1D прямая и обратная свертка с помощью преобразования Фурье

[profrotter]

Pavia в сообщении #1300877 писал(а):

Теорема Котельникова говорит что она может восстановить гармонический сигнал. Она не применима не к гармоническим сигналам. Гармоничность у вас нарушена и это очевидно и применять вы её не в праве.
...
Но любой не гармонический сигнал можно приближёно описать гармоническим. Да можно.

Это неверно.

[Pavia]

profrotter
Вы вырвали мои слова из контекста. Без него они неверны.

[Pavia]

Набрал отрывок из Основы математического анализа Фихтенгольца

Цитата:

$$f(x)=a_0+(a_1\cos x+b_1\sin x)+(a_2\cos 2x+b_2\sin 2x)+(a_3\cos 3x+b_3\sin 3x)+...+=$$

$$=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),(5)$$

397. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.
Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (5) для заданной функции $f(x)$, имеющей период $2\pi$, нужно исходить из определенного набора коэффициентов $a_0$, $a_1$, $b_1$, $b_2$,...
Мы укажем прием для определения их, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале
XIX века — Фурье.
Будем впредь предполагать функцию $f(x)$ непрерывной или кусочно-непрерывной в промежутке $[- \pi, \pi]$.

Допустим, что разложение (5) имеет место, и проинтегрируем его почленно от $-\pi$ до $\pi$; мы получим

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=2{\pi}a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[ {a_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx+b_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx} \right].$$

Но, как легко видеть,

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx=\Bigl.\frac{\sin nx}{n} \Bigr|_{-\pi}^{\pi} , (6.1)$$

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx=\Bigl.- \frac{\cos nx}{n} \Bigr|_{-\pi}^{\pi}, (6.2)$$

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем

$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx. (7)$$

Для того чтобы установить величину коэффициента $a_m$ умножим обе части равенства (5), которое мы все время предполагаем выполненным, на $\cos mx$ и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=a_0\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[ {a_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cos mx dx+b_n\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx} \right]$$

Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]dx=0, (8)$$

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cos mx dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x]dx=0, (9)$$

если $n\neq m$, и наконец,

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2 mx dx=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos 2mx}{2} dx=\pi. (10) $$

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент $a_m$. Отсюда этот коэффициент и определяется:

$$a_m=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx dx (m=1, 2, 3, ...). (11)$$

Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на $\sin mx$ и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:

$$b_m=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx dx (m=1, 2, 3, ...). (12)$$

При этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin nx \sin mx dx=0, (13)$$

если $n\neq m$, и

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2 mx dx=\pi. (14)$$

Формулы (7), (11) и (12) известны под именем формул Эйлера — Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно и будем заниматься в настоящей главе.

Дадим теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, остается открытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых по примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна [п° 269]. Достаточным условием для ее применимости является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее:
если функция $f(x)$ разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5) *), то последний необходимо будет ее рядом Фурье.

*) Заметим, что равномерная сходимость сохранится и при умножении всех членов ряда на ограниченные функции $\cos mx, \sin mx$.

-- Пн апр 02, 2018 21:51:58 --

profrotter
Только заметил что вы выложили лекцию пойду изучать.

[Pavia]

profrotter
Посмотрел я ваши лекции. Ну что же, такое доказательство я не могу принять.

Цитата:

так как $T_{\text{п}}\ge\tau_u$ , при этом на интервале $\bigl[-\frac{T_{\text{п}}}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$
имеет место равенство $s(t)=s_{\text{п}}(t)$ .

Так как $s(t)$ ограничено $\tau_u$, то на вполне логично что данное равенство не наблюдается. На интервале $\bigl[\frac{\tau}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$ множество значений $s(t) = \varnothing$, когда как $s_{\text{п}}(t) \neq \varnothing$ - оно вполне определено и подразумевается, что $s_{\text{п}}(t) = 0 $ ! Так как множества не равны, то и функции не равны.

[profrotter]

Pavia в сообщении #1301293 писал(а):

Так как $s(t)$ ограничено $\tau_u$, то на вполне логично что данное равенство не наблюдается. На интервале $\bigl[\frac{\tau}{2};\frac{T_{\text{п}}}{2}\bigr]$ множество значений $s(t) = \varnothing$, когда как $s_{\text{п}}(t) \neq \varnothing$ - оно вполне определено и подразумевается, что $s_{\text{п}}(t) = 0 $ ! Так как множества не равны, то и функции не равны.

