Игрок: задача на матожидание

[vuv9]

У игрока есть $k$ рублей.
Каждый раунд с вероятностью $p$ игрок получает 1 рубль, либо в с вероятностью $1-p$ теряет 1 рубль.
Игра заканчивается, как только у игрока останется 0 рублей или станет не меньше 6 рублей.
Какого матожидание количества раундов игры при $k=2$ и $p=0.6$?

Есть вариант решить вот так:
Пусть $f(k)$ – то самое матожидание при начальном капитале $k$.
$f(0) = 0, f(6) = 0$
$f(k) = 1 + p \cdot f(k + 1) + (1 - p) \cdot f(k - 1)$ для всех $k$ от 1 до 5
Матожидание сейчас – это матожидание матожиданий через ход $+ 1$.
Хотелось расписать
$f(k) = 1 + p \cdot f(k + 1) + (1 - p) \cdot f(k - 1)$
$f(k-1) = 1 + p \cdot f(k) + (1 - p) \cdot f(k - 2)$
Вычесть одно из другого и получить рекуррентное соотношение, которое свернуть с помощью характерестического уравнения.

Верный ли подход? Можно ли как-то легче решить?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kotenok gav]

vuv9 в сообщении #1310758 писал(а):

Вычесть одно из другого и получить рекуррентное соотношение, которое свернуть с помощью характерестического уравнения.

Не, тут надо систему линейных уравнений делать.

[DeBill]

vuv9 в сообщении #1310758 писал(а):

Верный ли подход? Можно ли как-то легче решить?

Да. Да: общее решение неоднородного есть сумма частного неоднородного плюс общего однородного. Частное (при $p$, не равном половинке) ищем в виде $f(k) = ck$, ибо единичка - корень хар. ур-я

[photon]

Рекуррентные соотношения позволяют посчитать мат. ожидания для произвольных конечных границ, вероятности выпадения орла и стартовой суммы.

Предлагаю найти решение для бесконечной верхней границы, симметричной монеты (то есть игра оканчивается только если у игрока не осталось денег, $p=0.5$).