Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

[Key27]

Someone
Сходится, можно сравнить с гармоническим рядом. При $p>0$

[Otta]

Key27
Вот и сравните аккуратно. Оформление у Вас, конечно...

[ewert]

Key27 в сообщении #1306774 писал(а):

Для начала нужно проверить на абсолютную сходимость? Тогда берем модуль и видим, что первый ряд будет сходиться при $p>2$, а второй при $p>1$, тогда наш ряд сходится абсолютно при $p>2$

Совершенно напрасно видим. Точнее, смотрим. Сходимость/расходимость ряда из модулей тривиально получаются тупо сравнением с корнем, т.е. отбрасыванием второго слагаемого в знаменателе.

Для условной сходимости раскладывать тоже лучше не исходное выражение. Ряд всё-таки знакочередующийся, поэтому надо просто сгруппировать члены попарно:

$$\frac1{(\sqrt{n}+1)^p}-\frac1{(\sqrt{n+1}-1)^p}\sim\frac1{\sqrt{n^p}}\left(1-\left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+1}-1}\right)^p\right)=\frac1{\sqrt{n^p}}\left(1-\left(\frac{1+\frac1{\sqrt{n}}}{\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt{n}}}\right)^p\right),$$

, и самая последняя дробь довольно-таки откровенно ведёт себя как единица плюс два на корень из эн.