К вопросу о сущности ОТО

[Шимпанзе]

Munin

Цитата:

Вы предлагаете искать именно по такой формулировке?

Примерно, но на английском, естественно.

Но, вообще то говоря, есть вещи, которые можно восстановить - зная предмет- без всякой литературы по нескольким ключевым словам. Вы же написали целый пост в правильном направлении , я не выдержал и лишь добавил "квантовые часы Эйнштейна и астрономические часы Пуанкаре". На мой взгляд, просто блестящее определение, закрывающее проблему. Жаль, не я автор такой простой вещи.

[Someone]

Munin писал(а):

Название настораживает. Это здравая статья?

На мой взгляд, здравая. В ней просто приводятся результаты разнообразных экспериментов по проверке ОТО и ряда альтернативных теорий гравитации. Как я понял, время от времени статья обновляется, и это третья версия после 2001 года.

VladTK писал(а):

Не смогли бы Вы ответить все-таки на вопрос: если мы имеем систему точечных бесспиновых частиц известных масс в ОТО, то будут ли такие частицы двигаться по геодезическим пространства-времени?

Из принципа эквивалентности следует, что по геодезическим движутся пробные частицы - "бесконечно малого" размера (чтобы можно было пренебречь неоднородностью поля) и "бесконечно малой" массы (чтобы можно было пренебречь влиянием частицы на поле). Если спин есть, то он тоже должен быть "бесконечно малым".
Реальные частицы, строго говоря, движутся не по геодезическим (по тем причинам, о которых я говорил), но отклонения в настоящее время являются неизмеримыми. Например, при расчёте движения Меркурия предполагается, что его центр масс движется по геодезической. Отклонений от геодезического движения пока обнаружить не удалось.
Вообще говоря, такие отклонения должны быть в связи с приливным взаимодействием (например, в системе Солнце - Земля - Луна) и с излучением гравитационных волн (в тесных системах двойных пульсаров). Точность измерений движения Луны пока недостаточна для обнаружения отклонений от геодезического движения, а уменьшение орбитального периода вследствие гравитационного излучения в системе двойного пульсара B1913+16 согласуется с ОТО. Об этом есть в той статье, на которую я ссылался.

[Munin]

Шимпанзе писал(а):

Но, вообще то говоря, есть вещи, которые можно восстановить - зная предмет- без всякой литературы по нескольким ключевым словам. Вы же написали целый пост в правильном направлении , я не выдержал и лишь добавил "квантовые часы Эйнштейна и астрономические часы Пуанкаре". На мой взгляд, просто блестящее определение, закрывающее проблему.

Замечательно. Расшифруйте же вашу анаграмму.

[Someone]

Someone писал(а):

Точность измерений движения Луны пока недостаточна для обнаружения отклонений от геодезического движения

Наврал. Главное, знал, что вследствие приливного взаимодействия расстояние между Землёй и Луной увеличивается на 38 мм в год, но в момент написания совсем забыл об этом.

[Munin]

Someone писал(а):

Наврал. Главное, знал, что вследствие приливного взаимодействия расстояние между Землёй и Луной увеличивается на 38 мм в год, но в момент написания совсем забыл об этом.

Но это же не эффект ОТО.

Насколько я понимаю, отклонение от движения по геодезической измерялось в недавно проводившемся эксперименте Gravity Probe - B.

[Someone]

Munin писал(а):

Но это же не эффект ОТО.

Нет, конечно. Это ньютоновский эффект, вызванный протяжённостью "частицы". Но он вызывает отклонение движения от геодезического.

Добавлено спустя 1 час 23 минуты 54 секунды:

Munin писал(а):

Насколько я понимаю, отклонение от движения по геодезической измерялось в недавно проводившемся эксперименте Gravity Probe - B.

