ограниченность операторов в гильбертовом пространстве

[Spook]

1.Встретил такой достаточный критерий ограниченности оператора $A$, $y=Ax$:
Пусть $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|\leqslant C,\sum\limits_{i=1}^{\infty}|a_{ij}|\leqslant C$. Тогда опеатор $A$, $y_i=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j$ ограничен в $l_2$ и его норма не превосходит $C$.
Хочу его доказать, но не получается. Есть мысль перейти к скалярному произведению: $(y,Ax)$, используя тот факт, что норма билинейной формы $B(y,x)=(y,Ax)$ совпадает с нормой оператора $A$. То есть, если $||x||=||y||=1$, то $||A||=sup|(y,Ax)|$. Поможет ли это здесь? Если да, то что нужно сделать дальше?

2.Аналогичную задачу для интегралов решил, правда опираясь на утверждение:
Для непрерывной функции $f(x,y)$ и для $-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty$:
$(\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|dx\leqslant C,\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|dy\leqslant C)\Rightarrow(\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|^2dxdy\leqslant C^2)$. Верно ли оно?

[Bard]

Это один из часто встречающихся тестов проверки ограниченности интегрального оператора в $ L_2$. В книге П. Халмош, В. Сандлер "Ограниченные интегральные операторы в пространствах $ L_2$ ", стр 33.
Книгу можно найти с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru.

[ewert]

Spook писал(а):

Для непрерывной функции $f(x,y)$ и для $-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty$:
$(\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|dx\leqslant C,\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|dy\leqslant C)\Rightarrow(\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{a}^{b}|f(x,y)|^2dxdy\leqslant C^2)$. Верно ли оно?

Это утверждение неверно, причём по довольно принципиальным причинам. Дело в том, что в правой части стоит норма Гильберта-Шмидта соотв. интегрального оператора. Операторы Гильберта-Шмидта компактны, причём суммы квадратов их сингулярных чисел ограничены. Однако произвольный ограниченный оператор вовсе не обязан быть компактным, тем более гильбертшмидтовским.

Простой контрпример: $f(x,y)={1\over2}e^{-|x-y|}$. Тогда $C=1$, но интеграл в правой части расходится. И совершенно правильно делает. Поскольку эта функция -- ядро резольвенты для оператора двукратного дифференцирования на оси, т.е $\left(-{d^2\over dx^2}+I\right)^{-1}$. Оператор $\left(-{d^2\over dx^2}\right)$ положителен и его спектр заполняет всю полуось; соответственно, резольвента ограничена и её спектр заполняет отрезок $[0;1]$. Т.е., в частности, она некомпактна.

А вообще-то это очень частный случай теоремы Рисса о выпуклости. Которая в укороченной формулировке гласит следующее.

Если оператор $A$ ограничен из $L_{p_0}$ в $L_{p_0}$ и ограничен из $L_{p_1}$ $L_{p_1}$, то он ограничен и из $L_{p_t}$ в $L_{p_t}$ при любом $p_t\in(p_0;p_1)$. При этом функция $\ln\Vert A\Vert_{L_{p_t}}$ выпукла по $t$, если этот параметр определяется соотношением ${1\over p_t}={1-t\over p_0}+{t\over p_1}$.

(В полной формулировке входные пространства могут отличаться от выходных).

"Логарифмическая выпуклость" означает, что выполняется неравенство $\Vert A\Vert_{L_{p_t}}\leqslant\Vert A\Vert_{L_{p_0}}^{1-t}\cdot\Vert A\Vert_{L_{p_1}}^t$. Если, в частности, $p_0=1$, $p_1=\infty$ и $p_t=2$ (т.е. $t={1\over2}$), то получается ровно то, что Вам нужно.

[Spook]

Bard, спасибо Вам за ссылку, книгу скачал, но если честно не совсем разобрался .

В одной разработке нашел вот такое док-во для сумм:
$|(y,Ax)|\leqslant \sum\limits_{i,j=1}^{\infty}|a_{ij}||\overline y_i||x_j|\leqslant \sum\limits_{i,j=1}^{\infty}|a_{ij}|\frac{|\overline y_i|^2+|x_j|^2}{2}\leqslant\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{\infty}|y_{i}|^2\sum\limits_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|+\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|x_{j}|^2\sum\limits_{i=1}^{\infty}|a_{ij}|\leqslant C.$ Но здесь, в свою очередь, непонятен самый первый переход и как его вообще провели.

ewert, спасибо Вам за доказательство, попытаюсь разобраться. Кстати, что у Вас означает $I$?

И еще такой вопрос. А можно ли здесь вообще, зная док-во для интегралов, утверждать, что для сумм тогда уж оно тем более выполняется? Ведь интеграл это по сути предел суммы. Или всё же надо проводить два доказательства?

[AD]

Spook писал(а):

А можно ли здесь вообще, зная док-во для интегралов, утверждать, что для сумм тогда уж оно тем более выполняется? Ведь интеграл это по сути предел суммы. Или всё же надо проводить два доказательства?

Сумма - это интеграл Лебега по "считающей" мере

[Bard]

Spook
Первый переход, в приведённых Вами выкладках, основан на том, что модуль суммы не превосходит суммы модулей. Ваши выкладки дают оценку билинейной формы оператора A, из которой следует оценка для нормы оператора. Учтите, что в Ваших выкладках векторы x и y нормированы.

[Spook]

AD писал(а):

Сумма - это интеграл Лебега по "считающей" мере

Это естественно так, только вот в этом случае предельная сумма просто более точная, но суть таже сумма, на которую даны условия. Хотя мб я зря полагаюсь тут на интуитивное сходство.

Bard писал(а):

Spook
Первый переход, в приведённых Вами выкладках, основан на том, что модуль суммы не превосходит суммы модулей.

