2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все простые...
Сообщение09.05.2018, 23:04 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
Найти все простые $p$, при которых уравнение $$p^k=m^3+n^3$$
Имеет хотя бы одно решение в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все простые...
Сообщение10.05.2018, 02:06 


10/03/16
843

(Оффтоп)

Эдак вы теорему Ферма опровергните )

И да, я понимаю что моё сообщение в этой теме нужно как кое что наркоману. Если можно, строго не судите )

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все простые...
Сообщение10.05.2018, 03:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16747
Москва
$0$ не считаем натуральным числом?
Если числа $m$ и $n$ не взаимно простые, то они оба делятся на $p$, потому что левая часть должна делиться на куб наибольшего общего делителя $m$ и $n$. Сократив обе части на наибольшую возможную степень $p$, получим взаимно простые $m$ и $n$. А в этом случае наибольший общий делитель чисел $m+n$ и $m^2-mn+n^2=(m+n)^2-3mn$ равен либо $1$, либо $3$. Так как $m^2+n^2\geqslant 2mn$, то $m^2-mn+n^2\geqslant mn$.
В первом случае одно из чисел $m+n$ или $m^2-mn+n^2$ должно равняться $1$, так как в противном случае будет не меньше двух различных простых делителей, и это возможно только при $m=n=1$, что даёт $p=2$ и $k=1$.
Во втором случае получаем $p=3$ (например, $3^2=1^3+2^3$).
Восстанавливая сокращённые степени $p$, получим две серии решений: $2^{1+3t}=(2^t)^3+(2^t)^3$ для $p=2$ и $3^{2+3t}=(3^t)^3+(2\cdot 3^t)^3$ для $p=3$, где $t\geqslant 0$ целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все простые...
Сообщение10.05.2018, 08:50 
Аватара пользователя


01/12/11
8362
Someone в сообщении #1311368 писал(а):
$0$ не считаем натуральным числом?

Если 0 считать натуральным, то любое простое число удовлетворяет условию задачи.

-- 10.05.2018, 08:50 --

Someone в сообщении #1311368 писал(а):
Если числа $m$ и $n$ не взаимно простые, то они оба делятся на $p$, потому что левая часть должна делиться на куб наибольшего общего делителя $m$ и $n$. Сократив обе части на наибольшую возможную степень $p$, получим взаимно простые $m$ и $n$. А в этом случае наибольший общий делитель чисел $m+n$ и $m^2-mn+n^2=(m+n)^2-3mn$ равен либо $1$, либо $3$. Так как $m^2+n^2\geqslant 2mn$, то $m^2-mn+n^2\geqslant mn$.
В первом случае одно из чисел $m+n$ или $m^2-mn+n^2$ должно равняться $1$, так как в противном случае будет не меньше двух различных простых делителей, и это возможно только при $m=n=1$, что даёт $p=2$ и $k=1$.
Во втором случае получаем $p=3$ (например, $3^2=1^3+2^3$).
Восстанавливая сокращённые степени $p$, получим две серии решений: $2^{1+3t}=(2^t)^3+(2^t)^3$ для $p=2$ и $3^{2+3t}=(3^t)^3+(2\cdot 3^t)^3$ для $p=3$, где $t\geqslant 0$ целое.

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.05.2018, 10:38 
Модератор


19/10/15
1197
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group