Нет. Там пытались измерить два эффекта. Один по-русски обычно называется геодезической прецессией и вызван кривизной пространства-времени. Другой имеет несколько названий: увлечение систем отсчёта, эффект Лензе - Тирринга, гравимагнитный эффект. Оба эффекта вызывают прецессию гироскопа. Для гироскопа на полярной орбите около Земли первый эффект составляет примерно 8'' в год, второй - 0,1'' в год (точные величины зависят от параметров орбиты). Отклонения от геодезического движения здесь должны быть очень малы и вряд ли поддаются измерению. Каковы окончательные результаты эксперимента и есть ли они уже, я не нашёл, хотя поиск "Gravity Probe B" даёт кучу ссылок. В русской Википедии сообщается, что к концу 2007 года эффект геодезической прецессии подтверждён с точностью лучше 1%, а эффект увлечения систем отсчёта пока выделить не удалось, так как погрешность измерений оказалась больше этого эффекта.

[Munin]

Получается, оба эффекта связаны с неточечностью пробного тела, но оба не вызывают отклонения движения тела, если рассматривать его как точечное, от геодезической?

Интересно, а вообще отклонение от геодезической при каких условиях возникает? Я так понимаю, обычных приливных сил, которые первого порядка по второй производной ньютоновского потенциала, тут недостаточно.

[VladTK]

Цитата:

Из принципа эквивалентности следует, что по геодезическим движутся пробные частицы - "бесконечно малого" размера (чтобы можно было пренебречь неоднородностью поля) и "бесконечно малой" массы (чтобы можно было пренебречь влиянием частицы на поле). Если спин есть, то он тоже должен быть "бесконечно малым"...

Я как раз спрашивал о "бесспиновых точечных" частицах. Мне вот интересно, насколько обоснованы следующие рассуждения.

Функционал действия системы n точечных частиц в ОТО имеет вид

$$ I = - \sum_{i} m_i c \int ds_i - \frac {c^3} {16 \pi G} \int R \sqrt{-g} d \Omega $$

(1)

где $ m_i $ - масса i-ой частицы, R - скаляр кривизны. Из (1) получаем уравнения Эйнштейна

$$ R_{\mu \nu} - \frac12 g_{\mu \nu} R = \frac {8 \pi G} {c^4} T_{\mu \nu} $$

или, после свертки

$$ R = - \frac {8 \pi G} {c^4} T $$

Тензор энергии-импульса (ТЭИ) системы точечных частиц задается известным образом

$$ T^{\mu \nu} = \frac {\rho c} {\sqrt{-g}} u^{\mu} u^{\nu} \frac {ds} {dt} $$

Вследствие основного свойства 4-скорости

$$ u_{\mu} u^{\nu} = g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1 $$

(2)

свертка ТЭИ равна

$$ T = \frac {\rho c} {\sqrt{-g}} \frac {ds} {dt} $$

Тогда последнее слагаемое в (1) можно переписать в виде

$$ -\frac {c^3} {16 \pi G} \int R \sqrt{-g} d \Omega = -\frac {c^3} {16 \pi G} \int -\frac {8 \pi G} {c^3} \frac {\rho c} {\sqrt{-g}} \frac {ds} {dt} \sqrt{-g} dV_{3} c dt = \frac c2 \int \rho dV_{3} ds $$

Проинтегрировав по 3-объему для действия имеем

$$ I = - \sum_{i} m_i c \int ds_i +\frac 12 \sum_{i} m_i c \int ds_i = - \frac 12 \sum_{i} m_i c \int ds_i $$

(3)

Получим уравнения движения $ j $ -ой частицы. Для этого проварьируем действие (3) по ее координатам $ x_{j} $

$$ \delta_{j} I = - \frac12 \sum_{i} m_i c \int \delta_{j} (ds_{i}) $$

Метрика пространства-времени в произвольной точке $ x $ зависит не только от координат этой точки, но и от координат частиц-источников $ x_{i} $

$$ g_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} (x, x_{1},...,x_{n}) $$

поэтому в вариацию действия по координатам любой частицы дают вклад все слагаемые в (3).

