Истинность и ложность в пустой Вселенной

[bayah]

Привет.
Сначала хотел написать вопрос куда нибудь ближе к философии, но ключевой вопрос все таки про логику, так что вроде все верно.
В общем есть книжка Джима Холта "Почему существует наш мир". Эдакий философский научпоп. На протяжении всей книги стоит выясняется вопрос "Почему есть Нечто, а не Ничто?"
Ну и приводятся разные попытки "построения" Ничто.
Дальше процитирую отрывок из книжки:

Цитата:

Как обнаружил Куайн, истинность или ложность пустой Вселенной можно проверить
исключительно простым способом: все утверждения существования (то есть высказыва-
ния, начинающиеся с «существует такой x, который…») автоматически ложны. С другой
стороны, все всеобщие высказывания (начинающиеся с «для каждого x…») автоматически
истинны. Почему все всеобщие высказывания истинны в пустой Вселенной? Возьмем для
примера утверждение для каждого x верно, что x – красный. В мире, не имеющем объек-
тов, определенно нет ни одного объекта, который не мог бы быть красным. Таким образом,
нет примеров, показывающих, что высказывание «все объекты – красные» ложно. Предло-
женная Куайном проверка на истинность для пустой Вселенной – это, по его выражению,
«триумф тривиальности». Она позволяет определить истинность любого, даже самого слож-
ного, утверждения. А если утверждение состоит из экзистенциальной и всеобщей частей,
соединенных «и» или «или», то нужно просто применить метод таблиц истинности, пер-
воначально изобретенный Витгенштейном и сейчас известный каждому, кто изучает эле-
ментарную логику. Проверка Куайна последовательно устанавливает, что будет истинным и
ложным в пустой Вселенной – то есть в состоянии абсолютного Ничто, и показывает, что из
предположения существования Ничто никакого противоречия не возникает. Очень интерес-
ный вывод с точки зрения метафизического нигилиста! Получается, что абсолютное ничто
логически непротиворечиво. В противоположность мнению многих скептических филосо-
фов, Ничто является реальной логической возможностью. Даже если мы не в состоянии
вообразить такую возможность, это еще не означает, что она парадоксальна. Абсолютная
пустота может выглядеть нелепицей, но не является абсурдом. С точки зрения логики, может
существовать мир, где вообще ничего нет.

Хотелось бы получить ваш коментарий по поводу этого. В частности:
1). В логике действительно допустимо строить высказывания если не существует ни одного объекта выссказывания? Это откуда-то следует? Тут нет никакой вольности считать это допустимым или не допустимым?
2). По поводу проверки Куайна, а если так? Пусть мы знаем, что никакого $x$ не существует. Мы формулируем два утверждения:
$A$ - для каждого $x$ верно, что $x$ – красный
$B$ - для каждого $x$ верно, что $x$ – не красный
Каждое из них истино, так как таких объектов нет.
Но тогда по таблице истиности высказывание $A \wedge B$ должно быть иснтино. Но $A$ есть отрицание $B$, значит $A \wedge B$ ложно.
Противоречие?

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1308753 писал(а):

1). В логике действительно допустимо строить высказывания если не существует ни одного объекта выссказывания?

Да, высказывания типа $\forall x\in\varnothing,\,P(x)$ или $\exists x\in\varnothing:\,P(x)$, где $P(x)$ есть некоторый предикат, - вполне корректны и допустимы.
Просто, раз корректны высказывания вида $\forall x\in M,\,P(x)$ с любым другим множеством $M$, непонятно, почему они должны стать некорректными в частном случае пустого множества. Соглашение, что множество $M$ в таких утверждениях обязательно должно быть непусто - очень сильно бы всё усложнило: ведь про некоторые множества вообще неизвестно, пусты они или нет. Поэтому обходятся без такого соглашения, и пустое множество $M$ допускается.

bayah в сообщении #1308753 писал(а):

Мы формулируем два утверждения:
$A$ - для каждого $x$ верно, что $x$ – красный
$B$ - для каждого $x$ верно, что $x$ – не красный
Каждое из них истино, так как таких объектов нет.
Но тогда по таблице истиности высказывание $A \wedge B$ должно быть иснтино. Но $A$ есть отрицание $B$, значит $A \wedge B$ ложно.
Противоречие?

