невозможность качения без проскальзывания

[pogulyat_vyshel]

Задача двумерная. В вертикальной плоскости имеется выпуклая вниз чашка т.е. выпуклая вниз кривая, заданная своим натуральным уравнением $k=k(s)\in C^\infty(\mathbb{R}),\quad k>0.$
Наинизшей точке чашки отвечает значение натурального параметра $s=0.$
По дну чашки катается в поле силы тяжести однородный диск массы $m$ радиуса $r$. Известно, что при $s\ne 0$ выполнено неравенство $k(s)<1/r$ и $k(0)=1/r$; кроме того в любом положении диск касается чашки в единственной точке.

Доказать, что диск не может без проскальзывания кататься по дну чашки совершая при этом периодическое движение.

[pogulyat_vyshel]

Тот случай ,когда факт интересней самой задачи. В точке кривой где кривизна совпадает с кривизной диска происходит заклинивание. С какой стати казалось бы , ведь это всего одна единственная точка

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311063 писал(а):

В точке кривой где кривизна совпадает с кривизной диска происходит заклинивание.

А на "бытовом" уровне это каждый "джипер" знает. Если колесо забуксовало (прокопало ямку со своим радиусом кривизны), то выкапывать колесо бесполезно - оно опять закопается. Надо его приподнять и либо подложить что-то под него, либо передвинуть (уронить машину в сторону). Над физикой этого явления не задумывался. Спасибо!

[fred1996]

Не, ну физика тут ни при чем. Это чисто математический фокус.
Физическое заклинивание порисходит, когда поверхности начинают соприкасаться сплошняком, а не в "одной точке". Если в точке минимума радиусы кривизны различны, зазор между колесом и кривой ведет себя как $s^2$ и заклинивания заведомо не происходит, поскольку сила трения вполне себе способна синхронизировать вращение колеса и движение его ЦТ.
Если же в этой точке радиусы кривизны совпадают, то зазор себя ведет скорее всего как $s^4$. Вроде как тоже заклинивания не наблюдается. Но чем противна эта точка? А тем что при приближении к ней ЦТ колеса движется по траектории с радиусом кривизны $k-r$, который в критической точке превращается в ноль. А это значит что реакция опоры превращается в бесконечность. То есть скорее всего в этой точке траектория ЦТ теряет гладкость, то есть теряет гладкость направление скорости ЦТ. Но у нас ведь если нет проскальзывания, энергия не теряется. А значти угловая скорость вращения - гладкая функция. Значит в этой точке произойдет рассогласование вращения и движения ЦТ и должна возникнуть прокрутка.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1311110 писал(а):

реакция опоры превращается в бесконечность.

Я тоже так думаю. Таким образом происходит удар. А дальше вопрос как ведет себя диск после удара? Что он заклинит, покатится в обратную сторону , подскочит? Вот это интересно было бы покрутить, ударную реакцию посчитать, гипотезы о характере удара разные применить.

Оставлю ключевые формулы. Пусть $s(t)$ -- закон движения точки контакта по кривой, на картинке $s$ увеличивается слева направо. Скорость центра масс диска направлена вдоль касательной в точке контакта и вычисляется по формуле $v=(1-kr)\dot s$, а угловая скорость диска по формуле $\omega=(k-1/r)\dot s$. Все это конечно в предположении непроскальзывания.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311153 писал(а):

$v=(1-kr)\dot s$, а угловая скорость диска по формуле $\omega=(k-1/r)\dot s$.

Или, если обозначить через $\tau$ параметр длины на линии движения центра, мы имеем $-r\dot{\phi}=\dot{\tau}$ и связь интегрируется в $\tau r +\phi =c$.

Ну и движение описывается лагранжианом $K\dot{\tau}^2 -mg h(\tau)$, где $h(\tau)$ высота центра над минимумом. И тогда непонятно основное утверждение. Да, конечно, $\dot{s}$ обращается в бесконечность при $s=0$, ну и что? Это же скорость точки контакта, которая нематериальна

На картинке при кривой $y=x^2/2$ показаны линии движения центра при разных $r$, синим--при $r=1$. А зеленым: линия центров кривизны

[Munin]

fred1996 предложил хорошую идею: рассмотреть траекторию центра колеса. То есть, перейти от заданной кривой, к новой, смещённой от неё на постоянное расстояние $r.$ Показали, что на ней есть излом, но дальнейшее рассмотрение, видимо, зависит от конкретного вида этого излома.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1311168 писал(а):

Ну и движение описывается лагранжианом $K\dot{\tau}^2 -mg h(\tau)$, где $h(\tau)$ высота центра над минимумом. И тогда непонятно основное утверждение. Да, конечно, $\dot{s}$ обращается в бесконечность при $s=0$, ну и что? Это же скорость точки контакта, которая нематериальна

Это так. Я там с асимптотикой просчитался у меня получалось ,что $\dot s$ ограничено. Асимптотику считать надо аккуратно, вот как вы написали тоже само по себе ни чего не прояснятет, функция $h$ может быть какой угодно a priori. Но вроде $h(\tau)\sim const\cdot \tau^{4/3}$ при $\tau\to 0$ (если больших вырождений нет) если опять не проврался. И тогда вырождение связи в задаче с шаром на поверхности так просто одномерной задачкой не моделируется, там значит уже интересней

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311226 писал(а):

Но вроде $h(\tau)\sim \operatorname{const}\cdot \tau^{4/3}$ при $\tau\to 0$

 По крайней мере при $y=x^2/2r$ это так. На первый взгляд это противоречит картинке, которую я присобачил: у выделенной кривой виден излом. Но при увеличении видно, что это так, с константой 1, а потом эта линия идет чуть выше чем 4/3 парабола.

-- 09.05.2018, 06:18 --

Другой случай: когда $k(0)>1/r$ и образуется "мертвая зона". Но вообще-то не факт что при $k(0)\approx 1/r$, математическая модель адекватна.

pogulyat_vyshel в сообщении #1311226 писал(а):

И тогда вырождение связи в задаче с шаром на поверхности так просто одномерной задачкой не моделируется, там значит уже интересней

Безусловно.