для нахождения эффектов гравитации при подстановке в формулу галилеевого расстояния от центра.


(Подставьте в решение Ш. гравитационный радиус, равный нулю, и получите галилеевы координаты. )

Поэтому, выбирая в некоторой точке начало координат и помещая в эту точку тело,
мы получаем изменение геометрии dl и dt - в выбранном промежутке между нулём и бесконечностью
по сравнению с пустым пространством, и именно для этого и используется решение Ш., и никак иначе -
и уж тем более для определения метрики.

Исходя из вышесказанного, алгоритм применим
для нахождения эффектов гравитации - замедления времени, изменения линейных размеров -
при подстановке галилеевого радиуса

и ясном понимании, что найденные эффекты гравитации показывают изменение геометрии по сравнению с геометрией в отсутствие гравитации в той же самой точке.

С уважением Евгений.

[m_еugene]

Уважаемые.

Скоро сессия, и мне хотедось бы узнать реакцию препода при экзамене
на следующее тождественное преобразование решения Шварцшильда.

Этот форум уникален тем, что позволяет писать формулы в пристойном виде прямо в тексте сообщения.
Ува-ажение к модераторам.

Так вот хочу полюбоваться на это самое тождественное преобразование решения Шварцшильда на экране.

Смотрим каноническое ЛЛ, Т2, стр.388:

$ ds^2 = (1 - \frac {r_g}r) c^2 dt^2 - r^2 (sin^2 \theta d\varphi^2 + d\theta^2 ) - \frac {dr^2} {1 - \frac {r_g} r} $

(100,14) Landau/Lifchic, T2, str. 388 $

где
$ r_g = \frac{2km} {c^2} $

$(100.13)$ на той же странице.

Подставим (100.13) в (100.14)

$ ds^2 = (1 - \frac {2km} { c^2 } \frac1 r ) c^2 dt^2 - r^2 (sin^2 \theta d\varphi^2 + d\theta^2 ) - \frac {dr^2} {1 - \frac {2km} {c^2 } \frac1 r} $

Переставим местами $c^2 $ и $ r $ в знаменателе

$ ds^2 = (1 - \frac {2km} { r } \frac1 { c^2 }) c^2 dt^2 - r^2 (sin^2 \theta d\varphi^2 + d\theta^2 ) - \frac {dr^2} {1 - \frac {2km} {r } \frac1 { c^2 } } (A) $

Вспоминаем школьную формулу для второй космической скорости

$ v = \sqrt{\frac{2km} r} $

то есть
$ v^2 = \frac{2km} r $ и подставим в (A)

$ ds^2 = (1 - \frac{v^2} { c^2 }) c^2 dt^2 - r^2 (sin^2 \theta d\varphi^2 + d\theta^2 ) - \frac {dr^2} {1 - \frac{v^2} { c^2 }} $


или

$ ds^2 = c^2 \left( dt \sqrt{1 - \frac{v^2} { c^2 } } ) \right)^2 - r^2 (sin^2 \theta d\varphi^2 + d\theta^2 ) - \left({\frac {dr} {\sqrt {1 - \frac{v^2} { c^2 } } } \right)^2 $


В таком виде немедленно видна связь между решением Ш. и преобразованиями Лоренца
и зависимость эффектов гравитации от второй космической скорости в интересующей точке.

Ещё один плюс - не нужно подставлять в формулу значение гравитационного радиуса,
которое в жизни рулеткой не измеришь,
а подставляется легко измеримая вторая космическая скорость (да хоть по ускорению в данной точке).
.
С уважением Евгений
.

[Galakt]

Не могли бы Вы посчитать замедление времени на краю нашей Галактики?
(Массу Галактики,видимо,можно принять 2*10^41 кг,а радиус диска 10^5 световых лет).

[photon]

[mod="photon"]Galakt, не дублируйте сообщения[/mod]