Сложение и другие арифметические операции

[Geen]

(Оффтоп)

А между тем, ТС уже полторы недели на форум не заглядывает...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да и текущее обсуждение было по отношению к исходному вообще оффтопом.

[Geen]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1304600 писал(а):

Да и текущее обсуждение было по отношению к исходному вообще оффтопом.

Ну так, "победили интеллектом" ТС

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так ТС вообще ни при чём, это началось с короткого и пространного комментария.

[Dmitriy40]

Что же, я походу потерялся на переходе к формальной теории. Возражения снимаю как излишне приземлённые и не соответствующие строгой теории. Офтопик начиная с моего возражения отделить сейчас попрошу.

(Оффтоп)

Своего мнения в доступных рамках теории не изменил. Зачем нужна операция $get_i(x)$ если $x$ не рассматривать как единый неделимый объект так и не понимаю. Буду благодарен за доступный понимаю пример (лучше в ЛС наверное) такого объекта, хоть из битов, хоть из тритов, хоть из любых объектов с конечным числом состояний, который при этом невозможно разделить на составляющие биты/триты/etc. Пока для меня любые информационные структуры разделимы на биты (триты, etc) и нет проблем использовать в формулах любой из них.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1304545 писал(а):

Видимо до меня не доходит что/почему булевы схемы не описываются булевой алгеброй.

Потому что не описываются. Если говорить совсем строго - непонятно, что вообще значит, что класс алгебраических структур (булевы алгебры) что-то описывает. Если менее строго - ну просто существуют два разных вида математических объектов, как-то связанных, но разных.

Необходимость проекции зависит от того, как мы определяем вход: можно считать, что нам сразу дают $n$ отдельных битов, а можно - что одну строку из $n$ битов. Во втором случае нам нужна проекция, т.к. аргументами имеющихся у нас функций должны быть отдельные биты, а не строки.

[Dmitriy40]

mihaild в сообщении #1304613 писал(а):

можно считать, что нам сразу дают $n$ отдельных битов, а можно - что одну строку из $n$ битов.

Для меня второе лишь короткое переобозначение одного из частных случаев первого. И функции над строкой лишь короткая запись совокупности функций на битами строки. Всё равно ведь функции над строкой определяются через функции над битами, как иначе то? Можно конечно определить таблицей из $2^n$ состояний, но и она будет разложима на функции с отдельными битами. Или возможно определить функцию над строкой битов, неразложимую на функции над отдельными битами? Простите, снова оксюморон. Есть ли простой пример таких функций? Пусть даже не над битами, но над объектами с фиксированным конечным числом состояний.
Вот про функции над строками из функций (хотя бы из полиномов) ничего подобного я утверждать не отважусь. А булева алгебра останется в силе? Может это имелось в виду?
PS. Что тип аргументов разный я понимаю, но вот почему они не сводимы друг к другу (более простому)?

-- 16.04.2018, 03:47 --

Стоп, секундочку, кажется что-то понял.
Мы можем определить объект с конечным набором состояний, а потом таблицами задать функции над этими объектами, возвращающие тоже эти же объекты. И никаких битовых операций не будет в принципе. А на внутреннее представление объектов и реализуемость в виде битов и битовых функций наплевать. И получим логику с неким набором реализуемых функций, который может быть и не полным (не будет того же сложения или ещё чего). И это тоже будет булева алгебра (ну если правильно всё определим)?
И вся проблема в том что у нас в алфавите нет обозначений операций над частями объектов? Несмотря на гарантированную реализуемость всей системы в виде битов и логических функций лишь над битами?
Об этом речь?

-- 16.04.2018, 03:52 --

Если да, то вся проблема яйца не стоит, всего лишь более высокий уровень абстракции без доступа к нижнему. Реализовать на более низком уровне можно, записать на этом же нет. Уф.
И тогда я имел в виду что реализовать на битах и битовых логических функция можно всё. А вот записать на более высоком уровне абстракции можно не всегда, зависит от имеющегося базиса, это понятно.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1304614 писал(а):

Всё равно ведь функции над строкой определяются через функции над битами, как иначе то?

Ну разница примерно как между функцией от трех аргументов и от вектора из трехмерного пространства. Без фиксирования базиса одно к другому однозначно не сводится.

Любая конечная булева алгебра изоморфна алгебре строк из нулей и единиц какой-то конкретной длины, да. Но канонического изоморфизма нет (как раз-таки можно переставлять биты).

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1304614 писал(а):

И получим логику с неким набором реализуемых функций, который может быть и не полным (не будет того же сложения или ещё чего).

В логике сложения (такого, как в арифметике) и нет. Поэтому непонятно, в каком смысле отсутствие сложения в логике свидетельствует о её неполноте. В логике свои операции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Они применяются к формулам, а не к числам. Моделью множества формул с перечисленными операциями является булева алгебра. Иногда конъюнкцию и дизъюнкцию называют (логическим) умножением и (логическим) сложением, но свойства этих операций не совпадают со свойствами арифметических операций. Никаких битов и байтов в булевой алгебре нет. Как только что отметил mihaild, имея просто булеву алгебру, однозначно определить представление её элементов строками битов нельзя, и для логики такое представление не выглядит полезным.

