2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.04.2018, 20:12 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3722
Бурашево
Pavia в сообщении #1300877 писал(а):
Теорема Котельникова говорит что она может восстановить гармонический сигнал. Она не применима не к гармоническим сигналам. Гармоничность у вас нарушена и это очевидно и применять вы её не в праве.
...
Но любой не гармонический сигнал можно приближёно описать гармоническим. Да можно.
Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.04.2018, 21:49 
Аватара пользователя


31/10/08
1136
profrotter
Вы вырвали мои слова из контекста. Без него они неверны.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение02.04.2018, 20:42 
Аватара пользователя


31/10/08
1136
Набрал отрывок из Основы математического анализа Фихтенгольца
Цитата:
$$f(x)=a_0+(a_1\cos x+b_1\sin x)+(a_2\cos 2x+b_2\sin 2x)+(a_3\cos 3x+b_3\sin 3x)+...+=$$
$$=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),(5)$$
397. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.
Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (5) для заданной функции $f(x)$, имеющей период $2\pi$, нужно исходить из определенного набора коэффициентов $a_0$, $a_1$, $b_1$, $b_2$,...
Мы укажем прием для определения их, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале
XIX века — Фурье.
Будем впредь предполагать функцию $f(x)$ непрерывной или кусочно-непрерывной в промежутке $[- \pi, \pi]$.

Допустим, что разложение (5) имеет место, и проинтегрируем его почленно от $-\pi$ до $\pi$; мы получим
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=2{\pi}a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[ {a_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx+b_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx} \right].$$

Но, как легко видеть,
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx=\Bigl.\frac{\sin nx}{n} \Bigr|_{-\pi}^{\pi} , (6.1)$$
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx=\Bigl.- \frac{\cos nx}{n} \Bigr|_{-\pi}^{\pi}, (6.2)$$

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем
$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx. (7)$$

Для того чтобы установить величину коэффициента $a_m$ умножим обе части равенства (5), которое мы все время предполагаем выполненным, на $\cos mx$ и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=a_0\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[ {a_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cos mx dx+b_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx} \right]$$
Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]dx=0, (8)$$
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cos mx dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x]dx=0, (9)$$
если $n\neq m$, и наконец,
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2 mx dx=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos 2mx}{2} dx=\pi. (10) $$

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент $a_m$. Отсюда этот коэффициент и определяется:
$$a_m=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx dx (m=1, 2, 3, ...). (11)$$

Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на $\sin mx$ и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:
$$b_m=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx (m=1, 2, 3, ...). (12)$$
При этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin mx dx=0, (13)$$
если $n\neq m$, и
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2 mx dx=\pi. (14)$$

Формулы (7), (11) и (12) известны под именем формул Эйлера — Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно и будем заниматься в настоящей главе.

Дадим теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, остается открытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых по примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна [п° 269]. Достаточным условием для ее применимости является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее:
если функция $f(x)$ разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5) *), то последний необходимо будет ее рядом Фурье.

*) Заметим, что равномерная сходимость сохранится и при умножении всех членов ряда на ограниченные функции $\cos mx, \sin mx$.


-- Пн апр 02, 2018 21:51:58 --

profrotter
Только заметил что вы выложили лекцию пойду изучать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение02.04.2018, 22:41 
Аватара пользователя


31/10/08
1136
profrotter
Посмотрел я ваши лекции. Ну что же, такое доказательство я не могу принять.

Цитата:
так как $T_{\text{п}}\ge\tau_u$ , при этом на интервале $\bigl[-\frac{T_{\text{п}}}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$
имеет место равенство $s(t)=s_{\text{п}}(t)$ .