Вариации $ \delta_{j} (ds_{i}) $ можно найти способом, использовавшимся в параграфе 87 Ландавшица-2:

для $ i=j $ мы получаем тот же результат, что и в Ландавшице

$$ \delta_{i} (ds_{i}^2) = 2 ds_{i} \delta_{i} (ds_{i}) = \delta_{i} (g_{\mu \nu} (x_{i}) dx^{\mu}_{i} dx^{\nu}_{i}) = dx^{\mu}_{i} dx^{\nu}_{i} \frac {\partial g_{\mu \nu} (x_{i})} {\partial x^{\alpha}_{i}} \delta x^{\alpha}_{i} + 2 g_{\mu \nu} (x_{i}) dx^{\mu}_{i} d \delta x^{\nu}_{i} $$

а для $ i \ne j $

$$ \delta_{j} (ds_{i}^2) = 2 ds_{i} \delta_{j} (ds_{i}) = \delta_{j} (g_{\mu \nu} (x_{i}) dx^{\mu}_{i} dx^{\nu}_{i}) = dx^{\mu}_{i} dx^{\nu}_{i} \frac {\partial g_{\mu \nu} (x_{i})} {\partial x^{\alpha}_{j}} \delta x^{\alpha}_{j} $$

или

$$ \delta_{j} (ds_{i}) = \frac 12 \frac {dx^{\mu}_{i}} {ds_{i}} \frac {dx^{\nu}_{i}} {ds_{i}} \frac {\partial g_{\mu \nu} (x_{i})} {\partial x^{\alpha}_{j}} \delta x^{\alpha}_{j} ds_{i} = \frac 12 u^{\mu}_{i} u^{\nu}_{i} \frac {\partial g_{\mu \nu} (x_{i})} {\partial x^{\alpha}_{j}} \delta x^{\alpha}_{j} ds_{i} = \frac 12 ds_{i} \delta x^{\alpha}_{j} \frac {\partial (g_{\mu \nu} (x_{i}) u^{\mu}_{i} u^{\nu}_{i})} {\partial x^{\alpha}_{j}} = \frac 12 ds_{i} \delta x^{\alpha}_{j} \frac {\partial 1} {\partial x^{\alpha}_{j}} = 0 $$

в силу (2). Таким образом, ненулевой вклад дает только слагаемое с $ i=j $. Получившееся уравнение - это уравнение геодезических

$$ g_{\mu \nu} (x_{i}) \frac {du^{\nu}_{i}} {ds_{i}} + \Gamma _{\mu, \nu \alpha} u^{\nu}_{i} u^{\alpha}_{i} = 0 $$

Получается, что точечные бесспиновые частицы в ОТО всегда (если наложено внешнее гравитационное поле, то результат не изменяется) движутся по геодезическим.

Ваши мнения?

[Михаил Дмитриев]

Шимпанзе писал(а):

Опять двадцать пять. Теорию Эйнштейна проверять не надо – она ( теория) физическая реальность - её терпеливо изучать надо. А вот теория Ньютона подлежит каждой раз проверке, потому как она ( теория Ньютона) справедлива лишь на уровне технических наук.

Проверять любую теорию просто необходимо, и идола для поклонения из нее делать недопустимо. Потому как даже один единственный достоверный эксперимент или наблюдение, вполне могут ее опровергнуть, несмотря на любое количество экспериментов, якобы ее подтверждающих (они же вполне могут подтверждать и совершенно другие взгляды).
В нашем случае, справедливость ОТО (теории тяготения) полностью основана на справедливости принципа эквивалентности инерционной и гравитационной масс, который можно проверить как на отсутствие или наличие внутренних противоречий, так и подвергнуть прямой экспериментальной проверке. Заодно и теорию тяготения Ньютона проверим, поскольку она на тему эквивалентности особо не заморачиваясь, признает любое тело источником гравитационного поля (силы тяготения).
Замечу еще, что ограждение любой теории от проверки или игнорирование результатов наблюдений и экспериментов ей противоречащих, переводят такую теорию в разряд "лженаучных" . Это положение не мною придумано, а усилиями комиссии по борьбе с лженаукой РАН.
Так что "надо Федя, надо", как говорил Шурик Алкоголику приготавливаясь к экзекуции.

