2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 10:26 


20/10/17
107
Здравствуйте. Нужна помощь в решении задачи:нужно исследовать свойства оценки $\hat \lambda  = \frac{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\mathop t\nolimits_i^{k - 1} } }}$ (несмещенность, состоятельность), полученной методом максимального правдоподобия для параметра $\lambda$ для распределения Вейбулла с плотностью $f(t) = \lambda {t^{k - 1}}k{e^{ - \lambda {t^{k - 1}}}}(t \geqslant 0,\lambda  > 0,k > 0)$.
Определения из лекций:${\hat \theta _n}={\hat \theta _n}({x_1},...,{x_n})$ является состоятельной оценкой для параметра $\theta$, если она сходится по вероятности ${\hat \theta _n}\xrightarrow[{n \to \infty}]{P}\theta$ к истинному значению параметра с ростом объема выборки.
${\hat \theta _n}={\hat \theta _n}({x_1},...,{x_n})$ является несмещенной оценкой для параметра $\theta$, если ее математическое ожидание совпадает с истинным значением параметра т.е. $E{\hat \theta _n}= \theta$.
В Википедии написано, что математическое ожидание для распределения Вейбулла равно $\lambda \Gamma (1 + \frac{1}{k})  $, где $\Gamma$ - это гамма-функция.
Натолкните пожалуйста на мысль как решать данное задание?Хотя бы как проверить несмещенность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 10:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
artey в сообщении #1310359 писал(а):
с плотностью $f(t) = \lambda {t^{k - 1}}k{e^{ - \lambda {t^{k - 1}}}}(t \geqslant 0,\lambda  > 0,k > 0)$

Оно плотностью не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 12:29 


20/10/17
107
Otta в сообщении #1310360 писал(а):
artey в сообщении #1310359 писал(а):
с плотностью $f(t) = \lambda {t^{k - 1}}k{e^{ - \lambda {t^{k - 1}}}}(t \geqslant 0,\lambda  > 0,k > 0)$

Оно плотностью не является.


Это у распределения такая плотность по заданию. А мне нужно исследовать свойства оценки $\hat \lambda  = \frac{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\mathop t\nolimits_i^{k - 1} } }}$ (несмещенность, состоятельность), полученной методом максимального правдоподобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 14:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
artey
Еще раз: это вообще не плотность. Перепишите правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 15:11 


20/10/17
107
Otta в сообщении #1310393 писал(а):
artey
Еще раз: это вообще не плотность. Перепишите правильно.

Вот изначальное задание из задачника:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 15:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не, ну я что сделаю. Проверьте сами. Интеграл от плотности по прямой каким должен быть? И сделайте вывод.
Исправить, чтобы была плотность для указанных значений параметров, нетрудно, но и оценка тогда будет другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 17:01 


20/10/17
107
Нужно для полученной оценки сделать, другой не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение06.05.2018, 17:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вы же оценку по плотности получали. Напишите нормальную плотность (если проверяли, то наверняка поняли, где надо исправить) и посчитайте для нее оценку, это второе, кстати, входит в задание.

А сейчас Вы хотите пахать на танке: трактора не дали. Ваше право.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение20.05.2018, 16:05 


20/10/17
107
Здравствуйте, по поводу несмещенности, сделал так:$\lambda  = \frac{1}{\mu }\ $, $\mu  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {t_i^{k - 1}} }}{n}$, $E\widehat \mu  = E(\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {t_i^{k - 1}} }}{n}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {Et_i^{k - 1} = } \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda \Gamma (1 + \frac{1}{k}) = } \lambda \Gamma (1 + \frac{1}{k}) = ...?$ Как дальше равенство продолжить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение20.05.2018, 17:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Несмещенность оценки $\mu$ никак не поможет в несмещенности оценки $\lambda$. Надо сразу заниматься нужной оценкой.
И надо начинать с верно выписанной плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение20.05.2018, 17:28 


20/10/17
107
Otta в сообщении #1313689 писал(а):
Несмещенность оценки $\mu$ никак не поможет в несмещенности оценки $\lambda$. Надо сразу заниматься нужной оценкой.
И надо начинать с верно выписанной плотности.

Мне преподаватель сказал так сделать. Чему будет это равно $\lambda \Gamma (1 + \frac{1}{k})$ подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства оценки
Сообщение20.05.2018, 17:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
О господи. Извините, я не могу выполнять требования некомпетентного человека, Ваши ли они лично или чьи-то еще. Мне еще не все равно.
artey в сообщении #1313695 писал(а):
$\lambda \Gamma (1 + \frac{1}{k})$

Вот этому и равно, улучшений не будет. Никакого отношения к решению это выражение не имеет, но по сравнению с остальными его минусами это мелочи.

Вам надо научиться решать задачу или научиться выполнять требования преподавателя?
Если второе, в этих условиях я пас.

-- 20.05.2018, 19:37 --

Если доберетесь до задачи, а не до требований:
1. Поправьте плотность. Не умеете сами - попросите преподавателя. Это не плотность.
2. Найдите оценку лямбда для новой плотности.
3. Занимайтесь матожиданием именно этой оценки, а не чем-то еще, - все остальное бессмысленно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group