Так как $s(t)$ ограничено $\tau_u$, то на вполне логично что данное равенство не наблюдается. На интервале $\bigl[\frac{\tau}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$ множество значений $s(t)  = \varnothing$, когда как $s_{\text{п}}(t) \neq \varnothing$ - оно вполне определено и подразумевается, что $s_{\text{п}}(t) = 0 $ ! Так как множества не равны, то и функции не равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение03.04.2018, 09:30 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3722
Бурашево
Pavia в сообщении #1301293 писал(а):
Так как $s(t)$ ограничено $\tau_u$, то на вполне логично что данное равенство не наблюдается. На интервале $\bigl[\frac{\tau}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$ множество значений $s(t)  = \varnothing$, когда как $s_{\text{п}}(t) \neq \varnothing$ - оно вполне определено и подразумевается, что $s_{\text{п}}(t) = 0 $ ! Так как множества не равны, то и функции не равны.
Это неверно. То, что сигнал имеет ограниченную длительность означает, что он просто равен нулю вне некоторого интервала времени величиной $\tau_{\text{и}}$, поскольку непериодические сигналы рассматриваются (определены) на бесконечном интервале времени. Не трудитесь опровергать общеизвестные факты. Они не зависят от того можете вы или нет принять их доказательство. Надеюсь вы меня извините и прекратите писать бред в мой адрес, если я предпочту просто ткнуть вас носом в учебник взамен каких-либо оправданий: Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986, раздел 2.16 "Теорема Котельникова в частотной области". Разумеется, такой раздел можно найти и в других учебниках, а для тех, кто знаком с теоремой Котельникова, существование теоремы Котельникова в частотной области просто очевидно, хотя бы в виду свойства симметрии преобразования Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение04.04.2018, 21:26 
Аватара пользователя


31/10/08
1136
Просто Вы не хотите принять очевидных вещей. На самом деле ошибка была заложена самим Котельниковым и кочует из учебника в учебник. А вот у тех кто работал с Найквистом она встречается реже.
profrotter в сообщении #1301363 писал(а):
Это неверно. То, что сигнал имеет ограниченную длительность означает, что он просто равен нулю вне некоторого интервала времени величиной $\tau_{\text{и}}$, поскольку непериодические сигналы рассматриваются (определены) на бесконечном интервале времени.

Это вы сами придумали себе определения придела. А у математиков оно дано точное и не соответствует вашему:

Цитата:
Определение предела последовательности. Упорядочение
значений переменной $x_n$ по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает понимание самого «процесса» приближения переменной $x_n$ — при безграничном возрастании $n$ — к ее пределу $a$.
Число $a$ называется пределом переменной $x_n$, если последняя отличается от $a$ сколь угодно мало, начиная с некоторого места, т. е. для всех достаточно больших номеров $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение05.04.2018, 00:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17936
Кронштадт
 ! 
Pavia в сообщении #1301651 писал(а):
Просто Вы не хотите принять очевидных вещей. На самом деле ошибка была заложена самим Котельниковым и кочует из учебника в учебник. А вот у тех кто работал с Найквистом она встречается реже.
Pavia, пожалуй, это сильное утверждение, которое стоит доказать. Изложите, пожалуйста, то, что Вы считаете ошибкой, а также доказательство того, что это утверждение ошибочно.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.05.2018, 14:16 


27/08/16
5362
profrotter в сообщении #1299737 писал(а):
который определяется по известной формуле $S_d(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{-j\omega nT}$. Если дописали к сигналу из $N$ отсчётов ещё $M$ нулевых отсчётов, то по факту это никак не изменяет верхний предел записанной суммы, поскольку суммировать нулевые слагаемые можно сколько угодно.
Вот только формула, которую вы написали - это не ДПФ. Дискретное Преобразование Фурье отображает конечное множество комплексных ортсчётов во временной области в конечное же множество комплексных отсчётов в частотной области. У вас же домен $\omega$ подразумевается существенно непрерывным, судя по вашему выражению и по тому, что вы пишете дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.05.2018, 16:13 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3722
Бурашево
А я что разве писал, что эта формула ДПФ? Там же ясно написано, аккурат в том самом месте, где вы оборвали начало моей цитаты:
profrotter в сообщении #1299737 писал(а):
Дополнение нулями исходного дискретного сигнала никак не влияет на его спектр, который определяется по известной формуле $S_d(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{-j\omega nT}$.
Извините, не совсем понял, чего вы хотели.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.05.2018, 16:27 


27/08/16
5362
profrotter в сообщении #1309126 писал(а):
Извините, не совсем понял, чего вы хотели.

Да, некоторое недоразумение, вызванное тем, что я пока что не могу найти в англоязычной литературе подобное использование понятие "spectrum". В Гоноровском, оказывается, на самом деле даётся такое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье
Сообщение01.05.2018, 17:23 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3722
Бурашево
Посмотрите Рабинер, Гоулд Теория и применение цифровой обработки сигналов. В русском переводе, например в разделе "Соотношение между непрерывными и дискретными системами".

Вообще "спектр" термин перегруженный. Касаемо ДПФ у нас принято говорить о дискретном спектре, но кратко - всё равно спектр.

Кстати, в этой же книге где-то посередине разжёван и вопрос, обсуждаемый в этой теме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Toucan, maxal, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group