Ключ к БТФ (Начало)

[Iosif1]

Ссылка на исправленный первый вариант:

post1291273.html#p1291273

Ссылка на второй вариант:

post1291618.html#p1291618

Копирование ссылки с непонятным равенством, показанным binki:

post1296468.html#p1296468

$F_{b_x^3}= b_x^3$;

Искал, не нашёл у себя такого – это непонимание.
Далее насчёт чётности величин $c_1$ и $a_1$.
Полное непонимание.
Верно, в непонимании и моя вина.
Надеюсь, что после объяснений интересующие посетители поймут правильно.


(Логика доказательства)

По каждому варианту обеспечивается возможность составления равенства:

По первому варианту:

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 = 1/3\cdot [2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]$$

; 5.3.1 А



По второму варианту:

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 = 1/3\cdot {[(c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]}/2$$

; 5.3.1 В

Левые части равенства для первого и второго вариантов идентичны, так как они выражают формализованное выражение величины

$F_{b_x^3}/3$,

соответствующей предполагаемым целочисленным значениям величины

$b_x^3$.

Правые части равенств разнятся, так как для каждого из вариантов используются различные соизмерители, для первого варианта $(b_x-1)/6$ и $(b_x^3-1)/6$;
для второго варианта - $(b_x-1)/3$ и $(b_x^3-1)/3$, так как, для этого варианта основания с и а имеют различную чётность.
Это приводит к тому, что оба слагаемых правой части равенства нечётные.
А необходимо произвести ещё деление на 6, чтобы равенство (5.3.1 В) оставалось в виде, по которому возможна корректировка слагаемых по аналогии с первым вариантом.
С этой целью используется корректировка слагамых величин на величину 9, сохраняя неизменной сумму.
Так как, после корректировки предусматривается деление на 6, возможны варианты, для нахождения такого, который обеспечит чётность первого слагаемого, так как эта величина нечётной быть не может.
Таким образом, обеспечивается возможность анализа и равенства (5.3.1 В).
Анализ заключается в доказательстве того, что случайное попадания слагаемых величин в значения предполагаемые левой части равенства не возможны.
Далее, в том, что корректировка, перенос величин из одного слагаемого в другое, тоже, не может обеспечить предполагаемый результат, так как возникает необходимость корректировки на величины 6, 12, 18, на величины не кратные 24.

[Iosif1]

Попробую ещё раз.
По рекомендации warlock66613 рассмотрен второй вариант.
Показалось, что возникло понимание.
Но никаких подвижек.

Итак, пояснение к доказательству.

Для любой степени $a^3$, с основанием а, можно выразить величину

$F_{a^3}/3=(a^3-1)/18$,

которая соответственно, посредством умножения на 18 и прибавлением единицы обеспечивает величину $a^3$.

Определяем формализованное выражение величины $F_{a^3}/3=(a^3-1)/18$ для точных кубов,


$a^3=(6\cdot a_1+1)^3=216\cdot a_1^3+3\cdot 36\cdot a_1^2 +3\cdot 6\cdot a_1+1$; 5.2.1

$F_{a^3}=(a^3-1)/6=36\cdot a_1^3+3\cdot 6\cdot a_1^2+3\cdot a_1 $; 5.2.2.

$F_{a^3}/3=12\cdot a_1^3+6\cdot a_1^2+a_1$. 5.2.3

Такой закономерности подчиняется выражение 5.2.3 для всех чисел натурального числового ряда.
Такой же закономерности должна подчиняться и предполагаемая степень

$b_x^3$

при целочисленных основаниях $b_x$.

Отметим, что независимо от чётности исходных степеней предполагаемая степень

$b_x^3$

всегда нечётная.

Это отмечается потому что, как мне кажется, замечание binki о невозможности рассмотрения равенства

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 = 1/3\cdot {[(c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]}/2$$

; 5.3.1 B


основано на том, что чётная степень $c^3$ не подчиняется данной закономерности.

Но это только предположение.

В предыдущем посте, при рассмотрении первого варианта, показано аналогичное равенство 5.3.1 А, для второго варианта равенство 5.3.1 В.