[Шимпанзе]

Михаил Дмитриев писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Опять двадцать пять. Теорию Эйнштейна проверять не надо – она ( теория) физическая реальность - её терпеливо изучать надо. А вот теория Ньютона подлежит каждой раз проверке, потому как она ( теория Ньютона) справедлива лишь на уровне технических наук.

Проверять любую теорию просто необходимо, и идола для поклонения из нее делать недопустимо. Потому как даже один единственный достоверный эксперимент или наблюдение, вполне могут ее опровергнуть, несмотря на любое количество экспериментов, якобы ее подтверждающих (они же вполне могут подтверждать и совершенно другие взгляды).
В нашем случае, справедливость ОТО (теории тяготения) полностью основана на справедливости принципа эквивалентности инерционной и гравитационной масс, который можно проверить как на отсутствие или наличие внутренних противоречий, так и подвергнуть прямой экспериментальной проверке. Заодно и теорию тяготения Ньютона проверим, поскольку она на тему эквивалентности особо не заморачиваясь, признает любое тело источником гравитационного поля (силы тяготения).
Замечу еще, что ограждение любой теории от проверки или игнорирование результатов наблюдений и экспериментов ей противоречащих, переводят такую теорию в разряд "лженаучных" . Это положение не мною придумано, а усилиями комиссии по борьбе с лженаукой РАН.
Так что "надо Федя, надо", как говорил Шурик Алкоголику приготавливаясь к экзекуции.

Если утром Вы не видите солнце – физическая реальность (!), - стройте теории , почему солнце не видно. Аналогично ТО – она вовсе не теория, а физическая реальность.
Однако ж я не специалист по сюсюканью с альтами. Тут есть специалисты по этой части.

[Someone]

VladTK писал(а):

Получается, что точечные бесспиновые частицы в ОТО всегда (если наложено внешнее гравитационное поле, то результат не изменяется) движутся по геодезическим.

Ваши мнения?

Интересно, кто-нибудь возражать будет?

Munin писал(а):

Получается, оба эффекта связаны с неточечностью пробного тела, но оба не вызывают отклонения движения тела, если рассматривать его как точечное, от геодезической?

Нет, они не связаны с неточечностью частицы. При движении точечной частицы она просто параллельно переносит свой 4-вектор момента импульса (и свой 4-вектор скорости тоже). В плоском пространстве параллельный перенос вектора по замкнутому контуру возвращает вектор в первоначальное положение. Эффект кривизны состоит в том, что после обхода контура вектор оказывается повёрнутым на некоторый угол.
В случае гироскопа на орбите спутника Земли в постньютоновском приближении поворот вектора момента импульса разбивается на два слагаемых. Одно зависит от скорости движения гироскопа и градиента ньютоновского потенциала (это геодезическая прецессия), а другое - от момента импульса Земли (это эффект Лензе - Тирринга). Сам гироскоп при этом считается точечным. Формулы можно найти в третьем томе МТУ.

Влияние кривизны на параллельный перенос вектора можно увидеть наглядно. Рассмотрим обычную сферу. Возьмём три попарно перпендикулярных больших круга. Они разбивают сферу на 8 одинаковых треугольников, в которых все углы прямые. Проследим, что происходит с вектором на сфере (изображаем его маленьким кусочком дуги большого круга на сфере со стрелочкой на конце) при его параллельном переносе по контуру одного из треугольников. Большие круги - это геодезические сферы. При параллельном переносе вектора вдоль геодезической угол между вектором и геодезической сохраняется (геодезическая - это "прямая" в искривлённом пространстве, и, согласно принципу эквивалентности, перенос вектора должен выглядеть так же, как его перенос в плоском пространстве по прямой).
Пусть сначала вектор находится в одной из вершин треугольника и направлен по одной из сторон. Перенесём его вдоль этой стороны в другую вершину; он сохранит направление вдоль этой же стороны. Здесь этот вектор перпендикулярен второй стороне; перенесём его вдоль этой стороны в третью вершину. В третьей вершине вектор будет также перпендикулярен второй стороне и направлен вдоль третьей стороны. По третьей стороне возвращаем его в первую вершину, при этом он остаётся направленным по третьей стороне, но зато оказывается перпендикулярным своему первоначальному направлению.

