2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:39 


22/08/12
126
Здравствуйте Всем.
Даны гиперсфера $S^n$ и уравнение билинейной формы $B(x,y)=v$, где x и y точки гиперсферы с координатами соответственно $(x_1,x_2,...,x_n)$ и $(y_1,y_2,...,y_n)$, а $v \in R$.

Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?

Спасибо.

Идея.
Я пытаюсь геометрически находить пересечение гиперсферы и билинейной формы, но пока не понимаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23597
Уфа
hazzo в сообщении #1312718 писал(а):
Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?
Вы хотели сказать, пары точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:57 


22/08/12
126
Да, пары точек. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23597
Уфа
Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера. :wink:

-- Ср май 16, 2018 20:28:31 --

Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:36 


22/08/12
126
arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера. :wink:

А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?

-- 16.05.2018, 19:39 --

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:54 
Заслуженный участник


01/06/15
832
С.-Петербург
hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?
Смотря какого пространства. Гиперсфера $S^n$ естественным образом вложена в пространство $R^{n+1}$. Множество пар точек гиперсферы его подмножеством не является. В лучшем случае это подмножество $R^n\times R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23597
Уфа
hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?
Ну, выбираете какую угодно точку $P$ в качестве первого аргумента; от билинейной формы остаётся линейная, находите пересечение гиперплоскости соответствующего её уровня с гиперсферой, получаете множество точек $\mathcal Q_P$. В итоге вы нашли часть искомых пар — множество $\{P\}\times\mathcal Q_P$. Множество всех пар будет $$\bigcup_{P\in V} \{P\}\times\mathcal Q_P,$$где $V$ — ваше пространство.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?
Во-первых, тут то, что уже написал Walker_XXI. Во-вторых в уравнение входит ещё число $v$. Так что одной билинейной формой множество его решений не определяется, и говорить «билинейная форма», имея в виду множество решений, нельзя, даже если мы рассматриваем пространство пар.

Дальше давайте наведём порядок в обозначениях. Я надеялся, не придётся, но у вас проблема с тем, что координат у точек $n$ и размерность гиперсферы тоже $n$ — это несовместимо. Либо размерность сферы $n-1$ и пространства $n$, либо размерность сферы $n$ и пространства $n+1$. Ниже я принимаю первый вариант (он по понятным причинам удобнее). Далее, если у нас есть базис $$\mathcal E = (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$$пространства $V$, то в $V\times V$ будет базисом набор $$\mathcal E' = (\mathbf e^L_1,\ldots,\mathbf e^L_n,\mathbf e^R_1,\ldots,\mathbf e^R_n),$$ где $\mathbf e^L_n = (\mathbf e_n,\mathbf0)$ и $\mathbf e^R_n = (\mathbf0,\mathbf e_n)$. Это пригодится ниже.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.
А какая квадратичная форма у вас получилась? Сможете записать её матрицу в базисе $\mathcal E'$, если матрица билинейной в базисе $\mathcal E$$B$? (Обозначена той же буквой, что сама форма, но путаницы не будет.) И нашли ли вы, чем будет исходная гиперсфера в этом пространстве?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group