Составленные равенства позволяют рассматривать возможность получения величины

$F_{b_x^3}/3$ для первого и второго вариантов.

Это обеспечивается посредством использования Бинома Ньютона.
На основании использования Бинома Ньютона определяется формализованное выражение величин для точных степеней

$F_{c^3}/3$ и $F_{a^3}/3$,

и для предполагаемых степеней

$F_{b_x^3}/3$.

(Методика определения $F_{b_x^3}/3$ дана в предыдущих постах).

Определение $F_{b_x^3}/3$ для предполагаемых степеней выполнено, как
для первого, так и для второго вариантов.

На основании выше изложенного получаем возможность составления равенств, как для первого варианта, так и для второго варианта.

Показана невозможность , при целочисленных значениях $b_x$ случайного попадания величин, для первого варианта:

$1/3\cdot 2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)$; и

$1/3(c_1+a_1)$;

для второго варианта:

$1/6\cdot 2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)$; и

$1/6(c_1+a_1)$,

выполняющих роль предполагаемых значений слагаемых левой части составленных равенств:

$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2$ и

$(b_x)_1$,

также после их корректировки на основании закономерностей, установленных и при предполагаемых чётных значениях $b_x$, так и при предполагаемых нечётных значениях$b_x$.
Необходимость корректировки объясняется невозможностью случайного попадания
предполагаемых величин в соответствующие значения левой части равенства.

При чётных значениях $b_x$ величина

$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2$ должна быть кратна 24.

При нечётных значениях $b_x$ величина

$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2$ должна быть кратна 24 , после вычитания 18.
Следовательно, класс вычетов величин

$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2$ и

$(b_x)_1$,

определённый на основании чётности предполагаемой величины

$(b_x)_1$, должен совпадать.



И после корректировки, которая должна изменять слагаемые правой части равенств на величины не кратные 24, класс вычетов суммы рассматриваемых слагаемых правой части составленных равенств не соответствует классу вычетов величины $b_x$,
которая должна соответствовать классу вычетов, к которому принадлежит величина
$F_{b_x^3}/3$.

Это и объясняется тем, что при корректировке возникает необходимость корректировки на величину не кратную 24.

Начальное значение второго слагаемого правой части равенства

$1/3(c_1+a_1)$ (для первого варианта),

$1/6(c_1+a_1)$ (для второго варианта)


принадлежит к другому классу вычетов по мод 24, чем

$1/3\cdot 2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)$ (для первого варианта),

$1/6\cdot 2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)$ (для второго варианта),

Корректируя предполагаемую величину $(b_x)_1$ на значение не кратное 24, мы искажаем требуемую структуру величины, выполняющей роль величины

$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2$.


То есть, и начальное несоответствие по классам вычетов, и корректировка значений
не приводит значения слагаемых правой части равенств к соответствующему требованиям структурному построению, определяемому по мод 24..
Это и является доказательством того, что при любых произвольных значениях исходных степеней мы никогда не сможем предполагать возможность опровержения БТФ, как для куба, так и для любой другой степени.

[binki]

Уважаемый Iosif1, Ваше сообщение мало кем анализируется из-за специфики Ваших терминов: точный куб, соизмеренная степень и т.д. Я уже предлагал использовать привычные для форума обозначения и индексацию, чтобы легче понять идею.

Iosif1 в сообщении #1282463 писал(а):

Доказательство построено на сопоставлении величин:
$\Phi_{a^3}=(a^3-1)/6=(a^3)_1$;
— соизмеренная степень

для натуральных ошибочное равенство.

Iosif1 в сообщении #1291618 писал(а):

Определяем $b_x^3$ посредством деления разности на $3(c-a)$:
$b_x^3=(c^3-a^3)/3\cdot (c_1-a_1)=3\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 3\cdot [c_1+a_1]+1$; 3.4.2

Вообще то у Вас выполняется деление на $3(c_1-a_1)$, но $(c_1-a_1)$ в общем случае не взаимно простое с разностью $(c-a)$, поэтому равенство (3.4.2) ошибочное ($b_x^3$ - не куб).

