Задача из Демидовича

[JoeJoi]

Здравствуйте, помогите решить задачу из Демидовича, пожалуйста. Сам решил, но с ответом чуть-чуть не сходится. Не могу найти ошибку. Номер 4062. Издание 13, исправленное, 1997 год.
Найти моменты инерции $I_x$, $I_y$ области $\Omega$ ограниченной кривыми
$(1.1) (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$,
$(1.2) x = 0,\quad (1.3) y = 0$

Ответ из задачника $I_x = I_y = \frac{a^4}{16}\cdot(16-5\cdot\pi)$

Мой ответ $I_x = I_y = \frac{a^4}{16}\cdot(\frac{32}{3}+5\cdot\pi)$

Сделал замену $x = a + r\cdot\cos(\varphi)$ , $y = a + r\cdot\sin(\varphi)$ получил из $(1.1) r = a$

По условию задачи плотность $\rho=1$
По формуле момента инерции для оси x :

$$I_x = \iint\limits_{\Omega}\rho y^2dxdy$$

$$I_x = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}r\cdot(a+r\cdot\sin(\varphi))^2d\varphi dr$$

, для оси y :

$$I_y = \iint\limits_{\Omega}\rho x^2dxdy$$

$$I_y = \int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}r\cdot(a+r\cdot\cos(\varphi))^2d\varphi dr$$

Раскрыл скобки, умножил на r , проинтегрировал по r, $\cos^2(\varphi)$ расписал по формуле понижения степени, получил

$$I_x = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a^4}{8}d\varphi + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a^4}{16}\cdot\cos(2\cdot\varphi )d(2\cdot\varphi) + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\cdot a^4}{3}\cdot\sin(\varphi)d\varphi + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a^4}{2}d\varphi$$

Проинтегрировав все эти интегралы , получил ответ данный выше

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- (краткие инструкции для набора формул: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- картинки убирайте, решение должно быть набрано здесь.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

JoeJoi
А Вы картинку рисовали? Что-то у Вас пределы интегрирования неправильные

[JoeJoi]

thething в сообщении #1311191 писал(а):

JoeJoi
А Вы картинку рисовали? Что-то у Вас пределы интегрирования неправильные

Здравствуйте, да , рисовал, окружность , смещенная от начала координат по осям x и y на величину a. Сама область $\Omega$ , похожа на равнобедренный треугольник со стороной a , только одна сторона кривая, доставшейся от окружности. Еще забыл добавить x>0 и y>0

[thething]

Ну, а центр полярной системы координат где? Как будет меняться полярный радиус и угол? Чтобы замести именно этот криволинейный треугольник?

[Lia]

JoeJoi
Формулы оформляйте, пока не поздно.

[JoeJoi]

Lia в сообщении #1311199 писал(а):

JoeJoi
Формулы оформляйте, пока не поздно.

Можете закрывать , я разобрался

[thething]

JoeJoi в сообщении #1311202 писал(а):

я разобрался

Точно ?

А по-моему там не всё так просто с расстановкой пределов..