Это неверно. То, что сигнал имеет ограниченную длительность означает, что он просто равен нулю вне некоторого интервала времени величиной $\tau_{\text{и}}$, поскольку непериодические сигналы рассматриваются (определены) на бесконечном интервале времени. Не трудитесь опровергать общеизвестные факты. Они не зависят от того можете вы или нет принять их доказательство. Надеюсь вы меня извините и прекратите писать бред в мой адрес, если я предпочту просто ткнуть вас носом в учебник взамен каких-либо оправданий: Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986, раздел 2.16 "Теорема Котельникова в частотной области". Разумеется, такой раздел можно найти и в других учебниках, а для тех, кто знаком с теоремой Котельникова, существование теоремы Котельникова в частотной области просто очевидно, хотя бы в виду свойства симметрии преобразования Фурье.

[Pavia]

Просто Вы не хотите принять очевидных вещей. На самом деле ошибка была заложена самим Котельниковым и кочует из учебника в учебник. А вот у тех кто работал с Найквистом она встречается реже.

profrotter в сообщении #1301363 писал(а):

Это неверно. То, что сигнал имеет ограниченную длительность означает, что он просто равен нулю вне некоторого интервала времени величиной $\tau_{\text{и}}$, поскольку непериодические сигналы рассматриваются (определены) на бесконечном интервале времени.

Это вы сами придумали себе определения придела. А у математиков оно дано точное и не соответствует вашему:

Цитата:

Определение предела последовательности. Упорядочение
значений переменной $x_n$ по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности (2) этих значений, облегчает понимание самого «процесса» приближения переменной $x_n$ — при безграничном возрастании $n$ — к ее пределу $a$.
Число $a$ называется пределом переменной $x_n$, если последняя отличается от $a$ сколь угодно мало, начиная с некоторого места, т. е. для всех достаточно больших номеров $n$.

[Pphantom]

Pavia в сообщении #1301651 писал(а):

Просто Вы не хотите принять очевидных вещей. На самом деле ошибка была заложена самим Котельниковым и кочует из учебника в учебник. А вот у тех кто работал с Найквистом она встречается реже.

Pavia, пожалуй, это сильное утверждение, которое стоит доказать. Изложите, пожалуйста, то, что Вы считаете ошибкой, а также доказательство того, что это утверждение ошибочно.

[realeugene]

profrotter в сообщении #1299737 писал(а):

который определяется по известной формуле $S_d(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{-j\omega nT}$. Если дописали к сигналу из $N$ отсчётов ещё $M$ нулевых отсчётов, то по факту это никак не изменяет верхний предел записанной суммы, поскольку суммировать нулевые слагаемые можно сколько угодно.

Вот только формула, которую вы написали - это не ДПФ. Дискретное Преобразование Фурье отображает конечное множество комплексных ортсчётов во временной области в конечное же множество комплексных отсчётов в частотной области. У вас же домен $\omega$ подразумевается существенно непрерывным, судя по вашему выражению и по тому, что вы пишете дальше.

[profrotter]

А я что разве писал, что эта формула ДПФ? Там же ясно написано, аккурат в том самом месте, где вы оборвали начало моей цитаты:

profrotter в сообщении #1299737 писал(а):

Дополнение нулями исходного дискретного сигнала никак не влияет на его спектр, который определяется по известной формуле $S_d(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{-j\omega nT}$.

Извините, не совсем понял, чего вы хотели.

[realeugene]

profrotter в сообщении #1309126 писал(а):

Извините, не совсем понял, чего вы хотели.

Да, некоторое недоразумение, вызванное тем, что я пока что не могу найти в англоязычной литературе подобное использование понятие "spectrum". В Гоноровском, оказывается, на самом деле даётся такое определение.

[profrotter]

Посмотрите Рабинер, Гоулд Теория и применение цифровой обработки сигналов. В русском переводе, например в разделе "Соотношение между непрерывными и дискретными системами".

Вообще "спектр" термин перегруженный. Касаемо ДПФ у нас принято говорить о дискретном спектре, но кратко - всё равно спектр.

Кстати, в этой же книге где-то посередине разжёван и вопрос, обсуждаемый в этой теме.