[Михаил Дмитриев]

Начнем со слабого принципа эквивалентности, заключающегося в равенстве (!?) ускорения свободного падения для тел с различной массой.
Буду приводить цитаты из англоязычных источников, поскольку даже Российское Гравитационное Сообщество имеет чисто англоязычный сайт с приглашением на трех языках, в перечень которых русский язык не входит http://rgs.da.ru/
Видимо за ненадобностью в этой области науки (скоро и другие за ними последуют?).
http://relativity.livingreviews.org/Art ... rr-2006-3/
2.1.1 Tests of the weak equivalence principle
A direct test of WEP is the comparison of the acceleration of two laboratory-sized bodies of different composition in an external gravitational field. If the principle were violated, then the accelerations of different bodies would differ.
Что же мы здесь можем увидеть? Не более и не менее, как подмену понятия "независимость" на понятие "равенство" (намеренную или случайную- другой вопрос). На первый (уже привычный взгляд) разницы между ними никакой нет. На самом деле, разница принципиальная, приводящая к совершенно различным выводам. Если имеет место независимость, то это обеспечивает равенство ускорения падения любых масс (даже не равных между собой), что доказано еще со времен Галилея.
Опыты Этвеша и др. с пробными телами, состоящими из различных веществ, но равными по своей массе (весу), являются излишними и бесполезными по своей сути, поскольку ничего не доказывают. Результат этих опытов (с любой точностью) будет всегда соответствовать отсутствию какой- либо разницы априори, в связи с принципиальной независимостью ускорения свободного падения от массы пробного тела .
Оттуда же:
-The simplest way to quantify such possible violations of WEP in a form suitable for comparison with experiment is to suppose that for a body with inertial mass m_I, the passive gravitational mass m_P is no longer equal to m_I, so that in a gravitational field g, the acceleration is given by m_ I a = m_ Pg (1)

Последнее равенство вообще абсурдно. Ускорение свободного падения от массы пробного тела не зависит. По этой причине мы можем в левую и правую часть (1) подставить любые массы, например , различающиеся на 3 порядка. Получим очевидное нарушение равенства, что приводит к заключению о недопустимости введения массы пробного тела в отношение равенства ускорений. Оно может выглядеть только как a=g.
Налицо имеется внутреннее противоречие слабого принципа эквивалентности.
Это же заключение о независимости ускорения свободного падения пробного тела от его массы получается из законов Ньютона (закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона):
a=GМ/R^2 (2)
где
a - ускорение свободного падения (в данном случае a=g);
G- гравитационная постоянная;
M- масса Земли;
R- расстояние до центра Земли, или ее радиус (в общем случае расстояние до общего центра тяжести двух тел).
Мы видим из (2), что масса пробного тела в него вообще не входит никаким образом, что говорит именно о независимости от нее ускорения свободного падения.
Для сомневающихся в справедливости (2), проведем его проверку путем прямого расчета этого самого ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли, для чего подставим в него численные значения входящих в него величин:
GM Земли = 398600,448 км^3 /сек^2,
значение среднего радиуса Земли равно 6371,023 км.
Тогда получим
a= 398600, 448/40589934,07( км^3/ сек^2 км^2) = 0,00982 (км/сек^2)= 9,82 м/сек^2
что соответствует реальным измерениям этой величины в экспериментах.

Таким образом, независимость ускорения свободного падения от массы пробного тела, никоим образом не связана с равенством инерционной и гравитационной масс пробного тела, а определяет равенство этого ускорения для пробных тел с любой, отличающейся на порядки массой.
Следовательно, Слабый Принцип Эквивалентности инерционной и гравитационной масс, можно признать фальсифицированным.

[Munin]

Someone писал(а):

Нет, они не связаны с неточечностью частицы. При движении точечной частицы она просто параллельно переносит свой 4-вектор момента импульса

Да, что-то я совсем плох. Наличие момента импульса связал с неточечностью (чтобы у частицы было чему вращаться).

