Вычислить интеграл

[ioleg19029700]

Нужно вычислить интеграл

$$\int\limits_{0}^{+\infty}( \exp(-{a^2 \over x^2}) - \exp(-{b^2 \over x^2}) )\,dx,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(ab \not = 0)$$

Замечаем, что можно представить разность как интеграл:

$$\exp(-{a^2 \over x^2}) - \exp(-{b^2 \over x^2}) = \int\limits_b^a \exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dy$$

Таким образом имеем:

$$-\int\limits_0^{+\infty}dx\int\limits_b^a \exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dy = - \int\limits_b^a dy\int\limits_0^{+\infty}\exp(-{y^2 \over x^2})\cdot{2y \over x^2}\,dx$$

Теперь замечаем $-{y\over x^2} dx= d({y\over x})$ и получили интеграл

$$2\int\limits_0^{+\infty} \exp (-t^2)\,dt$$

где $t={y\over x}$, то есть интеграл Эйлера-Лапласа, который равен $\sqrt{\pi}$
Получаем, что финальный ответ

$$\sqrt{\pi}(a-b)$$

Не могу понять как мне обосновать перестановку местами $dx$ и $dy$. Как быть если $b<0<a$, такое возможно, так как условие из начала $ab \not = 0$ гарантирует только что ни одно из них не ноль. В общем из-за этого нуля, который может содержаться в промежутке я не понимаю, что делать. Измениться ли ответ? Или одна точка ни на что не влияет? Как быть с равномерной сходимостью опять же из-за этого нуля?

[Otta]

Этим проще заняться сразу. Смотрим на самый первый интеграл. Видим, что нам все равно, что возводить в квадрат, $a$ или $-a$. То же и с $b$. Поэтому можно считать, что оба положительны. Дальше, надеюсь, проблем нет?

[ioleg19029700]

Otta
Спасибо большое!