2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональные точки на окружности
Сообщение28.02.2011, 16:01 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Хорошо известно, что окружность $x^2+y^2=1$ имеет бесконечно много точек с рациональными координатами.

Можно ли ее сдвинуть так, что на ней будет ровно:
1) Одна точка с рациональными координатами?
2) Две точки с рациональными координатами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение28.02.2011, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
1) нет 2) нет

Ага, все не так просто...

-- Пн фев 28, 2011 17:12:34 --

1) да 2) нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение28.02.2011, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13234
с Территории
Короче, вгоним гвоздь в одну из этих рациональных точек и будем поворачивать окружность на нём. Возможных значений угла поворота - континуум, а таких, при которых окружность заметает другие рациональные точки - всего лишь счётное...
Это по 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение28.02.2011, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
В 2) у меня был глюк, ответ там тоже да.

(Оффтоп)

Сместить на $(1/4 + \sqrt 7/4,1/4-\sqrt 7/4)$, например. Две рациональных точки там есть, а если бы была и третья, то центр был бы рациональным со всеми вытекающими последствиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение01.03.2011, 10:39 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Таким образом, окружность на плоскости может иметь $0,1,2,\infty$ рациональных точек. Верно ли то же самое для произвольной кривой второго порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение01.03.2011, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13234
с Территории
Возьмём окружность, описанную вокруг единичного квадрата. И давай её гнуть в эллипс (оставляя 4 точки на месте). Таких эллипсов - континуум, а рац. точек...

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение01.03.2011, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Для произвольной нет: ровно три или четыре рациональных точки могут быть. Но если есть пять, то есть вроде и бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение01.03.2011, 14:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Если три рациональные точки на окружности радиуса 1, то через треугольник находится, что центр рациональная точка. Соответственно из решений Пифагора бесконечно много рациональных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение04.05.2018, 16:32 


03/08/13
54
ИСН в сообщении #418343 писал(а):
Короче, вгоним гвоздь в одну из этих рациональных точек и будем поворачивать окружность на нём. Возможных значений угла поворота - континуум, а таких, при которых окружность заметает другие рациональные точки - всего лишь счётное...
Это по 1.

Что это вращение должно нам показать?

Множество всех подмножеств множества заметенных рациональных точек имеет мощность континуум. У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность, весь континуум окружностей как-то укладывается на счетном множестве рациональных точек. Из такого вращения не следует как существование, так и несуществование окружность ровно с одной рациональной точкой. Где я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение04.05.2018, 17:36 
Заслуженный участник


16/02/13
3443
Владивосток
torn в сообщении #1310009 писал(а):
У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность
В одну — нет. Если расстояние между выбранной нами и вот этой ровно 2, то в одну; если меньше, то в две; если больше, то ни в одну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные точки на окружности
Сообщение06.05.2018, 20:48 


03/08/13
54
iifat в сообщении #1310020 писал(а):
torn в сообщении #1310009 писал(а):
У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность
В одну — нет. Если расстояние между выбранной нами и вот этой ровно 2, то в одну; если меньше, то в две; если больше, то ни в одну.

Я ничего не понял, прошу переформулировать Вашу мысль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group