Ошибка в том, что $A$ не есть отрицание $B$. Рассмотрите более простой случай. Пусть у Вас есть коробка, в коробке пять шаров. И Вы рассматриваете два утверждения: "все шары в коробке красные" и "все шары в коробке не красные". Очевидно, и в этом случае эти два утверждения НЕ будут отрицаниями друг друга: потому что есть возможность, что некоторые шары красные, а некоторые нет.
Вам стоит изучить или вспомнить, как берутся отрицания от утверждений с кванторами.

----------

Цитата:

Как обнаружил Куайн, истинность или ложность пустой Вселенной можно проверить
исключительно простым способом

Это предложение бессмысленно. Нет такого понятия, как "истинность или ложность Вселенной", хоть пустой, хоть непустой. Это уже говорит о качестве прочитанной Вами книги. Да и сам вопрос "почему есть Нечто, а не Ничто?" - кажется малоосмысленным.

Вопросы Вы задаёте разумные, но лучше искать на них ответ в каких-нибудь книгах по мат.логике, а не в таком вот "философском научпопе".

[bayah]

Mikhail_K в сообщении #1308760 писал(а):

Ошибка в том, что $A$ не есть отрицание $B$.

Ну да, получается при отрицании меняется утверждения с квантором, меняется и квантор. То есть если у нас P(x) - красный, тогда
$A = (\forall x)P(x)$, а его отрицание $\lnot A = B = (\exists x)\lnot P(x)$

Тогда, если $x$ не существует, то $A$ всегда истино, а $B$ - ложно.

Но возвращаясь к первоначальному варианту определения $A$ и $B$:
$A = (\forall x)P(x)$
$B = (\forall x) \lnot P(x)$

Как и ранее, в этом случае, если не существует $x$, то верны оба утверждения. Но утверждения $A$ и $B$ несовместны.
Возвращаясь к аналогии с шарами в коробке, нельзя чтобы одновременно "все шары были красными" и "все шары были не красными".
То есть все таки противоречие?

Mikhail_K в сообщении #1308760 писал(а):

Это предложение бессмысленно. Нет такого понятия, как "истинность или ложность Вселенной", хоть пустой, хоть непустой. Это уже говорит о качестве прочитанной Вами книги.

А это уже косяк перевода похоже. В оригинале "истинность или ложность ВО Вселенной...":

Цитата:

As Quine discovered, there is a remarkably easy test for truth and falsity in the empty
universe.

Mikhail_K в сообщении #1308760 писал(а):

Да и сам вопрос "почему есть Нечто, а не Ничто?" - кажется малоосмысленным.

Ну почему же, это же все таки философия.
Кстати сказать мнение о бессмысленности такого вопроса тоже рассматривается в книге)

Mikhail_K в сообщении #1308760 писал(а):

Вопросы Вы задаёте разумные, но лучше искать на них ответ в каких-нибудь книгах по мат.логике, а не в таком вот "философском научпопе".

Не, там я не ищу ответы, оттуда приходят вопросы)

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1308838 писал(а):

То есть все таки противоречие?

Противоречия нет. Скажите, что чему противоречит?

bayah в сообщении #1308838 писал(а):

Но утверждения $A$ и $B$ несовместны.

А откуда Вы взяли это утверждение? В случае пустого $M$ оно просто неверно. В случае непустого $M$ - верно, но требует доказательства (и доказательство довольно простое). Каким-то всеобщим логическим законом данное утверждение не является.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1308753 писал(а):

На протяжении всей книги стоит выясняется вопрос "Почему есть Нечто, а не Ничто?"

Это кошмар. Устройство Вселенной — эмпирический вопрос, нечего его пытаться решить на одной только бумаге.

