Зорич. Определение показательной функции

[Ivan_B]

Хотелось бы понять, на какие вопросы я должен знать ответ, после того как прочту этот раздел.
Предыстория. Когда я начал читать Зорича, я попытался разобраться со всеми возникающими вопросами как можно более подробно. Результат получился печальным, у меня начали возникать вопросы как "Что такое равно?", "Что значит $A=B$?" $A$ и $B$ это буквы, которые разные... и т.д. Подобные вопросы задавать я не решился. Остановился на том, что я знал что написано в доказательствах теорем. Для себя решил, что на текущем этапе этого достаточно.
Из доказательства $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$: "В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность." Для себя я сделал вывод, что это доказательство дает интуитивное понимание(или его иллюзию) и на данном этапе этого достаточно. Надеюсь, что этот вывод верный.
Сейчас читаю "Определение показательной, логарифмической и степенной функций на основе теории предела."
У меня есть вопросы искать ответы на которые сейчас, скорее всего, не стоит. Поэтому я и хочу знать что важно и что именно нужно для себя вынести из этого раздела.

(Примеры вопросов)

стр 138. "Показательная функция. Пусть $a > 1$ ... " Как же после этого быть с $(-1)^n$ которое очень часто встречается в упражнениях. Что такое $(-1)^\pi$. Что такое $0^0$...
"Для $n \in \mathbb N$ полагаем по индукции $a^1:=a, a^{n+1}:=a^n\cdot a$ Таким образом, на $\mathbb N$ возникает функция $a^n$" Подобные утверждения про натуральные числа доказывались. Получается, что доказательства как бы нет.

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1310275 писал(а):

у меня начали возникать вопросы как "Что такое равно?", "Что значит $A=B$?"

Равно бывают разные, но от всякого равенства требуется, чтобы выполнялся принцип Лейбница: две вещи равны тогда и только тогда, когда все их свойства совпадают — то есть, какой мы ни возьми предикат $p$, $A = B \Leftrightarrow (pA\Leftrightarrow pB)$. Теперь почему я сказал, что бывают разные — это зависит от того, рассмотрением какой теории мы ограничиваемся (в том числе какую берём основанием, если хотим говорить обо всей математике разом). Например, в теории множеств — для языка которой достаточно говорить лишь о принадлежности $\in$ — утверждение $A = B$ равносильно тому, что $A$ и $B$ равносоставлены (аксиома экстенсиональности). А в другой теории такая выразимость равенства может отсутствовать или может быть другой. Например, для элементов частично упорядоченного множества будет $A = B\Leftrightarrow(A\leqslant B\wedge B\leqslant A)$, где $\leqlant$ соответствующий нестрогий порядок.

В общем случае мы не можем установить, верно ли $A = B$ или $A\ne B$ для конкретных $A,B$. Это возможно только в т. н. полной теории. ZFC, например, неполна.

Ivan_B в сообщении #1310275 писал(а):

стр 138. "Показательная функция. Пусть $a > 1$ ... " Как же после этого быть с $(-1)^n$ которое очень часто встречается в упражнениях. Что такое $(-1)^\pi$. Что такое $0^0$...

Эти записи не обязательно воспринимать как показательные функции от некоторого аргумента, и притом даже вещественные, так что вообще странно спрашивать о каком-то $(-1)^\pi$.

Ivan_B в сообщении #1310275 писал(а):

"Для $n \in \mathbb N$ полагаем по индукции $a^1:=a, a^{n+1}:=a^n\cdot a$ Таким образом, на $\mathbb N$ возникает функция $a^n$" Подобные утверждения про натуральные числа доказывались. Получается, что доказательства как бы нет.

Это операция возведения в степень с натуральным показателем. Никто не говорил, что она должна быть как-то связана с показательными функциями. Обозначения совпадают, ну так вышло, и у этого есть причины, которые, однако, отдельные от этого определения теоремы.

