2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:39 


22/08/12
127
Здравствуйте Всем.
Даны гиперсфера $S^n$ и уравнение билинейной формы $B(x,y)=v$, где x и y точки гиперсферы с координатами соответственно $(x_1,x_2,...,x_n)$ и $(y_1,y_2,...,y_n)$, а $v \in R$.

Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?

Спасибо.

Идея.
Я пытаюсь геометрически находить пересечение гиперсферы и билинейной формы, но пока не понимаю как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
hazzo в сообщении #1312718 писал(а):
Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?
Вы хотели сказать, пары точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 17:57 


22/08/12
127
Да, пары точек. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера. :wink:

-- Ср май 16, 2018 20:28:31 --

Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:36 


22/08/12
127
arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера. :wink:

А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?

-- 16.05.2018, 19:39 --

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):
Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 18:54 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?
Смотря какого пространства. Гиперсфера $S^n$ естественным образом вложена в пространство $R^{n+1}$. Множество пар точек гиперсферы его подмножеством не является. В лучшем случае это подмножество $R^n\times R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперсферическая билинейная форма
Сообщение16.05.2018, 19:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?
Ну, выбираете какую угодно точку $P$ в качестве первого аргумента; от билинейной формы остаётся линейная, находите пересечение гиперплоскости соответствующего её уровня с гиперсферой, получаете множество точек $\mathcal Q_P$. В итоге вы нашли часть искомых пар — множество $\{P\}\times\mathcal Q_P$. Множество всех пар будет $$\bigcup_{P\in V} \{P\}\times\mathcal Q_P,$$где $V$ — ваше пространство.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?
Во-первых, тут то, что уже написал Walker_XXI. Во-вторых в уравнение входит ещё число $v$. Так что одной билинейной формой множество его решений не определяется, и говорить «билинейная форма», имея в виду множество решений, нельзя, даже если мы рассматриваем пространство пар.

Дальше давайте наведём порядок в обозначениях. Я надеялся, не придётся, но у вас проблема с тем, что координат у точек $n$ и размерность гиперсферы тоже $n$ — это несовместимо. Либо размерность сферы $n-1$ и пространства $n$, либо размерность сферы $n$ и пространства $n+1$. Ниже я принимаю первый вариант (он по понятным причинам удобнее). Далее, если у нас есть базис $$\mathcal E = (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$$пространства $V$, то в $V\times V$ будет базисом набор $$\mathcal E' = (\mathbf e^L_1,\ldots,\mathbf e^L_n,\mathbf e^R_1,\ldots,\mathbf e^R_n),$$ где $\mathbf e^L_n = (\mathbf e_n,\mathbf0)$ и $\mathbf e^R_n = (\mathbf0,\mathbf e_n)$. Это пригодится ниже.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):
Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.
А какая квадратичная форма у вас получилась? Сможете записать её матрицу в базисе $\mathcal E'$, если матрица билинейной в базисе $\mathcal E$$B$? (Обозначена той же буквой, что сама форма, но путаницы не будет.) И нашли ли вы, чем будет исходная гиперсфера в этом пространстве?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group