-- Пн апр 30, 2018 21:54:09 --

bayah в сообщении #1308838 писал(а):

Как и ранее, в этом случае, если не существует $x$, то верны оба утверждения. Но утверждения $A$ и $B$ несовместны.
Возвращаясь к аналогии с шарами в коробке, нельзя чтобы одновременно "все шары были красными" и "все шары были не красными".

Вот как раз пустая коробка и показывает, что возможно.

[Mr. One]

arseniiv в сообщении #1308855 писал(а):

bayah в сообщении #1308753 писал(а):

На протяжении всей книги стоит выясняется вопрос "Почему есть Нечто, а не Ничто?"

Это кошмар. Устройство Вселенной — эмпирический вопрос, нечего его пытаться решить на одной только бумаге.
Эм. Ну вообще-то есть разница между внутренними вопросами (существует ли какая-то конкретная вещь: это вопрос устройства вселенной) и внешними (это вопрос об онтологическом статусе вещей вообще). Аналогия с числами: внутренний вопрос - существует ли простое число, которое больше 168077; внешний вопрос - существуют ли числа в действительности. Если речь идет о вселенной, то внутреннин вопросф, действительно, решаются эмпирически, а вот внешний вопрос философский, так что только на бумаге.

-- 01.05.2018, 04:29 --

Такой момент. Если мы утверждаем, что ничто логически возможно (не знаю как это записать: возможный мир с пустой предметной областью, maybe), то тем самым мы утверждаем, что вещь, которая существует с необходимостью (входит в предметные области всех возможных миров) является невозможной. Но это не следует не из какого логического закона. Так что, возможно, это камень преткновения подобного рассуждения: так как объявив ложным экзистенциальное высказывание с таким предикатом мы внесем в возможный мир тождественно лодное высказывание

[bayah]

Mikhail_K в сообщении #1308854 писал(а):

А откуда Вы взяли это утверждение?

arseniiv в сообщении #1308855 писал(а):

Вот как раз пустая коробка и показывает, что возможно.

Не знаю откуда, интуитино, наверное. Кажется странным, что возможна истиность двух всеобщих высказываний с предикатами друг друга отрицающими. Ну да, это возможно только для пустого множества, но тогда все таки странно вообще говорить утверждения о элементых пустого множества. Это какой-то чисто формальный ход? Какой смысл таких высказываний?

[bayah]

А вот, например, это как? У "всех людей плавники красные" и у "всех людей плавники зеленые".
Тут известность существования людей и несущестование у них плавников делает эти высказывания ложными? Или не существование людей с плавниками делает их истиными?

[iifat]

Это, имхо, как раз та словесная эквилибристика, которая порождает боьшинство якобы парадоксов.
Запишите свои слова однозначной формулой, тогда и можно будет говорить об истинности. Слова многозначны и неопределённы.

[bayah]

iifat в сообщении #1308988 писал(а):

Запишите свои слова однозначной формулой, тогда и можно будет говорить об истинности.

А я не умею это записать. )

То есть как, например так: $(\forall h) (\forall f) P(x)$
,где $h \in H$, $f \in h$
$H$ - непустое множество людей
$h$ - пустое множество плавников человека
$P(x)$ - цвет плавника красный
?

[iifat]

Ну, то есть: $\forall h\in H\ \forall f\in L(h)\ P(f)$
Таки да, святая правда. Если не верите — обдумайте отрицание: $\exists h\in H\ \exists f\in L(h)\ \neg P(f)$

[bayah]

iifat в сообщении #1309054 писал(а):

Если не верите — обдумайте отрицание: $\exists h\in H\ \exists f\in L(h)\ \neg P(f)$

Это утверждение получается ложное.
А оно есть отрицание первого, верно?
$\lnot (\forall h\in H\ \forall f\in L(h)\ P(f)) = \exists h\in H\ \exists f\in L(h)\ \neg P(f)$

[iifat]

bayah в сообщении #1309165 писал(а):

Это утверждение получается ложное

Ну разве что на вас растёт крыло синего цвета.

bayah в сообщении #1309165 писал(а):

А оно есть отрицание первого, верно?

