Иррациональное уравнение

[azmt]

Приветствую. Помогите решить уравнение:

$$x^3 + 1=2\sqrt[3]{2x-1}$$

Один из корней очевидно $x_1=1$, два другие вещественные. Если возвести обе части в куб, то получается слишком сложный многочлен, который не удаётся разложить на множители.

$$x^9 + 3x^6 + 3x^3 + 9 - 16x=0$$

$$(x^3+3)(x^6+3)=16x$$

Остаётся свободный член $16x$, с которым не понятно что делать. Подскажите плииз с чего можно начать, либо дальнейший ход решения.

[thething]

Пока такое предложение: поделить многочлен столбиком на $x-1$, коль скоро Вы уже знаете этот корень, потом по члену, свободному от икса, поискать еще целые корни

[azmt]

Уже пробовал. Тоже получается сложное выражение ($x^8 - x^7$ итд), которое не понятно как дальше решать. Это ведь тоже по сути разложение на множители.

[12d3]

Поделите обе части уравнения на 2. После этого внимательно посмотрите на левую и правую части. Если 3 минуты внимательного разглядывания ни к чему не приведут, постройте графики левой и правой частей.

[Aritaborian]

Я тут сейчас, задействовав исключительно, сами понимаете, спинной мозг, запряг комп, так он мне говорит, что есть ещё один корень, подозрительно смахивающий на золотое сечение, а два других корня являются решениями уравнения шестой степени и в радикалах выражаться не хотят, как их вишнёвым вареньем и креветками не корми.

In := Solve[x^3 + 1 == 2 Power[2 x - 1, (3)^-1], x] // FullSimplify
Out = {{x -> 1}, {x -> 1/2 (-1 + Sqrt[5])}, {x -> Root[9 + 2 #1 + 4 #1^2 + 2 #1^3 + 2 #1^4 + #1^6 &, 1]}, {x -> Root[9 + 2 #1 + 4 #1^2 + 2 #1^3 + 2 #1^4 + #1^6 &, 2]}}

[thething]

Aritaborian в сообщении #1309783 писал(а):

два других корня являются решениями уравнения шестой степени и в радикалах выражаться не хотят, как их вишнёвым вареньем и креветками не корми.

Что говорит не в пользу пакетов, т.к. там получается (у меня по крайней мере) кубическое уравнение $x^3-2x+1=0$ и в радикалах все прекрасно выражается (воспользовался подсказкой 12d3, если что)

[azmt]

thething в сообщении #1309786 писал(а):

$x^3-2x+1=0$

А как вы пришли к этому уравнению?

[thething]

А тут Вам встречный вопрос: это задание школьное (какой класс)? Или университетское (курс)?

[azmt]

Нет, о том чтобы что-то "сдать" речи нет. Просто нашел в сети и захотелось решить.

[alcoholist]

А нельзя использовать тот факт, что

$$ x=f\left(f(x)\right)? $$

[thething]

alcoholist
Как раз это и есть
azmt
Знаете ли вы, что такое взаимно обратные функции? И какое свойство имеют их графики, нарисованные в одной системе координат?

[azmt]

Графики вроде построил.
https://vk.com/doc15455077_465734573

[DeBill]

А красиво будет, если кубический корень обозначить через $y$.

(Оффтоп)

Да вычесть полученные ур-я, да разность кубов - глядишь, все корни и найдем....

[Aritaborian]

thething в сообщении #1309786 писал(а):

Что говорит не в пользу пакетов

И на старуху бывает проруха. Хотя чертовски странно, что Математика не сдюжила найти корни полинома в радикалах, которые (я вам, разумеется, верю) таки в них выражаются. Надо бы ещё как-то её попинать какой-нибудь конечностью в нужное место. Задавая ей задачу, я вроде бы нигде не опечатался...

azmt в сообщении #1309788 писал(а):

А как вы пришли к этому уравнению?

azmt, впредь, пожалуйста, аккуратнее используйте цитировательный инструмент. В цитате вы привели слова, сказанные не мною.

[wrest]

Aritaborian в сообщении #1309799 писал(а):

Хотя чертовски странно, что Математика не сдюжила найти корни полинома в радикалах, которые (я вам, разумеется, верю) таки в них выражаются.

Возведите в третью степень сами и задайте Математике решить $(x^3+1)^3=16x-8$
Вроде мелочь, а разницу сразу увидите...
Видимо Математика воспринимает корень третьей степени не вполне "целым", то есть степень преобразуется в её недрах в $0,3333333...$