[Iosif1]

st1311957.html#p1311957]сообщении #1311957[/url]"]Уважаемый Iosif1, Ваше сообщение мало кем анализируется из-за специфики Ваших терминов: точный куб, соизмеренная степень и т.д. Я уже предлагал использовать привычные для форума обозначения и индексацию, чтобы легче понять идею.[/quote]

К сожалению, по канонам не получается. Могу только извиниться.

binki в [url=http://dxdy.ru/po[quote="binki в [url=http://dxdy.ru/post1311957.html#p1311957]сообщении #1311957[/url] писал(а):

Iosif1 в сообщении #1282463

писал(а):
Доказательство построено на сопоставлении величин:
$\Phi_{a^3}=(a^3-1)/6=(a^3)_1$;
— соизмеренная степень

Рассматривая первый вариант, когда а и с - нечётный, использовал этот соизмеритель.

binki в сообщении #1311957 писал(а):

Iosif1 в сообщении #1291618

писал(а):
Определяем $b_x^3$ посредством деления разности на $3(c-a)$:
$b_x^3=(c^3-a^3)/3\cdot (c_1-a_1)=3\cdot [c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2]+ 3\cdot [c_1+a_1]+1$; 3.4.2

Вообще то у Вас выполняется деление на $3(c_1-a_1)$, но $(c_1-a_1)$ в общем случае не взаимно простое с разностью $(c-a)$, поэтому равенство (3.4.2) ошибочное ($b_x^3$ - не куб).

для натуральных ошибочное равенство.

Вы абсолютно правы.

Но, рассматривая второй вариант, когда с - чётная величина, деление на 6, используя бином Ньютона для определения $b_x^3$, изначально, невозможно.
Поэтому при первом этапе деления используется делитель $3\cdot (c_1-a_1)$, обеспечивая возможность посредством корректировки, при втором этапе деления, использовать делитель 6 для каждого из слагаемых..
В результате, обеспечивая величину, которая посредством умножения на 18, и прибавления единицы, должна быть равна точному кубу.
Что позволяет и для второго случая рассматривать возможность возникновения равенства, которое должно удовлетворять какому то целочисленному значению величины $(b_x)_1$.

С благодарностью приму корректировку по терминологии.

[binki]

Iosif1 в сообщении #1311988 писал(а):

Поэтому при первом этапе деления используется делитель $3\cdot (c_1-a_1)$, обеспечивая возможность посредством корректировки, при втором этапе деления, использовать делитель 6 для каждого из слагаемых..

Iosif1 Это не устраняет указанные ошибки. В этом же ключе след. ошибка

Iosif1 в сообщении #1291273 писал(а):

2.5 При доказательстве 2 случая БТФ достаточно рассмотрение варианта, когда

$ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ ,

независимо от величины рассматриваемой степени, так как всегда можно использовать перевод любого из оснований к первому классу вычетов, используя для этого сомножитель, равный точной степени, на основании возможности перевода любого класса вычетов, взаимно простого с показателем рассматриваемой степени. (Малая теорема Ферма).

Рассмотрение данного варианта не достаточно. А переводы (корректировки) оснований не допустимы, так как нарушается базовое равенство. Нарушается принцип единственности минимального решения исходного уравнения Ферма.

[Iosif1]

binki в сообщении #1312043 писал(а):

Iosif1 Это не устраняет указанные ошибки.

Почему, уважаемый binki?
Мы получаем величину, посредством умножения которой на 18, и прибавления к произведению единицы, должен обеспечиваться точный куб. Так как предполагаемая степень (b_x^3), и для первого варианта, и для второго всегда величина нечётная, которая должна подчиняться заданной закономерности.
Закономерности подчиняются все существующие кубы.
Поэтому, с вашим утверждением не согласен.

binki в сообщении #1312043 писал(а):

В этом же ключе след. ошибка
Iosif1 в сообщении #1291273

писал(а):
2.5 При доказательстве 2 случая БТФ достаточно рассмотрение варианта, когда

$ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ ,

независимо от величины рассматриваемой степени, так как всегда можно использовать перевод любого из оснований к первому классу вычетов, используя для этого сомножитель, равный точной степени, на основании возможности перевода любого класса вычетов, взаимно простого с показателем рассматриваемой степени. (Малая теорема Ферма).

