2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 12:59 


08/12/17
255
Найти какие кольца $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$, которые конформно эквивалентны кольцу $r_2<\left\lvert z\right\rvert<R_2$.

Ответ, наверное, такой: кольца с соотношением $\frac{r_1}{R_1}=\frac{r_2}{R_2}$.
Я рассуждал, что интуитивно такое отображение - это поворот и растяжение относительно точки 0. Но как это доказать.
Пусть $f(z)$ - данное конформное отображение. Тогда по принципу соответствия границ окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$, а $\left\lvert z\right\rvert=R_2$ - в $\left\lvert z\right\rvert=R_1$. Но что дальше? Есть идея, что надо как-то перейти к отображению дисков, но как - не знаю. (Аналитического продолжения ещё не было перед этой задачей).
Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 13:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А выворачивать наизнанку рази нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 15:48 


08/12/17
255
Otta в сообщении #1311239 писал(а):
А выворачивать наизнанку рази нельзя?

Имеете ввиду принцип симметрии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 23:25 


08/12/17
255
Придумал только вот что.
Пусть $f(z)$ - данное конформное отображение. Тогда по принципу соответствия границ окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$. При этом $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ растягивается и поворачивается.
Пусть $g(z)$ - поворот и гомотетия диска $D_2(0,r_2)$ на $D_1(0,r_1)$, причём такое, что $g(z)=f(z) \forall z: \left\lvert z\right\rvert=r_2$.
Далее, пусть $h(z)$ - конформное отображение верхней полуплоскости на диск $D(0,r_2)$, а $k(z)$ - отображение полосы нижней полуплоскости на кольцо $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$, при котором действительная ось переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Тогда функция $$m(z)=\left\{
\begin{array}{rcl}
 &g\circ h(z), Im (z)\geqslant 0& \\
 &f\circ k(z), Im (z)<0& \\
\end{array}
\right.$$ голоморфна. По теореме о единственности $m(z)$ равно продолжению $g\circ h(z)$ на всю плоскость. Ну а $f(z)$ совпадает с продолжением $g(z)$ за круг $D_2(0,r_2)$, то есть $f(z)$ - поворот и гомотетия. Какая-то неприглядная конструкция, но не знаю как проще. Есть у кого идеи/советы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Можно сжимать или растягивать эти кольца так, чтобы внутренняя окружность растянутого кольца совпадала с внешней окружностью не растянутого и т.д. Так можно построить конформный автоморфизм $C$ , а все эти автоморфизмы явно описаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 23:49 


08/12/17
255
Brukvalub в сообщении #1311358 писал(а):
конформный автоморфизм $C$

$C$ - это комплексная плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение09.05.2018, 23:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
MChagall в сообщении #1311270 писал(а):
Имеете ввиду принцип симметрии?

Видимо, это замечание о том, что внутренняя окружность не обязательно переходит во внутреннюю...
MChagall в сообщении #1311357 писал(а):
При этом $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ растягивается и поворачивается.

Или : в некоторых местах сжимается, а некоторых - растягивается, и где-то поворачивается туда, а где-то - сюда...
Вобщем, без принципа симметрии - никак...
Но зато с ним - как! Только надо много-много раз его применить

-- 10.05.2018, 02:04 --

(Оффтоп)

В книжке Шабата к этой задаче (№14 г. 4) имеется указание "примените принцип симметрии"

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение10.05.2018, 13:20 


08/12/17
255
Идею, вроде, понял. Пусть $V$ -это кольцо $r_2<\left\lvert z\right\rvert<R_2$, $U$ - кольцо $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$. $V'$ - область, симметричная $V$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=r_2$, $U'$ - область, симметричная $U$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Тогда из принципа симметрии следует, что отображение $f(z)$ может быть продолжено до $g(z)$, которое конформно отображает область $V\cup V' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_2)$ на $U\cup U' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_1)$.
Далее берём симметрию относительно других граничных окружностей. Потом так же для получившихся и т.д.
Таким образом, мы заполним область $\mathbb{C}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$. Т.е. получим конформный автоморфизм $h(z)$ для $\mathbb{C}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.
Верно я понял?
Если верно, то осталось разобраться с нулём. Я так понимаю, что $h(z)$ можно продолжить и в ноль,так что $h(0)=0$. Верно? Но почему я могу так продолжить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение10.05.2018, 16:57 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Все правильно.
Так ведь 0 - будет устранимой ОТ (т.к. отображение ограничено в её проколотой окрестности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение10.05.2018, 17:56 


08/12/17
255
Но почему оно ограничено в проколотой окрестности? Я имею ввиду, что если у нас что-то вроде инверсии, то при движении к нулю прообраза образ будет стремиться к бесконечности. Не вижу, почему такого не может быть.
И даже если устранимая, почему именно ноль, а не какая-то другая конечная точка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение10.05.2018, 20:14 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
MChagall в сообщении #1311431 писал(а):
отображение $f(z)$ может быть продолжено до $g(z)$, которое конформно отображает область $V\cup V' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_2)$ на $U\cup U' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_1)$.

И при этом $V'$ будет отображаться именно на $U'$. И т.д.... Но это и означает, что предел (продолженного далее) $g$ при стремлении $z$ к нулю равен нулю.
Кстати, та задача из Шабата (доказать, что конформный изоморфизм кольца на кольцо линеен) - неправильная: контрпример: отображение $w=\frac{2}{z}$ переводит кольцо с радиусами 1 и 2 в себя! А как в Вашей задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение10.05.2018, 22:23 


08/12/17
255
Похоже, я упустил второй случай.
В описанном выше случае окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Рассмотрим случай когда $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в $\left\lvert z\right\rvert=R_1$.
Пусть $U''$ - область, симметричная $U$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=R_1$.
Тогда при продолжении $f(z)$ $V'$ перейдёт в $U''$. И так далее. Тогда $z=0$ будет полюсом. Верно?
Если да, то получается, что
в первом случае $f(z)=az, \left\lvert a\right\rvert=\frac{r_2}{r_1}=\frac{R_2}{R_1}$.
во втором случае $f(z)=\frac{a}{z}, \left\lvert a\right\rvert=R_2r_1=R_1r_2$.
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение11.05.2018, 00:32 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Да.

(Оффтоп)

Ничё, Шабат - тоже опустил...

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение11.05.2018, 00:58 


08/12/17
255
Ещё в довесок просят найти группу автоморфизмов кольца $\frac{1}{2}<\left\lvert z\right\rvert<2$.
У нас $\left\lvert a\right\rvert=1$ в обоих случаях. Значит
$f_1(z)=e^{i\varphi}z$
$f_2(z)=e^{i\varphi}z^{-1}$
Получается, что мне требуется два параметра: угол поворота $\varphi$ и знак степени $z$ (который показывает куда переходит внутренняя окружность: во внутреннюю или во внешнюю). Получается $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}_2$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформные кольца
Сообщение11.05.2018, 11:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
MChagall в сообщении #1311591 писал(а):
Верно?

Ну, почти....
Ведь поворот на $2\pi$ - это что? (короче, прямую тоже надо профакторизовать. И даже есть спец обозначение $U(1)$). И: будет ли это именно ПРЯМОЕ произведение?

-- 11.05.2018, 13:03 --



-- 11.05.2018, 13:05 --

Т.е., вопрос: группа Ваша - коммутативна?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group