2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить интеграл
Сообщение03.05.2018, 01:02 


21/12/16
73
Нужно вычислить интеграл $$\int\limits_{0}^{+\infty}( \exp(-{a^2 \over x^2}) - \exp(-{b^2 \over x^2}) )\,dx,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(ab \not = 0)$$
Замечаем, что можно представить разность как интеграл: $$\exp(-{a^2 \over x^2}) - \exp(-{b^2 \over x^2}) = \int\limits_b^a \exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dy$$
Таким образом имеем: $$-\int\limits_0^{+\infty}dx\int\limits_b^a \exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dy = - \int\limits_b^a dy\int\limits_0^{+\infty}\exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dx$$
Теперь замечаем $-{y\over x^2} dx= d({y\over x})$ и получили интеграл $$2\int\limits_0^{+\infty} \exp (-t^2)\,dt$$ где $t={y\over x}$, то есть интеграл Эйлера-Лапласа, который равен $\sqrt{\pi}$
Получаем, что финальный ответ $$\sqrt{\pi}(a-b)$$
Не могу понять как мне обосновать перестановку местами $dx$ и $dy$. Как быть если $b<0<a$, такое возможно, так как условие из начала $ab \not = 0$ гарантирует только что ни одно из них не ноль. В общем из-за этого нуля, который может содержаться в промежутке я не понимаю, что делать. Измениться ли ответ? Или одна точка ни на что не влияет? Как быть с равномерной сходимостью опять же из-за этого нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение03.05.2018, 04:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Этим проще заняться сразу. Смотрим на самый первый интеграл. Видим, что нам все равно, что возводить в квадрат, $a$ или $-a$. То же и с $b$. Поэтому можно считать, что оба положительны. Дальше, надеюсь, проблем нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение03.05.2018, 16:10 


21/12/16
73
Otta
Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group