Рассмотрение данного варианта не достаточно.


А переводы (корректировки) оснований не допустимы, так как нарушается базовое равенство. Нарушается принцип единственности минимального решения исходного уравнения Ферма.

А Г.Эдвардс, и М.М. Постников считают, что рассмотрение данного варианта достаточно..

А, почему переводы (корректировки) оснований не допустимы. если они корректны?
Мы одно слагаемое увеличиваем, а другое уменьшаем. При этом показывая, что случайное попадание не возможно, а корректировка слагаемых приводит к нарушению принадлежности одного из слагаемых к требуемому классу вычетов по мод 24.
По моему мнению, принцип единственности минимального решения исходного уравнения Ферма не нарушается, оно просто отсутствует.

[binki]

Iosif1 в сообщении #1312099 писал(а):

А Г.Эдвардс, и М.М. Постников считают, что рассмотрение данного варианта достаточно..

Покажите о чем у них речь.
Вы не объяснили почему для выделения куба применяете деление на $3(c_1-a_1)$, а не на $3(c-a)$. Первый делитель не куб? А эта ошибка лежит в основе доказательства.
Почему соизмеренная степень - степень по Вашей формуле?
Зачем определяете исходное равенство, если оно не существует для натурального решения?
Зачем используете уравнение $a_i^3\cdot a_x^3 +b_i^3\cdot b_x ^3=c_i^3\cdot c_x^3$, - если решение отсутствует? В этом случае здесь из шести чисел, $(a_i, a_x, b_i, b_x, c_i, c_x)$ может быть целым только одно, а остальные иррациональные. и доказывать ничего не надо.
Если вы анализируете только левую часть на предмет нахождения противоречий, что сумма не степень, то не надо обращаться к правой части не существующего равенства.

[Iosif1]

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Покажите о чем у них речь.

М.М. Постников: О Малой теореме Ферма.
Не думаю, что Вам это не известно!
Может быть Вы имели ввиду что то другое?

При этом, и для первого, и для второго вариантов, предполагаемая степень, всегда, величина нечётная, принадлежащая к первому классу вычетов по мод 2n. Поэтому данная величина должна подчиняться закономерностям точных степеней, принадлежащих к первому классу вычетов по мод 2n.

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Вы не объяснили почему для выделения куба применяете деление на $3(c_1-a_1)$, а не на $3(c-a)$. Первый делитель не куб? А эта ошибка лежит в основе доказательства.

Вы, опять, абсолютно правы. Потерял тройку. Простите..

Формализованные расчёты, вроде не пострадали.
Взял замечание к исправлению.

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Почему соизмеренная степень - степень по Вашей формуле?

Да это просто обозначение, понимаю, что не удачное.

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Зачем определяете исходное равенство, если оно не существует для натурального решения?

Для того, чтобы убедиться, что оно не существует.
В формализованном выражении, благодаря биному Ньютона получаем выражение, которое должно структурироваться в выражение, показанное в левой части равенства, которая отображает истинное выражение данной величины на рассматриваемом уровне, если предполагаемая нами величина может оказаться точным кубом.

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Зачем используете уравнение $a_i^3\cdot a_x^3 +b_i^3\cdot b_x ^3=c_i^3\cdot c_x^3$, - если решение отсутствует? В этом случае здесь из шести чисел, $(a_i, a_x, b_i, b_x, c_i, c_x)$ может быть целым только одно, а остальные иррациональные. и доказывать ничего не надо.

Тут, я Вас совсем не понял.
Это известно давно, но поиски доказательства от этого не исчезли.
Мною это приводиться для того, чтобы показать обязательное присутствие в каждой из величин, при опровержении утверждения БТФ, двух степеней , одна из которых определяется основаниями двух других степеней.

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Почему соизмеренная степень - степень по Вашей формуле?[/qu

binki в сообщении #1312132 писал(а):

Если вы анализируете только левую часть на предмет нахождения противоречий, что сумма не степень, то не надо обращаться к правой части не существующего равенства.

Это просто неудачно выбранное обозначение, она, конечно, не степень.

