Найти вероятность

[hollo]

$X\sim N(0,5)$
$Y\sim \Pi(6)$
Нужно найти $P(X\geqslant 5 \text{ и } Y^2\leqslant 3)$

Правильно ли я понимаю, что $P(X\geqslant 5)=\int\limits_{5}^{\infty}f(x)dx$
где $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot0\cdot\sqrt{5}}}e^{\frac{-x^2}{10}}$. Но что-то странный интеграл получается

а $P(Y^2\leqslant 3)=P(-\sqrt{3}\leqslant Y \leqslant\sqrt{3})$
далее нужно $P(\sqrt{3})-P(-\sqrt{3})$?

[Otta]

Во-первых, не хватает информации. С.в. независимы или как?

hollo в сообщении #1311172 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot0\cdot\sqrt{5}}}e^{\frac{-x^2}{10}}$.

Что там делает ноль в знаменателе? Разберитесь с сигмой, пожалуйста. И со знаменателем вообще.

hollo в сообщении #1311172 писал(а):

Но что-то странный интеграл получается

Что именно странного? Как мы работаем с нормальным распределением?
Например, как считать $P\{\xi\in (0,1)\}$, если $\xi\sim N(0,1)$?

$\Pi$ я не очень понимаю. Это Пуассон или что-то другое?

[hollo]

Otta в сообщении #1311182 писал(а):

Во-первых, не хватает информации. С.в. независимы или как?

Независимы

Otta в сообщении #1311182 писал(а):

Что там делает ноль в знаменателе? Разберитесь с сигмой, пожалуйста. И со знаменателем вообще.

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}$
В случае $N(0,5)$ имеем $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{5}}e^{\frac{-x^2}{10}}$

Otta в сообщении #1311182 писал(а):

Что именно странного? Как мы работаем с нормальным распределением?
Например, как считать $P\{\xi\in (0,1)\}$, если $\xi\sim N(0,1)$?

Эта вероятность будет примерно такой $F(1)-F(0)$?
Меня смущает, что нет верхней границы

Otta в сообщении #1311182 писал(а):

$\Pi$ я не очень понимаю. Это Пуассон или что-то другое?

Да, Пуассон

[Otta]

hollo в сообщении #1311206 писал(а):

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}$
В случае $N(0,5)$ имеем $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{5}}e^{\frac{-x^2}{10}}$

И чему же это у нас равно сигма?

hollo в сообщении #1311206 писал(а):

Эта вероятность будет примерно такой $F(1)-F(0)$?

Да, если Вы знаете что такое $F$ и где его брать. Знаете?

hollo в сообщении #1311206 писал(а):

Меня смущает, что нет верхней границы

Ну плюс бесконечность, значит.

hollo в сообщении #1311206 писал(а):

Да, Пуассон

Ну и хорошо. Тут тогда все нормально, хотя, на мой вкус, иначе было бы проще. Осталось досчитать.

[hollo]

Otta в сообщении #1311208 писал(а):

И чему же это у нас равно сигма?

Так вроде бы $\sigma^2=5$, значит $\sigma=\sqrt{5}$

Otta в сообщении #1311208 писал(а):

Да, если Вы знаете что такое $F$ и где его брать. Знаете?

Otta в сообщении #1311208 писал(а):

Ну плюс бесконечность, значит.

Это функция распределения. Для моего случая будет так?
$F(+\infty)-F(5)$

$F(+\infty)=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{x}{\sqrt{5}}}$
$F(5)=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{5}e^{\frac{x}{\sqrt{5}}}$

[Otta]

hollo в сообщении #1311213 писал(а):

Так вроде бы $\sigma^2=5$, значит $\sigma=\sqrt{5}$

Ага, тогда правильно.

hollo в сообщении #1311213 писал(а):

Это функция распределения

Само собой. Задам более конкретный вопрос: чему равна $P\{\xi\in (0,3)\}$, если $\xi\sim N(0,1)$? Число, пожалуйста.

hollo в сообщении #1311213 писал(а):

Для моего случая будет так?

Нет. Все три раза.

