Доказать, что последовательность сходится

[Ivan_B]

Демидович 146
Последовательность $x_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n$

Можно сгруппировать слагаемые $1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\dots \leqslant 1+1+1+\dots$
Или $1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\dots > \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots$
Откуда $\frac{m}{2} < x_{2^m-1}\leqslant m, m=1,2,\dots$
Сам логарифм $\ln 2^m=m\ln 2$
Получается, что и логарифм и сумма растут линейно в зависимости от $m$

Перед этим упражнением была серия упражнений, которые заканчивались пределом $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$
Потом теорема Штольца и упражнение на ее применение.
Но применить их тоже никак не получается.

[thething]

Вам нужно показать, что последовательность монотонно убывает и ограничена снизу нулем

-- 03.05.2018, 15:58 --

Для доказательства монотонного убывания пригодится свойство $e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$, а для доказательства ограниченности снизу -- свойство $e>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$. Наверняка они тоже ранее доказывались при выводе числа $e$. Только тут Вам надо из них получить некие неравенства для логарифмов.

[Ivan_B]

Я как-то пропустил группу упражнений 69-76, результатом которых являются эти(и другие) неравенства. Они как бы повторяют то, что доказывалось, но расширенно.

Возрастание и предел
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=$ $1+\frac{1}{1!}\cdot\left(\frac{n}{n}\right)+\frac{1}{2!}\cdot\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\cdot\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\dots\cdot\frac{1}{n}\right)<$ $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}<$ $1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^n}<3$
Сами же $\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\dots\cdot\frac{n-i}{n}\right)$ при увеличении $n$ тоже увеличиваются, поэтому последовательность возрастающая, ограниченная, значит имеет предел.

Убывание и предел
$\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}=$$\frac{(n+1)^{n+1}(n+1)^{n+2}}{(n+2)^{n+2}n^{n+1}}=$$\frac{(n+1)(n+1)^{2(n+1)}}{(n+2)((n+1)+1)^{n+1}((n+1)-1)^{n+1}}=$ $\frac{(n+1)(n^2+2n+1)^{n+1}}{(n+2)(n^2+2n)^{n+1}}=$$\frac{n+1}{n+2}\left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right)^{n+1}\geqslant$ $\frac{n+1}{n+2}\left(1+\frac{n+1}{n^2+2n}\right)=$$\frac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n}>1$
Значит $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ убывающая. Предел имеет тот же, что и первая последовательность $\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=$$\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Неравенства $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ нужно прологарифмировать(вот только мне говорили, что школьной математики как бы больше нет, а функции идут после последовательностей, может решать нужно как-то по другому)
$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$, тогда $\ln(n+1)-\ln n < \frac{1}{n}$
$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)>\frac{1}{n+1}$, тогда $\ln(n+1)- \ln n > \frac{1}{n+1}$

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}>\ln 2-\ln 1 + \ln 3- \ln 2 +\dots+\ln (n+1) - \ln n = \ln (n+1)$

$0 < \ln\frac{n+1}{n}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\ln n$
$x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1) + \ln n=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+1) - \ln n)<0$
Последовательность убывающая, ограниченная, значит имеет предел.

Дальше в задании написано:
"Таким образом, имеет место формула $1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}=C+\ln n +\varepsilon_n$, где $C=0,577216\dots$"
Значение константы приведено просто так, то есть вычислять ее не нужно?

[thething]

Ivan_B в сообщении #1309893 писал(а):

Значение константы приведено просто так, то есть вычислять ее не нужно?

Вы доказали ее существование. Надо ли доказывать, чему именно она равна, зависит от задания.

[Ivan_B]

Задание:
"146. Доказать, что последовательность
$x_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n\kern 10(n=1, 2, \dots)$
сходится.
Таким образом, имеет место формула
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}=C+\ln n +\varepsilon_n$,
где $C=0,577216\dots$ -- так называемая постоянная Эйлера и $\varepsilon_n \to 0$ при $n \to \infty$."

Нужно ли в рамках темы предел последовательности уметь находить эту константу?
Если нужно, то мне нужна подсказка, если нет, буду двигаться дальше.

[thething]

Ivan_B
В рамках данной темы -- нет, насколько мне известно, Вы ее не посчитаете. Я вообще знаю только один метод ее вычисления -- через гамма-функцию

[Ivan_B]

thething
Спасибо за Ваши ответы!