Правая часть равенства и её анализ строиться на основании анализа левой части равенства. На основании использования модуля 24. Без левой части равенства этого сделать невозможно.
ote]

[binki]

Iosif1 в сообщении #1291618 писал(а):

5.3 Таким образом, получаем возможность рассмотреть возможность получения равенства:

$$12\cdot (b_x)_1^3+6\cdot (b_x)_1^2+(b_x)_1 =1/3\cdot {[2\cdot (c_1^2+c_1\cdot a_1+a_1^2)+(c_1+a_1)]}/2$$

или $(b^3 _x-1)/18=((c^3-a^3)/3(c-a)-1)/18$. Какие здесь проблемы?.

Iosif1 в сообщении #1312308 писал(а):

Потерял тройку.

Это опечатка. В итоге дополнительная тройка у Вас все таки учтена.

Iosif1 в сообщении #1312308 писал(а):

М.М. Постников: О Малой теореме Ферма.

Речь там совсем о другом и ни как не обосновывает достаточности сравнения $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ для доква

Iosif1 в сообщении #1312099 писал(а):

По моему мнению, принцип единственности минимального решения исходного уравнения Ферма не нарушается, оно просто отсутствует.

поэтому я и спросил зачем тогда Вы используете формулу Ферма в разных вариантах и предполагаете существования целого решения в начале вашего сообщения.

[Iosif1]

binki в сообщении #1312332 писал(а):

Iosif1 в сообщении #1312308

писал(а):
М.М. Постников: О Малой теореме Ферма. Речь там совсем о другом и ни как не обосновывает достаточности сравнения $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ для доква

Уважаемый binki, Вы что считаете, что рассмотрение в доква сравнение $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ не достаточно?

[binki]

Iosif1 в сообщении #1311988 писал(а):

С благодарностью приму корректировку по терминологии.

Iosif1 в сообщении #1312337 писал(а):

сравнение $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ не достаточно?

Все Ваши термины:- соизмеренная степень, точный куб, Формализованное выражение величин, структурное построении, а также сложную индексацию и излишние обозначения предлагаю просто удалить.Тогда Ваше сообщение (сокращенно):Легко доказывается, что в равенстве из степеней целых чисел по уравнению Ферма

$$a_1^3a_2^3+b_1^3b_2^3=c_1^3c_2^3 \eqno(1)$$

три степени, пусть это $a_2^3, b_2^3, c_2^3$, являются числами вида $(18k+1)$ В общем же степени будем рассматривать как числа вида $(3k\pm1)^3$. Пусть четное и кратное трем $(b_2^3=18a_{21} +1), \qquit k=a_{21}$. Тогда имеем

$$b_2^3=18a_{21} +1=[(3c_{21}\pm1)^3-(3a_{21}\pm1)^3]/3(3c_{21}-3a_{21})$$

Откуда следует равенство

$$18a_{21}=3(c_{21}^2+c_{21}a_{21}+a_{21}^2)+3(c_{21}+a_{21})=3[(c_{21}-a_{21})^2+3c_{21}a_{21}]+3(c_{21}+a_{21}) $$

По условию $(c_{21},a_{21})$ четные. Обозначим их как $(c_{21}=2c_{22}; a_{21}=2a_{22})$. Тогда имеем

$$3b_{21}=2[(c_{22}-a_{22})^2 +3c_{22}a_{22}]+(c_{22}+a_{22}) \eqno (2)$$

Выражение в квадратных скобках кратно 3. А в отличии от (c,a), числа $(c_{22}, a_{22})$ -не имеют ограничений по взаимной простате. Поэтому эти числа могут быть кратны трем. Поэтому в (2) нет противоречий и нет доква.
Что касается сравнения $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ , то это частный случай, который Вы все равно не доказали.

