2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольник с площадью sqrt(N) для любого натурального N
Сообщение16.05.2018, 22:17 
Заслуженный участник


17/09/10
1696
Докажите, что для любого натурального $N$ найдется треугольник с рациональными длинами сторон, площадь которого равна $\sqrt{N}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с площадью sqrt(N) для любого натурального N
Сообщение19.05.2018, 23:49 
Заслуженный участник


17/09/10
1696
Упростим ситуацию. Вот треугольник с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и площадью $S=\sqrt{N}$.
Оставим пока в стороне способ, каким этот треугольник получен.
$a = \dfrac{2N(1+N^3)}{2N^3-1}$
$b = \dfrac{32N^6-1-14N^3}{6N^2(4N^3+1)}$
$c = \dfrac{96N^6+16N^9+1}{6N^2(-1-2N^3+8N^6)}$
Найдите однопараметрическое рациональное семейство треугольников с площадью $S=\sqrt{N}$, в которое при значении параметра 1 входит указанный треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с площадью sqrt(N) для любого натурального N
Сообщение20.05.2018, 06:43 


21/11/12
548

(к началу)

$\left ( z,\dfrac{x^2+N}{xz}, \dfrac{y^2+N}{yz}\right )$ , если верно $\left (xy-N \right )\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=z^2$. Но как это решить в рациональных числах не знаю, к линейным системам не сводится. Решению $N=1$ из предыдущего поста соответствуют $x=15,y=\dfrac{5}{3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с площадью sqrt(N) для любого натурального N
Сообщение20.05.2018, 16:43 
Заслуженный участник


17/09/10
1696
Andrey A в сообщении #1313579 писал(а):
$\left ( z,\dfrac{x^2+N}{xz}, \dfrac{y^2+N}{yz}\right )$ , если верно $\left (xy-N \right )\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=z^2$

Формулы для длин сторон и уравнение верные. Теперь, как можно решать уравнение.
Положим $N=-K$, а вместо двух переменных $x,y$ вводим одно $u$, а именно $x=Ku,y=Ku^2$.
Тогда уравнение запишется так: $(Ku^3+1)(u+1)=Z^2$, где $Z=uz$
Это уравнение имеет рациональное решение $u=\frac{3}{1-4K},Z=\pm\frac{2(1+8K)(1-K)}{(1-4K)^2}$,
откуда $x=\frac{3K}{1-4K},y=\frac{9K}{(1-4K)^2},z=\pm\frac{2(1+8K)(1-K)}{3(1-4K)}$
Подставляя $x,y,z$ в формулы Andrey A, учитывая $N=-K$ и беря абсолютные значения вычисленных величин, получаем длины сторон треугольника с площадью $\sqrt{N}$.
Этот треугольник отличается от того, который мною выше приведён, но они принадлежат одному и тому же 1-параметрическому семейству,
формулы для которого можно написать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group