[vpb]

Ivan_B

Значит, есть такое выражение: "Относитесь к этому легче". Что я имею в виду? С одной стороны, математика --- наука точная. Скажем, то, что в книжке Зельдовича (о которой Вы, вероятно, знаете) написано --- это не совсем математика, по нынешним понятиям; это нечто из 18 века. Тем не менее, хотя это и не вполне, но тоже математика. То есть, понимаете
ли, с одной стороны точность и аккуратность --- это родовые черты математики. С другой стороны, очень вредно из точности и аккуратности делать культ. Не нужно относиться к Зоричу так же, как свидетели Иеговы к Библии. Если Вы что-то поняли достаточно аккуратно, ясная картина в голове сложилась --- хорошо; если что-то поняли приблизительно, но небольшой туман остался --- не всегда стоит надрываться этот туман во что бы то ни стало рассеять. Может быть, на данном этапе Вашего саморазвития это и не возможно вообще.

Вы что-то уже знаете; относитесь к чтению Зорича как возможности своё знание улучшить и уточнить, без абсолютизации этого процесса. Это вариант того, что два человека смотрят на один стакан, и для одного этот стакан наполовину полный,
а для другого наполовину пустой.

Насчет конкретно показательной функции. Вы знаете, вероятно, что такое $a^x$, при $a>0$ и произвольном $x$ (знаете, не прибедняйтесь! а В Зориче об этом просто поточнее написано). Знаете также, что такое $a^x$ в случае, когда
$a\ne0$, а $x$ целое. В случае, когда $a>0$, а $x$ --- целое, числа, которые обозначает $a^x$ в том и другом смысле, совпадают. Но не стоит непременно пытаться придать смысл этой записи при произвольных $a$ и $x$, ибо это неполезно для головы. Возможно, позже в ТФКП Вы еще что-то узнаете про степень; но не сейчас.

Насчет того, что именно нужно вынести из того раздела --- ну это, собственно, сказать однозначно нельзя. Что не слишком мелкое, не высыпется сквозь пальцы, и что не слишком уж габаритное, короче, что в руках унесете, то и выносите...
(Да Вы, кажется, до такого образа действий и сами уже в принципе догадались.)

[SomePupil]

Ivan_B в сообщении #1310275 писал(а):

у меня начали возникать вопросы как "Что такое равно?"

Понимаю вас; я тоже задавался такими вопросами.

Если копать до оснований, то ответ конкретно на этот вопрос будет таким: любая теория, грубо говоря, состоит из последовательностей символов фиксированного алфавита (можете считать конечных последовательностей, здесь не суть). Соответственно, если в алфавите будет знак равенства, и свойства этого знака будут заданы с помощью специальных последовательностей символов (называемых аксиомами (!)), например...

$$A = B \implies B = A,$$

здесь использованы символы: $A, B, \implies,$
...то можно считать, что мы знаем, "что такое равно".

Утрируя, можно сказать, что такими вопросами занимается мат. логика вместе с теорией вычислимости.

Если вы сейчас нацелены изучить собственно матан, то над такими вопросами заморачиваться, конечно, не стоит.

Ivan_B в сообщении #1310275 писал(а):

Поэтому я и хочу знать что важно и что именно нужно для себя вынести из этого раздела.

Конкретно я из этого раздела ничего особо ценного не вынес. Просто там (как можно более) строго определяются и обосновываются свойства названных функций.

Лучше из первого тома почитать последнюю главу и потихоньку приступать к второму тому, имхо. По крайней мере, попытки делать, ведь все "разумное, доброе, вечное" именно там. Я сам сейчас читаю второй, и там действительно полезного материала на порядки больше (правда, я десятую главу пропустил, мне диф. исчисления на $\mathbb R^n$ вполне хватает) А к начальным главам первого тома можно обращаться только по необходимости.

[Ivan_B]

arseniiv
vpb
SomePupil
Огромное спасибо за Ваши подробные комментарии. Мне они очень помогли. Теперь я знаю что буду делать дальше.
На вопрос про равно я вообще не расчитывал получить ответ! Оказывается он есть! Отдельное спасибо!