Я просто испытываю затруднения, как записать то скалярное произведение в нужной форме . И что за $y$ с черточкой?

Bard писал(а):

Учтите, что в Ваших выкладках векторы x и y нормированы.

Интересно, а можно обойти это ограничение?

[Bard]

Spook
Попробую ответить на Ваши вопросы, возможно, в обратном порядке.
1. Черта над буквой обозначает действие сопряжения. Посмотрите определение скалярного произведения в комплексном гильбертовом пространстве.
2. Нормированность элементов x и y обходить не надо. Если Вы доказали неравенство

\[ \left| {\left( {Ax,y} \right)} \right| \le C \]

для нормированных векторов
то из него, в силу линейности, следует неравенство

\[ \left| {\left( {Ax,y} \right)} \right| \le C\left\| x \right\|\left\| y \right\| \]

для ненормированных векторов.
3. AD говорил о том, что сумму можно рассматривать как интеграл по дискретной мере. Поэтому доказательства, написанные для интегралов проходят и для сумм (и наоборот).

[ewert]

Spook писал(а):

Кстати, что у Вас означает $I$?

$I$ у меня обозначает единичный, т.е. тождественный оператор. Некоторые злобствующие литераторы то же самое зачем-то предпочитают обозначать буквой $E$.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Некоторые злобствующие литераторы то же самое зачем-то предпочитают обозначать буквой $E$.

Каждый день узнаю про себя что-то новое

[AD]

ewert писал(а):

Некоторые злобствующие литераторы то же самое зачем-то предпочитают обозначать буквой $E$.

Мне больше нравится $\mathbf{1}$. На письме - единичка с двойной палочкой. Кстати, как ее в $\TeX$-е написать двойную, в стиле mathbb?

[ewert]

AD писал(а):

Мне больше нравится $\mathbf{1}$. На письме - единичка с двойной палочкой. Кстати, как ее в $\TeX$-е написать двойную, в стиле mathbb?

Мне и простую-то единичку лень писать, и очень часто вместо $(A-\lambda I)$ использую вульгарное $(A-\lambda)$. Мол, по умолчанию, ребята. А уж пририсовывать туда ещё и двойную ножку -- увольте...

[Spook]

Bard писал(а):

Черта над буквой обозначает действие сопряжения. Посмотрите определение скалярного произведения в комплексном гильбертовом пространстве.

Точно, это так. Я просто подумал, что это какой-либо элемент пространства.

Bard писал(а):

доказательства, написанные для интегралов проходят и для сумм (и наоборот).

Имеется ввиду алгоритм? А верно ли, что если $K$ - интегральный оператор в $L_2$, c непрерывным ядром, и $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|K(t,\tau)|d\tau\leqslant C$, $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|K(t,\tau)|dt\leqslant C$, то норма оператора $A$, заданного матрицей $y_i=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j$, тоже не превосходит $C$, и обратно, из ограниченности сумм константой, следует ограниченность интегрального оператора той же константой?

Про обозначения. У нас, например, в курсе дискретной математике было так: $E$ - единичная матрица (оператор и т.д.), а $I$ - универсальное множество, то есть $A+\overline A=I$, а в функциональном анализе $I$ - это тождественный (единичный) оператор.

[ewert]

Spook писал(а):

Bard писал(а):

Черта над буквой обозначает действие сопряжения. Посмотрите определение скалярного произведения в комплексном гильбертовом пространстве.

Точно, это так. Я просто подумал, что это какой-либо элемент пространства.

Bard писал(а):

доказательства, написанные для интегралов проходят и для сумм (и наоборот).

Имеется ввиду алгоритм? А верно ли, что если $K$ - интегральный оператор в $L_2$, c непрерывным ядром, и $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|K(t,\tau)|d\tau\leqslant C$, $\int\limits_{-\infty}^{\infty}|K(t,\tau)|dt\leqslant C$, то норма оператора $A$, заданного матрицей $y_i=\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{ij}x_j$, тоже не превосходит $C$, и обратно, из ограниченности сумм константой, следует ограниченность интегрального оператора той же константой?

Не следует -- матрица с оператором никак не связаны. Ладно, будем считать это шуткой.

Bard, на мой взгляд, имел в виду примерно следующее. Если утверждение верно для функциональных пр-в, то оно верно и для пр-в последовательностей -- т.к. $l_p$ есть частный случай пространств $L_p$, когда интегрирование ведётся по соответствующей дискретной мере. Обратное, формально говоря, неверно, но доказательства любых интегральных неравенств так или иначе основываются на аналогичных неравенствах для дискретных наборов.

[Spook]

ewert писал(а):

Не следует -- матрица с оператором никак не связаны. Ладно, будем считать это шуткой.

Эээ..(чешу затылок), что считать? И кстати, оператор вроде как задается матрицей (может быть и бесконечной).

ewert писал(а):

Bard, на мой взгляд, имел в виду примерно следующее. Если утверждение верно для функциональных пр-в, то оно верно и для пр-в последовательностей -- т.к. $l_p$ есть частный случай пространств $L_p$, когда интегрирование ведётся по соответствующей дискретной мере. Обратное, формально говоря, неверно, но доказательства любых интегральных неравенств так или иначе основываются на аналогичных неравенствах для дискретных наборов.

Я ничего не понял И что вообще за объек дискретный набор? Откуда он взялся?
Впрочем с доказательствами я вроде бы разобрался. Алгоритм у них полностью одинаковый. Чего я сразу не вспомнил, так это того, что $(y,Ax)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\overline y_k a_{ij}x_k $. Для интегралов будет $(f(t),Kg(t))=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\overline f(t) K(t,\tau)g(t)d\tau$.