Рациональные точки на окружности

[neo66]

Хорошо известно, что окружность $x^2+y^2=1$ имеет бесконечно много точек с рациональными координатами.

Можно ли ее сдвинуть так, что на ней будет ровно:
1) Одна точка с рациональными координатами?
2) Две точки с рациональными координатами?

[Хорхе]

1) нет 2) нет

Ага, все не так просто...

-- Пн фев 28, 2011 17:12:34 --

1) да 2) нет

[ИСН]

Короче, вгоним гвоздь в одну из этих рациональных точек и будем поворачивать окружность на нём. Возможных значений угла поворота - континуум, а таких, при которых окружность заметает другие рациональные точки - всего лишь счётное...
Это по 1.

[Хорхе]

В 2) у меня был глюк, ответ там тоже да.

(Оффтоп)

Сместить на $(1/4 + \sqrt 7/4,1/4-\sqrt 7/4)$, например. Две рациональных точки там есть, а если бы была и третья, то центр был бы рациональным со всеми вытекающими последствиями.

[neo66]

Таким образом, окружность на плоскости может иметь $0,1,2,\infty$ рациональных точек. Верно ли то же самое для произвольной кривой второго порядка?

[ИСН]

Возьмём окружность, описанную вокруг единичного квадрата. И давай её гнуть в эллипс (оставляя 4 точки на месте). Таких эллипсов - континуум, а рац. точек...

[Хорхе]

Для произвольной нет: ровно три или четыре рациональных точки могут быть. Но если есть пять, то есть вроде и бесконечно много.

[Руст]

Если три рациональные точки на окружности радиуса 1, то через треугольник находится, что центр рациональная точка. Соответственно из решений Пифагора бесконечно много рациональных точек.

[torn]

ИСН в сообщении #418343 писал(а):

Короче, вгоним гвоздь в одну из этих рациональных точек и будем поворачивать окружность на нём. Возможных значений угла поворота - континуум, а таких, при которых окружность заметает другие рациональные точки - всего лишь счётное...
Это по 1.

Что это вращение должно нам показать?

Множество всех подмножеств множества заметенных рациональных точек имеет мощность континуум. У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность, весь континуум окружностей как-то укладывается на счетном множестве рациональных точек. Из такого вращения не следует как существование, так и несуществование окружность ровно с одной рациональной точкой. Где я ошибся?

[iifat]

torn в сообщении #1310009 писал(а):

У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность

В одну — нет. Если расстояние между выбранной нами и вот этой ровно 2, то в одну; если меньше, то в две; если больше, то ни в одну.

[torn]

iifat в сообщении #1310020 писал(а):

torn в сообщении #1310009 писал(а):

У нас нет условия, что точка может входить только в одну окружность

В одну — нет. Если расстояние между выбранной нами и вот этой ровно 2, то в одну; если меньше, то в две; если больше, то ни в одну.

Я ничего не понял, прошу переформулировать Вашу мысль.