Треугольник с площадью sqrt(N) для любого натурального N

[scwec]

Докажите, что для любого натурального $N$ найдется треугольник с рациональными длинами сторон, площадь которого равна $\sqrt{N}$.

[scwec]

Упростим ситуацию. Вот треугольник с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и площадью $S=\sqrt{N}$.
Оставим пока в стороне способ, каким этот треугольник получен.
$a = \dfrac{2N(1+N^3)}{2N^3-1}$
$b = \dfrac{32N^6-1-14N^3}{6N^2(4N^3+1)}$
$c = \dfrac{96N^6+16N^9+1}{6N^2(-1-2N^3+8N^6)}$
Найдите однопараметрическое рациональное семейство треугольников с площадью $S=\sqrt{N}$, в которое при значении параметра 1 входит указанный треугольник.

[Andrey A]

(к началу)

$\left ( z,\dfrac{x^2+N}{xz}, \dfrac{y^2+N}{yz}\right )$ , если верно $\left (xy-N \right )\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=z^2$. Но как это решить в рациональных числах не знаю, к линейным системам не сводится. Решению $N=1$ из предыдущего поста соответствуют $x=15,y=\dfrac{5}{3}$.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1313579 писал(а):

$\left ( z,\dfrac{x^2+N}{xz}, \dfrac{y^2+N}{yz}\right )$ , если верно $\left (xy-N \right )\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=z^2$

Формулы для длин сторон и уравнение верные. Теперь, как можно решать уравнение.
Положим $N=-K$, а вместо двух переменных $x,y$ вводим одно $u$, а именно $x=Ku,y=Ku^2$.
Тогда уравнение запишется так: $(Ku^3+1)(u+1)=Z^2$, где $Z=uz$
Это уравнение имеет рациональное решение $u=\frac{3}{1-4K},Z=\pm\frac{2(1+8K)(1-K)}{(1-4K)^2}$,
откуда $x=\frac{3K}{1-4K},y=\frac{9K}{(1-4K)^2},z=\pm\frac{2(1+8K)(1-K)}{3(1-4K)}$
Подставляя $x,y,z$ в формулы Andrey A, учитывая $N=-K$ и беря абсолютные значения вычисленных величин, получаем длины сторон треугольника с площадью $\sqrt{N}$.
Этот треугольник отличается от того, который мною выше приведён, но они принадлежат одному и тому же 1-параметрическому семейству,
формулы для которого можно написать, исходя из формулы Герона.