[Chifu]

Someone в сообщении #1304760 писал(а):

Никаких битов и байтов в булевой алгебре нет.

Зато можно написать необходимое нам количество пронумерованных булевых функций с общими аргументами, соответственно таблица истинности будет иметь такое же количество выходов, и реализовать эту таблицу в необходимом нам логическом базисе. Если мы зададим такой таблицей истинности арифметические операции необходимой разрядности, то наше логическое устройство будет выполнять арифметические операции над операндами в нашей интерпретации (например с диапазоном натуральных чисел со знаком).

[Someone]

Chifu в сообщении #1309172 писал(а):

Зато можно написать необходимое нам количество пронумерованных булевых функций с общими аргументами, соответственно таблица истинности будет иметь такое же количество выходов, и реализовать эту таблицу в необходимом нам логическом базисе. Если мы зададим такой таблицей истинности арифметические операции необходимой разрядности, то наше логическое устройство будет выполнять арифметические операции над операндами в нашей интерпретации (например с диапазоном натуральных чисел со знаком).

Возьмётесь это продемонстрировать? Вот имеется у нас абстрактная булева алгебра, без всяких дополнительных структур типа битов и байтов. Пишете необходимое количество функций, выражающихся через операции в булевой алгебре, то есть, через $\vee$, $\wedge$, $\neg$, и показываете, как там получается сложение. Я только не понимаю, что такое "разрядность" в булевой алгебре. Напоминаю, никаких битов и байтов нет.

[Chifu]

Someone в сообщении #1309177 писал(а):

Напоминаю, никаких битов и байтов нет.

Вам уже продемонстрировали на примере сумматора, для сложения байт соединяются 8 сумматоров. Бит это одна булева функция (точнее это элемент памяти, а соединяется он с одним выходом булевой функции), байт (8 разрядов) это 8 упорядоченных булевых функций (с общими аргументами), в математической записи - вектор, строка или столбец.

[Someone]

Chifu в сообщении #1309183 писал(а):

Вам уже продемонстрировали на примере сумматора. Бит это одна булевая функция (точнее это элемент памяти, а соединяется он с одним выходом булевой функции), байт это 8 упорядоченных булевых функций (с общими аргументами).

Вот и продемонстрируйте. Не используя понятия бита и нелогических функций. Я, в общем-то, с самого начала говорю о том, что компьютерная арифметика использует битовую структуру элементов и нелогические операции (выделение отдельных битов, "сборка" элемента из битов). Этот вопрос обсуждается уже не первый раз.

[Dmitriy40]

Someone в сообщении #1309177 писал(а):

что такое "разрядность" в булевой алгебре

Ну например длина вектора из одинаковых объектов с конечным числом состояний? Тогда логическая операция над векторами раскладывается на логические операции над элементами векторов. И это снова возвращает к вопросу допустимости логических операций над разными элементами векторов (а не лишь с одинаковым индексом для всех векторов).
Или по другому. Пусть есть одинаковые объекты $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ с конечным числом состояний. Определим операции $G=F_1(A,B,C,D,E,F), H=F_2(A,B,C,D,E,F), I=F_3(A,B,C,D,E,F)$, каждая из которых представляется (не обязательно однозначно) композицией операций $\vee, \wedge, \neg$ над одним-двумя аргументами над любыми из объектов $A,B,C,D,E,F$. Утверждается что должным образом выбрав операции $F_1, F_2, F_3$ можно получить в $(G,H,I)$ сумму $(A,B,C)$ и $(D,E,F)$, подразумевая везде совокупности трёх объектов как единое число. Разрядность при этом равна трём.
PS. Впрочем не уверен на 100% что это сработает и для произвольных объектов (вообще плохо понимаю чему равно отрицание для объекта с более чем двумя состояниями), но уж для объектов с двумя состояниями это точно работает.

[Chifu]

Someone в сообщении #1309187 писал(а):

Вот и продемонстрируйте. Не используя понятия бита и нелогических функций. Я, в общем-то, с самого начала говорю о том, что компьютерная арифметика использует битовую структуру элементов и нелогические операции (выделение отдельных битов, "сборка" элемента из битов). Этот вопрос обсуждается уже не первый раз.

Бит это 1 вход/выход или элемент памяти, соответственно 1 булева функция (с одним выходом). Байт это 8 пронумерованных бит - 8 пронумерованных булевых функций, т.е. соединяются по номеру, выделяются по номеру, соответственно они не "разбегаются", а жестко соединены со своим номером, поэтому собирать их не надо (они собраны). Рассмотрите "черный ящик" с входами по количеству и разряду аргументов и выходами по количеству разрядов результата, вот вся обработка информации происходит в "черном ящике" и вот в цифровой электронике этот ящик состоит из логических элементов (и элементов памяти).