2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 15:25 


09/05/12
170
На вещественной прямой задана метрика $d$, инвариантная относительно сдвигов. Определим функцию $f=d(0,x)$. Является ли функция $f$ вогнутой? Не получается доказать, это утверждение использовалось без доказательства в одной статье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 16:16 
Заслуженный участник


20/08/14
4301
Россия, Москва
Простите, но если $d$ определить просто как ориентированное расстояние между точками $d(a,b)=a-b$, то $f=d(0,x)$ будет прямой - разве ж прямая вогнута? Уж не контрпример ли это? Или я туплю? Может быть в статье использовалась не произвольная метрика, а некий подкласс (ну к примеру метрика $d(a,b)=(a-b)^2$), для которого утверждение верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7062
Dmitriy40 в сообщении #1312704 писал(а):
Простите, но если $d$ определить просто как ориентированное расстояние между точками $d(a,b)=a-b$

Метрика не бывает отрицательной. Если я правильно понял определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6000
Это неверно, дискретная метрика, например, не подходит. А в статье точно никаких дополнительных предположений нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 16:41 
Заслуженный участник


20/08/14
4301
Россия, Москва
Сначала написал классически с модулем разности, но тогда функция может и правда стать вогнутой в точке $(0,0)$, тут уже я не уверен в определениях.
Хорошо, а константная метрика $d(a,b)=0$ не подойдёт как контрпример? Метрикой оно является, аксиомам удовлетворяет, к сдвигам инвариантна, а других условий и не наложено ...
Ещё в разрывных функциях можно метрику задать (типа $d(a,b)=\left\lfloor |a-b| \right\rfloor$) и там вопрос вогнутости становится нетривиальным. А, про дискретные уже сказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22597
Уфа
Dmitriy40 в сообщении #1312710 писал(а):
Метрикой оно является
Увы, нет. Первая аксиома не удовлетворена, расстояние между разными точками не должно быть нулём. Есть обобщения, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 17:30 
Заслуженный участник


16/02/13
3115
Владивосток
Dmitriy40 в сообщении #1312710 писал(а):
аксиомам удовлетворяет
Насколько я помню, одной из аксиом является равенство нулю только для совпадающих точек, не?

-- 17.05.2018, 00:31 --

Не стал стирать — наколачивал, старался :wink:
arseniiv в сообщении #1312716 писал(а):
Есть обобщения, конечно
Обобщения такие затейники... Есть и отрицательные обобщения, да и вообще, наверное, всякие разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 17:42 
Заслуженный участник


20/08/14
4301
Россия, Москва
По логике да, метрика должна быть не нулевой для несовпадающих точек, но учебника под рукой нет, а в вики (что рус, что англ) такого требования не обнаружил, специально присматривался. Правда дальше там есть про псевдометрики, как раз нулевые для разных точек, так что может это неявно подразумевалось ...
В общем тогда построение контрпримера мне не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22597
Уфа
Ну вы чего, в первой аксиоме же следование в обе стороны: $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$. :-)

(Оффтоп)

iifat
Немного эрудиции там и сям нелишне, одно предложение не занимает особого места. :wink: А вот его обсуждение уже заняло много больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение16.05.2018, 18:10 
Заслуженный участник


20/08/14
4301
Россия, Москва

(Туплю)

arseniiv
А-а-а, точно, ну совсем туплю значит. :cry:
А с модулем она таки вогнута, тоже не подходит как контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение17.05.2018, 00:01 
Заслуженный участник


18/01/15
523
Вероятно, ТС неправильно (или не до конца) понял, что в статье написано.

Можно построить такой пример. Определим функцию $f$ на $[0; 2]$ как $f(x)=x$ при $0\leq x\leq1$ и $f(x)=1$ при $1\leq x\leq2$. Затем определим $g$ на $[0; \infty)$ как $g(x)=\inf f(x_1-x_0)+f(x_2-x_1)+\ldots+f(x_t-x_{t-1})$, инфимум по всем $(x_0=0\leq x_1\leq\ldots\leq x_t=x)$ таким, что $x_i-x_{i-1}\leq 2$ $\forall i$. Наконец, положим $d(x,y)=g(|x-y|)$.
Тогда легко видеть, что $d$ --- трансляционно-инвариантная метрика на ${\mathbb R}$. Однако же $d(0,x)$ не является вогнутой функцией на $[0,\infty)$ (и даже в любой окрестности точки $x=2$).

Для порядку напомним, что функция $f$ на выпуклом множестве $C$ (в каком-либо линейном пространстве) называется вогнутой, если
$$ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \ \ \forall x,y\in C, \ \ 0\leq\lambda\leq1. $$
(т.е. дуга графика всегда лежит не ниже, чем хорда).
При этом, вообще говоря, не предполагается, что $f$ непрерывна. Например, если $f(0)=0$ и $f(x)=1$ при $x>0$, то $f$ вогнута на $[0,\infty)$.

С другой стороны, допустим, что $f$ --- вогнута на $[0,\infty)$, неотрицательна и $f(0)=0$. Тогда, как легко видеть, $d(x,y)=f(|x-y|)$ --- трансляционно-инвариантная метрика. (Возможно, именно про это на самом деле в той статье речь и шла. Если же нет, значит там были какие-то дополнительные условия, или более слабое заключение.) В частности, и обычная метрика, и дискретная порождаются подходящей вогнутой функцией.

Также отметим, что про вогнутость $d(0,x)$ на всей прямой речи идти не может (абсурдность такой ситуации усматривается легко).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение17.05.2018, 12:53 


09/05/12
170
Спасибо большое за ответы! Либо я неправильно понял утверждение в статье, либо там ошибка. Попробую разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение19.05.2018, 20:35 


09/05/12
170
Остальные утверждения удалось проверить. Но не получается убедиться, что функция $d(x,y)=g|x-y|$, действительно удовлетворяет неравенству треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вогнутость функции
Сообщение20.05.2018, 01:02 
Заслуженный участник


18/01/15
523
Rich
Ну а если скажем так ... Пусть $f$ --- вообще любая неотрицательная функция на отрезке $[0,2]$, равная нулю в нуле. Определим $g$ той же самой формулой, и $d$ так же, как раньше. Тогда $d$ удовлетворяет неравенству треугольника. Можете доказать? Это я к тому, что, может быть, Вас конкретный вид функции $f$ запутывает --- так он тут ни при чем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group