Кстати, перенос момента импульса по замкнутому контуру зависит от того, является ли момент импульса вектором или тензором, или результат одинаков? Если уж опускаться до наивных вопросов... :-)

Добавлено спустя 21 минуту 34 секунды:

VladTK писал(а):

Тогда последнее слагаемое в (1) можно переписать в виде

$$ -\frac {c^3} {16 \pi G} \int R \sqrt{-g} d \Omega = -\frac {c^3} {16 \pi G} \int -\frac {8 \pi G} {c^3} \frac {\rho c} {\sqrt{-g}} \frac {ds} {dt} \sqrt{-g} dV_{3} c dt = \frac c2 \int \rho dV_{3} ds $$

В этом месте незаконно подставлять в выражение для действия результат приравнивания нулю вариациии действия. Фактически, вы пользуетесь выводом, что первое слагаемое равно второму, и подставляете вместо второго первое. После этого итоговое выражение уже не будет эквивалентно исходному: его вариацией нельзя будет получить того же результата. В конечном счёте вы можете получить влияние гравитационного поля на частицы, но выбрасываете влияние частиц на гравитационное поле, что у вас в итоге и получилось.

Добавлено спустя 9 минут 7 секунд:

Михаил Дмитриев писал(а):

Начнем со слабого принципа эквивалентности, заключающегося в равенстве (!?) ускорения свободного падения для тел с различной массой.

Нет, для различных тел.

Михаил Дмитриев писал(а):

Опыты Этвеша и др. с пробными телами, состоящими из различных веществ, но равными по своей массе (весу), являются излишними и бесполезными по своей сути, поскольку ничего не доказывают. Результат этих опытов (с любой точностью) будет всегда соответствовать отсутствию какой- либо разницы априори, в связи с принципиальной независимостью ускорения свободного падения от массы пробного тела .

Эта независимость и подлежит проверке. Кстати, в формулировках нигде не сказано, что тела равной массы.

Михаил Дмитриев писал(а):

Ускорение свободного падения от массы пробного тела не зависит.

Таким образом, вы просто выражаете согласие со слабым принципом эквивалентности (причём даже в вашей формулировке).

Михаил Дмитриев писал(а):

По этой причине мы можем в левую и правую часть (1) подставить любые массы, например , различающиеся на 3 порядка.

Не можете, они относятся к одному телу.

Михаил Дмитриев писал(а):

Это же заключение о независимости ускорения свободного падения пробного тела от его массы получается из законов Ньютона (закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона)

Неудивительно, поскольку он из него исходит.

[VladTK]

Цитата:

...После этого итоговое выражение уже не будет эквивалентно исходному: его вариацией нельзя будет получить того же результата...

Принципиальный вопрос: что Вы понимаете под выражением "...того же результата..."?

Цитата:

...В конечном счёте вы можете получить влияние гравитационного поля на частицы, но выбрасываете влияние частиц на гравитационное поле, что у вас в итоге и получилось.

Не так. Если бы я выбрасил влияние частиц на гравитационное поле, то у меня бы исчезло последнее слагаемое в (1), а действие для частиц вообще бы не изменилось.

[Munin]

VladTK писал(а):

Принципиальный вопрос: что Вы понимаете под выражением "...того же результата..."?

Уравнения движения системы. А что ещё получается в результате варьирования действия и приравнивания вариации к нулю?

VladTK писал(а):

Не так. Если бы я выбрасил влияние частиц на гравитационное поле, то у меня бы исчезло последнее слагаемое в (1)

А вы фактически и выбросили последнее слагаемое в (1), подменив его первым. У вас было:
действие=-слагаемое1-слагаемое2.
Из этого действия следует уравнение Эйнштейна, из которого следует, что
слагаемое1=слагаемое2
Вы на основании этого подменяете слагаемое2 слагаемым1, и записываете новое действие:
действие'=-слагаемое1-слагаемое1=-2*слагаемое1.
Однако это то же самое, что записать
действие'=-слагаемое1,
и вовсе не то же самое, что исходное действие.