2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Скаляреное произведение
Сообщение06.07.2008, 07:37 
Spook
Скалярное произведение в пространстве \[
L_2 \left( {\left( {a,b} \right);d\mu } \right)
\]
измеримых по мере \[
{d\mu }
\] функций, заданных на промежутке \[
{\left( {a,b} \right)}
\], определяется равенством
\[
\left( {f,g} \right) = \int\limits_a^b {f(x)\,\overline {g(x)\,} d\mu (x)} 
\].
Обозначения связанные с мерой варьируются. Пусть мера дискретная. Например, носитель расположен в точках \[
1,2, \ldots ,n
\] с единичными массами. Тогда перд нами обычное произведение в пространстве векторов \[
C^n 
\]
\[
\left( {f,g} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {f_k \overline {g_k } } 
\].
В связи с этим Ваши формулы следует исправить следующим образом
\[
\left( {Ax,y} \right) = \sum\limits_{j,k = 1}^n {a_{jk} x_k \overline {y_j } } 
\]
и
\[
\left( {Kg,f} \right) = \int\limits_a^b {\int\limits_a^b {K(t,\tau )g(\tau )\overline {f(t)} \,d\tau dt} } 
\].

 
 
 
 
Сообщение06.07.2008, 17:42 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
ewert писал(а):
Bard, на мой взгляд, имел в виду примерно следующее. Если утверждение верно для функциональных пр-в, то оно верно и для пр-в последовательностей -- т.к. $l_p$ есть частный случай пространств $L_p$, когда интегрирование ведётся по соответствующей дискретной мере. Обратное, формально говоря, неверно, но доказательства любых интегральных неравенств так или иначе основываются на аналогичных неравенствах для дискретных наборов.
Я ничего не понял :(

Вроде всё понял :).

Bard, в формулах у меня действительно были ошибки :( .
Пока еще не понял вот чего. Как представить этот "частный случай". То есть, вот работаем мы в $L_p$. Не могу перейти к дискретной мере от клеток (кубиков и т.д.), мера же
Bard писал(а):
носитель расположен в точках \[
1,2, \ldots ,n
\] с единичными массами.
точек равна нулю. То есть мы абстрагируемся от меры множества и наделяем некоторые точки весами?

 
 
 
 Мера
Сообщение06.07.2008, 19:11 
Spook
Я понял. Вы всё время думаете о мере Лебега. Но есть другие меры, другие интегралы. Например, интеграл Стилтьеса. Если обозначить через \[
\chi (x)
\] функцию Хевисайда (единичный скачок в точке 0) и ввести функцию
\[
F(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\chi (x - k)} 
\],
то для интеграла Стилтьеса от непрерывной функции \[
{f(x)}
\] верно равенство
\[
\int\limits_{ - \infty }^\infty  {f(x)dF(x)}  = \sum\limits_{k = 1}^n {f(k)} 
\]..

 
 
 
 
Сообщение06.07.2008, 19:25 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
Пока еще не понял вот чего. Как представить этот "частный случай".

Вот смотрите. Пусть $X=\mathbb N$, $\mathcal F=2^X$ (все подмножества), $\mu(A)=\mathop{\mathrm{card}}(A)$ (мощность $A\in\mathcal F$). Тогда $(X,\mathcal F,\mu)$ - $\sigma$-конечное измеримое пространство, $L^p(X,\mu)=l^p$. Или вопрос был не в этом?

 
 
 
 
Сообщение09.07.2008, 19:43 
Аватара пользователя
Bard, RIP, спасибо вам.
Bard писал(а):
Я понял. Вы всё время думаете о мере Лебега. Но есть другие меры, другие интегралы. Например, интеграл Стилтьеса.
На самом деле я об интеграле Стилтьеса только слышал, в программе у нас его нет :( Но то, что только на Лебеге зацикливаться не надо, уже понимаю.
RIP писал(а):
Вот смотрите. Пусть $X=\mathbb N$, $\mathcal F=2^X$ (все подмножества), $\mu(A)=\mathop{\mathrm{card}}(A)$ (мощность $A\in\mathcal F$). Тогда $(X,\mathcal F,\mu)$ - $\sigma$-конечное измеримое пространство, $L^p(X,\mu)=l^p$. Или вопрос был не в этом?

Вроде в этом :). Кстати, интуитивно я понимал, что одно - частный случай другого, но теперь убедился математически.
Bard писал(а):
...\[
\int\limits_{ - \infty }^\infty  {f(x)dF(x)}  = \sum\limits_{k = 1}^n {f(k)} 
\]..

RIP писал(а):
...$L^p(X,\mu)=l^p$

Теперь я понял, про что была речь и почему так.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group