[hollo]

Otta

Otta в сообщении #1311217 писал(а):

Само собой. Задам более конкретный вопрос: чему равна $P\{\xi\in (0,3)\}$, если $\xi\sim N(0,1)$? Число, пожалуйста.

$F(3)-F(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{3}e^{\frac{-x^2}{2}}dx - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{0} e^{\frac{-x^2}{2}}dx$
Не выходит

[Otta]

Еще бы оно выходило. Вспоминайте недавнюю молодость, наверняка в ней интегральная теорема Муавра-Лапласа была. Там тоже какой-то интеграл торчал. Наверняка не ручками считали - не считается оно ручками.
Вот и тут не считается. А куда лезть, на что смотреть?

[hollo]

Otta
В таблицу Лапласа.
$\Phi(3)-\Phi(0)=0,4986$

[Otta]

Верно. Но Вы продолжайте, чтобы не беседовать по слогам.

[hollo]

Otta
$F(\infty,0,5)-F(5,0,5)=$
$\Phi(+\infty)-\Phi(1)=0,4999-0,3413=0,1586$

А для
$P(\sqrt{3})-P(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}\left( \frac{1}{e^{\sqrt{3}}} + e^{\sqrt{3}}\right)$
$k$ ведь принимает любые значения, оставлять в таком виде?

[Otta]

hollo в сообщении #1311380 писал(а):

$F(\infty,0,5)-F(5,0,5)=$

Что это и откуда оно?

hollo в сообщении #1311380 писал(а):

А для
$P(\sqrt{3})-P(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}\left( \frac{1}{e^{\sqrt{3}}} + e^{\sqrt{3}}\right)$

Неверно. Не надо писать $P(\sqrt 3)$. Пишите в скобках событие полностью. Какая случайная величина - какое значение(я) - принимает. Распределение случайной величины рекомендуется выписать заранее, ибо Вам про него сказали все, причем заранее, до того, как попросили найти вероятность.

-- 10.05.2018, 11:29 --

hollo в сообщении #1311380 писал(а):

$P(\sqrt{3})-P(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}^k}{k!}\left( \frac{1}{e^{\sqrt{3}}} + e^{\sqrt{3}}\right)$

То есть для разных $k$ получатся разные вероятности одного и того же? Прелесссно.

[hollo]

Otta в сообщении #1311382 писал(а):

Что это и откуда оно?

Взял формулу из Википедии:
Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через $\Phi$
$F(x,\mu,\sigma)=\Phi( \frac{x-\mu}{\sigma})$

Otta в сообщении #1311382 писал(а):

Неверно. Не надо писать $P(\sqrt 3)$. Пишите в скобках событие полностью. Какая случайная величина - какое значение(я) - принимает. Распределение случайной величины рекомендуется выписать заранее, ибо Вам про него сказали все, причем заранее, до того, как попросили найти вероятность.

$P(-\sqrt{3}\leqslant Y \leqslant\sqrt{3})=F(\sqrt{3})-F(-\sqrt{3})$
Функция распределения $F(a)=\sum\limits_{k=0}^{x}\frac{a^k}{k!}e^{-a}$
$F(\sqrt{3})=\sum\limits_{k=0}^{x}\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{-\sqrt{3}}$
$F(-\sqrt{3})=\sum\limits_{k=0}^{x}\frac{-\sqrt{3}^k}{k!}e^{\sqrt{3}}$
Разве не так?

[Otta]

hollo в сообщении #1311388 писал(а):

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами

Чему равны параметры? Вы писали - я помню, Вы забыли.

hollo в сообщении #1311388 писал(а):

$P(-\sqrt{3}\leqslant Y \leqslant\sqrt{3})=F(\sqrt{3})-F(-\sqrt{3})$

Это конечно. Никто не запретит усложнять жизнь по максимуму.
Хочется через функцию распределения - пожалуйста.
Только

hollo в сообщении #1311388 писал(а):

$F(\sqrt{3})=\sum\limits_{k=0}^{x}\frac{\sqrt{3}^k}{k!}e^{-\sqrt{3}}$

Вас не смущает, что правая часть от $x$ зависит, а левая нет?
И наконец, напишите уже, как выглядит распределение Пуассона в Вашем случае. А то смотреть больно.