Ну если я нигде не напутал, то да. Только зачем вы спрашиваете? Вы проверьте!

[arseniiv]

Mr. One в сообщении #1308974 писал(а):

Эм. Ну вообще-то есть разница между внутренними вопросами (существует ли какая-то конкретная вещь: это вопрос устройства вселенной) и внешними (это вопрос об онтологическом статусе вещей вообще). Аналогия с числами: внутренний вопрос - существует ли простое число, которое больше 168077; внешний вопрос - существуют ли числа в действительности. Если речь идет о вселенной, то внутреннин вопросф, действительно, решаются эмпирически, а вот внешний вопрос философский, так что только на бумаге.

Существует ли какая-то конкретная вещь — это вообще вопрос выбора модели, потому что вещи не существуют сами по себе. Мы можем говорить, что электроны «существуют», потому что модели, частью которых они являются (КЭД, Стандартная модель и расширения) так хорошо описывают реальность, что можно считать, что это она и есть. Но, например, если нам достаточно где-то абсолютно твёрдых тел и ньютоновской механики, там и об электронах говорить будет бессмысленно.

Далее, мой комментарий был по поводу «объяснения» того, почему Вселенная есть. На самом деле тут никакие объяснения невозможны кроме эмпирических и, для любителей утончённого вождения себя за нос, антропного принципа (не было — никто бы не спрашивал, а мы тут по глупости спрашиваем «почему» вместо «как»). Он не касается рассмотрения произвольных теорий, применимых к гипотетическим вселенным вместо или вместе с нашей.

Далее,

Mr. One в сообщении #1308974 писал(а):

внешний вопрос - существуют ли числа в действительности

это вообще не-вопрос. И я не буду распространяться об этом, потому что уже и так есть десятки постов.

bayah в сообщении #1308979 писал(а):

Ну да, это возможно только для пустого множества, но тогда все таки странно вообще говорить утверждения о элементых пустого множества. Это какой-то чисто формальный ход? Какой смысл таких высказываний?

Проблема в том, что вы забываете, что мы часто не знаем заранее, пустое множество или не пустое, и не знаем аналогично все свойства и других интересующих объектов. Запреты говорить об элементах пустого множества на этом фоне выгядят намного искусственнее, чем разрешение.

bayah в сообщении #1308982 писал(а):

А вот, например, это как? У "всех людей плавники красные" и у "всех людей плавники зеленые".
Тут известность существования людей и несущестование у них плавников делает эти высказывания ложными? Или не существование людей с плавниками делает их истиными?

Зависит от формализации. В самой простой формализации мы просто не должны полагаться на истинность некорректных высказываний. Например, если добавлять операцию деления к теории вещественных чисел, её придётся доопределить чем-то для нулевого делителя (тем же нулём для простоты). Это не значит, что мы должны сразу начинать пользоваться плодами такой формальности.

Бывают формализмы, более близкие к обычной математике по этой части, где выражения, а порой и высказывания, могут не иметь значения. В промежуточном случае высказывания, содержащие неопределённое выражение, считаются ложными.

[george66]

С точки зрения формальной логики ситуация такая. Когда мы строим интерпретацию (модель) какой-нибудь теории, мы прежде всего выбираем непустое множество-носитель. Если допускать пустой носитель, наша обычная логика не подходит. Например, на пустом носителе ложна формула
$\exists x (x = x)$
хотя она выводима в логике с равенством. Проблема обостряется для интуиционистских моделей (например, моделей Крипке), которые могут быть "не совсем пустыми, а частично" (пустыми в некоторые моменты времени, кто знаком с темой). Поэтому имеет смысл ослабить нашу обычную логику (даже интуиционистскую), чтобы формулы вроде
$\exists x (x = x)$
не выводились. Получается так называемая "свободная логика", есть много её вариантов, там можно брать пустой носитель.