[binki]

Уважаемый Iosif1, простите, в формулах опечатки Правильно:

$$(b_2^3=18b_{21} +1), \qquit k=b_{21}$$

$$b_2^3=18b_{21} +1=[(3c_{21}\pm1)^3-(3a_{21}\pm1)^3]/3(3c_{21}-3a_{21})$$

$$18b_{21}=3(c_{21}^2+c_{21}a_{21}+a_{21}^2)+3(c_{21}+a_{21})=3[(c_{21}-a_{21})^2+3c_{21}a_{21}]+3(c_{21}+a_{21}) $$

[Iosif1]

binki в сообщении #1312498 писал(а):

Уважаемый Iosif1, простите, в формулах опечатки Правильно:

$$(b_2^3=18b_{21} +1), \qquit k=b_{21}$$

$$b_2^3=18b_{21} +1=[(3c_{21}\pm1)^3-(3a_{21}\pm1)^3]/3(3c_{21}-3a_{21})$$

$$18b_{21}=3(c_{21}^2+c_{21}a_{21}+a_{21}^2)+3(c_{21}+a_{21})=3[(c_{21}-a_{21})^2+3c_{21}a_{21}]+3(c_{21}+a_{21}) $$

Мне, конечно, было бы приятней, если бы Вы отметили опечаткой

«Поэтому в (2) нет противоречий и нет доква.
Что касается сравнения $ a \equiv c \equiv 1 \mod (2n)$ , то это частный случай, который Вы все равно не доказали.»

Но что есть, что есть.

Не могу с вами согласиться, ни по первому, ни по второму вашему утверждению.
И предположить, что Вы поняли доказательство.
Мне кажется, что Вы вместе с водой выбросили ребёнка.
Почему под корректировкой терминологии Вы понимаете её удаление, а также искажение всей методики доказательства?
Когда меня учили математике, учителя убедили меня, что равенство, чтобы оно не могло превращаться, всегда в тождество, было составлено таким образом, чтобы его правая и левая части были сконструированы на основании различных закономерностей.
А у меня такое мнение, что Вы о анализируемом равенстве, вообще, забыли.

Составленное равенство показывает, что кратность трём чисел $(c_{22}, a_{22})$ может быть многократно подтверждена. Но, что не в этом «собака зарыта».

Я посмотрю ваши суждения, хотя они совершенно из другой оперы.

И что касается того, что рассматривается частный случай, который не доказан.
Ну, по поводу доказательства написано выше.
А то, что вы считаете, приведенное доказательство частным случаем, легко опровергается.
Так как при рассмотрении Второго случая БТФ, когда с и а – числа, принадлежащие к единому классу вычетов по мод 6 ( в общем случае. по мод 3) всегда могут быть преобразованы в основания, принадлежащие к первому классу вычетов посредством умножения на степень, что не искажает равенства, приведенное рассмотрение не является рассмотрением частного случая.
Последнее может быть легко проверено.

В то же время, уважаемый binki, не могу не поблагодарить Вас за попытку разобраться в доказательстве.
Так как это, по моему мнению, уже не любопытство, а любознательность.

И искренне желаю Вам успехов.

[binki]

Могу добавить, что есть еще анекдотичная опечатка в "взаимной простоте". Во всем остальном использованы только Ваши Формулы.Может быть в не привычных для Вас обозначениях. Единственно, что применены числа $3k\pm1$ вместо $3k+1$. Укажите чем принципиально отличаются предложенные формулы от Ваших. И где же зарыта ваша собака. Естественно поясните это не словами намеками, а формулами.

[Iosif1]

binki в сообщении #1312532 писал(а):

Могу добавить, что есть еще анекдотичная опечатка в "взаимной простоте". Во всем остальном использованы только Ваши Формулы.Может быть в не привычных для Вас обозначениях. Единственно, что применены числа $3k\pm1$ вместо $3k+1$. Укажите чем принципиально отличаются предложенные формулы от Ваших. И где же зарыта ваша собака. Естественно поясните это не словами намеками, а формулами.

Да, в непривычном для меня виде.
Легче полимизировать в единых обозначениях.

binki в сообщении #1312498 писал(а):

$$b_2^3=18b_{21} +1=[(3c_{21}\pm1)^3-(3a_{21}\pm1)^3]/3(3c_{21}-3a_{21})$$

Если я правильно понял, Вы формализуете $(b_x)^3$, (по моему обозначению).
А я рассматриваю равенства на другом уровне.
Я понимаю, Вы человек занятый, но подтвердите или опровергнете,
чтобы я не смог сморозить глупость.