Конформные кольца

[MChagall]

Найти какие кольца $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$, которые конформно эквивалентны кольцу $r_2<\left\lvert z\right\rvert<R_2$.

Ответ, наверное, такой: кольца с соотношением $\frac{r_1}{R_1}=\frac{r_2}{R_2}$.
Я рассуждал, что интуитивно такое отображение - это поворот и растяжение относительно точки 0. Но как это доказать.
Пусть $f(z)$ - данное конформное отображение. Тогда по принципу соответствия границ окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$, а $\left\lvert z\right\rvert=R_2$ - в $\left\lvert z\right\rvert=R_1$. Но что дальше? Есть идея, что надо как-то перейти к отображению дисков, но как - не знаю. (Аналитического продолжения ещё не было перед этой задачей).
Может кто помочь?

[Otta]

А выворачивать наизнанку рази нельзя?

[MChagall]

Otta в сообщении #1311239 писал(а):

А выворачивать наизнанку рази нельзя?

Имеете ввиду принцип симметрии?

[MChagall]

Придумал только вот что.
Пусть $f(z)$ - данное конформное отображение. Тогда по принципу соответствия границ окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$. При этом $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ растягивается и поворачивается.
Пусть $g(z)$ - поворот и гомотетия диска $D_2(0,r_2)$ на $D_1(0,r_1)$, причём такое, что $g(z)=f(z) \forall z: \left\lvert z\right\rvert=r_2$.
Далее, пусть $h(z)$ - конформное отображение верхней полуплоскости на диск $D(0,r_2)$, а $k(z)$ - отображение полосы нижней полуплоскости на кольцо $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$, при котором действительная ось переходит в окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Тогда функция

$$m(z)=\left\{ \begin{array}{rcl} &g\circ h(z), Im (z)\geqslant 0& \\ &f\circ k(z), Im (z)<0& \\ \end{array} \right.$$

голоморфна. По теореме о единственности $m(z)$ равно продолжению $g\circ h(z)$ на всю плоскость. Ну а $f(z)$ совпадает с продолжением $g(z)$ за круг $D_2(0,r_2)$, то есть $f(z)$ - поворот и гомотетия. Какая-то неприглядная конструкция, но не знаю как проще. Есть у кого идеи/советы?

[Brukvalub]

Можно сжимать или растягивать эти кольца так, чтобы внутренняя окружность растянутого кольца совпадала с внешней окружностью не растянутого и т.д. Так можно построить конформный автоморфизм $C$ , а все эти автоморфизмы явно описаны.

[MChagall]

Brukvalub в сообщении #1311358 писал(а):

конформный автоморфизм $C$

$C$ - это комплексная плоскость?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1311270 писал(а):

Имеете ввиду принцип симметрии?

Видимо, это замечание о том, что внутренняя окружность не обязательно переходит во внутреннюю...

MChagall в сообщении #1311357 писал(а):

При этом $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ растягивается и поворачивается.

Или : в некоторых местах сжимается, а некоторых - растягивается, и где-то поворачивается туда, а где-то - сюда...
Вобщем, без принципа симметрии - никак...
Но зато с ним - как! Только надо много-много раз его применить

-- 10.05.2018, 02:04 --

(Оффтоп)

В книжке Шабата к этой задаче (№14 г. 4) имеется указание "примените принцип симметрии"

[MChagall]

Идею, вроде, понял. Пусть $V$ -это кольцо $r_2<\left\lvert z\right\rvert<R_2$, $U$ - кольцо $r_1<\left\lvert z\right\rvert<R_1$. $V'$ - область, симметричная $V$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=r_2$, $U'$ - область, симметричная $U$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Тогда из принципа симметрии следует, что отображение $f(z)$ может быть продолжено до $g(z)$, которое конформно отображает область $V\cup V' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_2)$ на $U\cup U' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_1)$.
Далее берём симметрию относительно других граничных окружностей. Потом так же для получившихся и т.д.
Таким образом, мы заполним область $\mathbb{C}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$. Т.е. получим конформный автоморфизм $h(z)$ для $\mathbb{C}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.
Верно я понял?
Если верно, то осталось разобраться с нулём. Я так понимаю, что $h(z)$ можно продолжить и в ноль,так что $h(0)=0$. Верно? Но почему я могу так продолжить?

[DeBill]

Все правильно.
Так ведь 0 - будет устранимой ОТ (т.к. отображение ограничено в её проколотой окрестности).

[MChagall]

Но почему оно ограничено в проколотой окрестности? Я имею ввиду, что если у нас что-то вроде инверсии, то при движении к нулю прообраза образ будет стремиться к бесконечности. Не вижу, почему такого не может быть.
И даже если устранимая, почему именно ноль, а не какая-то другая конечная точка?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1311431 писал(а):

отображение $f(z)$ может быть продолжено до $g(z)$, которое конформно отображает область $V\cup V' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_2)$ на $U\cup U' \cup (\left\lvert z\right\rvert=r_1)$.

И при этом $V'$ будет отображаться именно на $U'$. И т.д.... Но это и означает, что предел (продолженного далее) $g$ при стремлении $z$ к нулю равен нулю.
Кстати, та задача из Шабата (доказать, что конформный изоморфизм кольца на кольцо линеен) - неправильная: контрпример: отображение $w=\frac{2}{z}$ переводит кольцо с радиусами 1 и 2 в себя! А как в Вашей задаче?

[MChagall]

Похоже, я упустил второй случай.
В описанном выше случае окружность $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в $\left\lvert z\right\rvert=r_1$.
Рассмотрим случай когда $\left\lvert z\right\rvert=r_2$ переходит в $\left\lvert z\right\rvert=R_1$.
Пусть $U''$ - область, симметричная $U$ относительно $\left\lvert z\right\rvert=R_1$.
Тогда при продолжении $f(z)$ $V'$ перейдёт в $U''$. И так далее. Тогда $z=0$ будет полюсом. Верно?
Если да, то получается, что
в первом случае $f(z)=az, \left\lvert a\right\rvert=\frac{r_2}{r_1}=\frac{R_2}{R_1}$.
во втором случае $f(z)=\frac{a}{z}, \left\lvert a\right\rvert=R_2r_1=R_1r_2$.
Верно?

[DeBill]

Да.

(Оффтоп)

Ничё, Шабат - тоже опустил...

[MChagall]

Ещё в довесок просят найти группу автоморфизмов кольца $\frac{1}{2}<\left\lvert z\right\rvert<2$.
У нас $\left\lvert a\right\rvert=1$ в обоих случаях. Значит
$f_1(z)=e^{i\varphi}z$
$f_2(z)=e^{i\varphi}z^{-1}$
Получается, что мне требуется два параметра: угол поворота $\varphi$ и знак степени $z$ (который показывает куда переходит внутренняя окружность: во внутреннюю или во внешнюю). Получается $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}_2$. Верно?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1311591 писал(а):

Верно?

Ну, почти....
Ведь поворот на $2\pi$ - это что? (короче, прямую тоже надо профакторизовать. И даже есть спец обозначение $U(1)$). И: будет ли это именно ПРЯМОЕ произведение?

-- 11.05.2018, 13:03 --



-- 11.05.2018, 13:05 --

Т.е., вопрос: группа Ваша - коммутативна?