Пусть

выпуклое и компактное подмножество

и

непрерывная функция.
Пусть

Является ли характеристическая функция

подмножества

интегрируемой
a)по Лебегу?
б) по Риману ?
Попытка решения проблемы:
a)

и

измерима, так как

-измеримое подмножество (потому что

- прообраз измеримого множества
![$(-\infty;0]$ $(-\infty;0]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/205f9d9aad28a96f72d4760d46f457c882.png)
при непрерывном отображении

).
Следовательно,

интегрируемая по Лебегу
б)
Теорема:


ограниченная, supp

огр. Тогда

интегрируемая по Риману

непрерывная почти везде.
___________
Легко доказать, что характеристическая функция

непрерывна только на множестве

В силу Теоремы достаточно проверить, является ли

множеством меры нуль. Как можно это сделать?(Возможно, можно найти другой подход, но я пока его не вижу. )
Заранее спасибо за любые подсказки.