Найти все простые...

[Ktina]

Найти все простые $p$, при которых уравнение

$$p^k=m^3+n^3$$

Имеет хотя бы одно решение в натуральных числах.

[ozheredov]

(Оффтоп)

Эдак вы теорему Ферма опровергните )

И да, я понимаю что моё сообщение в этой теме нужно как кое что наркоману. Если можно, строго не судите )

[Someone]

$0$ не считаем натуральным числом?
Если числа $m$ и $n$ не взаимно простые, то они оба делятся на $p$, потому что левая часть должна делиться на куб наибольшего общего делителя $m$ и $n$. Сократив обе части на наибольшую возможную степень $p$, получим взаимно простые $m$ и $n$. А в этом случае наибольший общий делитель чисел $m+n$ и $m^2-mn+n^2=(m+n)^2-3mn$ равен либо $1$, либо $3$. Так как $m^2+n^2\geqslant 2mn$, то $m^2-mn+n^2\geqslant mn$.
В первом случае одно из чисел $m+n$ или $m^2-mn+n^2$ должно равняться $1$, так как в противном случае будет не меньше двух различных простых делителей, и это возможно только при $m=n=1$, что даёт $p=2$ и $k=1$.
Во втором случае получаем $p=3$ (например, $3^2=1^3+2^3$).
Восстанавливая сокращённые степени $p$, получим две серии решений: $2^{1+3t}=(2^t)^3+(2^t)^3$ для $p=2$ и $3^{2+3t}=(3^t)^3+(2\cdot 3^t)^3$ для $p=3$, где $t\geqslant 0$ целое.

[Ktina]

Someone в сообщении #1311368 писал(а):

$0$ не считаем натуральным числом?

Если 0 считать натуральным, то любое простое число удовлетворяет условию задачи.

-- 10.05.2018, 08:50 --

Someone в сообщении #1311368 писал(а):

Если числа $m$ и $n$ не взаимно простые, то они оба делятся на $p$, потому что левая часть должна делиться на куб наибольшего общего делителя $m$ и $n$. Сократив обе части на наибольшую возможную степень $p$, получим взаимно простые $m$ и $n$. А в этом случае наибольший общий делитель чисел $m+n$ и $m^2-mn+n^2=(m+n)^2-3mn$ равен либо $1$, либо $3$. Так как $m^2+n^2\geqslant 2mn$, то $m^2-mn+n^2\geqslant mn$.
В первом случае одно из чисел $m+n$ или $m^2-mn+n^2$ должно равняться $1$, так как в противном случае будет не меньше двух различных простых делителей, и это возможно только при $m=n=1$, что даёт $p=2$ и $k=1$.
Во втором случае получаем $p=3$ (например, $3^2=1^3+2^3$).
Восстанавливая сокращённые степени $p$, получим две серии решений: $2^{1+3t}=(2^t)^3+(2^t)^3$ для $p=2$ и $3^{2+3t}=(3^t)^3+(2\cdot 3^t)^3$ для $p=3$, где $t\geqslant 0$ целое.

Большое спасибо!

[Karan]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»