Гиперсферическая билинейная форма

[hazzo]

Здравствуйте Всем.
Даны гиперсфера $S^n$ и уравнение билинейной формы $B(x,y)=v$, где x и y точки гиперсферы с координатами соответственно $(x_1,x_2,...,x_n)$ и $(y_1,y_2,...,y_n)$, а $v \in R$.

Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?

Спасибо.

Идея.
Я пытаюсь геометрически находить пересечение гиперсферы и билинейной формы, но пока не понимаю как.

[arseniiv]

hazzo в сообщении #1312718 писал(а):

Как найти точки гиперсферы, удовлетворяющие уравнению билинейной формы?

Вы хотели сказать, пары точек?

[hazzo]

Да, пары точек. Спасибо.

[arseniiv]

Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера.

-- Ср май 16, 2018 20:28:31 --

Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

[hazzo]

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):

Тогда вспомните, что если зафиксировать один аргумент, билинейная форма превращается в линейную. Уравнение даст некоторую гиперплоскость, а пересечение гиперплоскости и гиперсферы — сфера коразмерности 2 (или вырожденная — точка, или пусто). Выбирая разный первый аргумент, вы получаете всевозможные варианты второго (или наоборот, по второму искать подходящие значения первого).

А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):

Ещё у вас проблема с тем, что вы пишете «пересечение гиперсферы и билинейной формы». Билинейная форма — это не подмножество пространства, как гиперсфера.

А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?

-- 16.05.2018, 19:39 --

arseniiv в сообщении #1312728 писал(а):

Ещё эту задачу можно переформулировать, рассмотрев пространство вдвое большей размерности, превращая искомые пары в точки, билинейную форму в квадратичную, гиперсферу в… Тогда вы сможете охватить пересечение одним взглядом, но это не будет проще, просто другой взгляд.

Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.

[Walker_XXI]

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):

А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?

Смотря какого пространства. Гиперсфера $S^n$ естественным образом вложена в пространство $R^{n+1}$. Множество пар точек гиперсферы его подмножеством не является. В лучшем случае это подмножество $R^n\times R^n$.

[arseniiv]

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):

А как понять зафиксировать? Перебирать значения для второго аргумента и получить разные гиперплоскости, а потом искать пересечение?

Ну, выбираете какую угодно точку $P$ в качестве первого аргумента; от билинейной формы остаётся линейная, находите пересечение гиперплоскости соответствующего её уровня с гиперсферой, получаете множество точек $\mathcal Q_P$. В итоге вы нашли часть искомых пар — множество $\{P\}\times\mathcal Q_P$. Множество всех пар будет

$$\bigcup_{P\in V} \{P\}\times\mathcal Q_P,$$

где $V$ — ваше пространство.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):

А разве множество пар точек, удовлетворяющих уравнению с билинейной формой не подмножество пространства?

Во-первых, тут то, что уже написал Walker_XXI. Во-вторых в уравнение входит ещё число $v$. Так что одной билинейной формой множество его решений не определяется, и говорить «билинейная форма», имея в виду множество решений, нельзя, даже если мы рассматриваем пространство пар.

Дальше давайте наведём порядок в обозначениях. Я надеялся, не придётся, но у вас проблема с тем, что координат у точек $n$ и размерность гиперсферы тоже $n$ — это несовместимо. Либо размерность сферы $n-1$ и пространства $n$, либо размерность сферы $n$ и пространства $n+1$. Ниже я принимаю первый вариант (он по понятным причинам удобнее). Далее, если у нас есть базис

$$\mathcal E = (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$$

пространства $V$, то в $V\times V$ будет базисом набор

$$\mathcal E' = (\mathbf e^L_1,\ldots,\mathbf e^L_n,\mathbf e^R_1,\ldots,\mathbf e^R_n),$$

где $\mathbf e^L_n = (\mathbf e_n,\mathbf0)$ и $\mathbf e^R_n = (\mathbf0,\mathbf e_n)$. Это пригодится ниже.

hazzo в сообщении #1312730 писал(а):

Именно так я делаю, но пока не выходит результат желаемый.

А какая квадратичная форма у вас получилась? Сможете записать её матрицу в базисе $\mathcal E'$, если матрица билинейной в базисе $\mathcal E$ — $B$? (Обозначена той же буквой, что сама форма, но путаницы не будет.) И нашли ли вы, чем будет исходная гиперсфера в этом пространстве?