Избавление от производных и релятивистская масса

[Descartes]

Здравствуйте! У Фейнмана (ФЛФ глава 15 параграф 9), в процессе доказательства релятивисткой массы, появляется такая запись: " $d(mc^2)/dt = v \cdot d(mv)/dt$ Мы хотим решить это уравнение относительно $m$. Для этого помножим обе части на $2m$. Уравнение обратиться в $c^2(2m) dm/dt = 2mv d(mv)/dt$. Теперь нам нужно избавиться от производных, т.е. проинтегрировать обе части равенства. В величине $(2m) dm/dt$ можно узнать производную по времени от $m^2$, а в $(2mv) \cdot d(mv)/dt$ - производную по времени от $(mv)^2$". После этих операций он получает $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$, что мне совершенно не понятно. Прошу объяснить, как получился этот конечный результат.
P.S: "В величине $(2m) dm/dt$ можно узнать производную по времени от $m^2$, а в $(2mv) \cdot d(mv)/dt$ - производную по времени от $(mv)^2$" - скорее всего суть в этом, но я не узнаю производные

[Pphantom]

Descartes в сообщении #1308397 писал(а):

P.S: "В величине $(2m) dm/dt$ можно узнать производную по времени от $m^2$, а в $(2mv) \cdot d(mv)/dt$ - производную по времени от $(mv)^2$" - скорее всего суть в этом, но я не узнаю производные

Раскройте $\frac{d(m^2)}{dt}$ и $\frac{d((m v)^2)}{dt}$ соответственно, увидите.

Хотя, честно говоря, этот параграф проще пропустить, ибо он устарел.

[Munin]

Рассказ о "релятивистской массе" не красит Фейнмана. В лекциях для более продвинутых слушателей (например, Квантовая электродинамика) он чётко придерживается нормальной терминологии: масса $m=\mathrm{const}.$ Однако в курсе, который потом был издан как Фейнмановские лекции по физике, он почему-то рассказал про "релятивистскую массу", в дань традиции.

Впрочем, эта традиция была широко распространена и вокруг него. Я полагаю, только со статей Окуня началась очистка преподавания от этого неудачного "двоемыслия", путающего студентов.

[Descartes]

Pphantom в сообщении #1308404 писал(а):

Descartes в сообщении #1308397 писал(а):

P.S: "В величине $(2m) dm/dt$ можно узнать производную по времени от $m^2$, а в $(2mv) \cdot d(mv)/dt$ - производную по времени от $(mv)^2$" - скорее всего суть в этом, но я не узнаю производные

Раскройте $\frac{d(m^2)}{dt}$ и $\frac{d((m v)^2)}{dt}$ соответственно, увидите.

Хотя, честно говоря, этот параграф проще пропустить, ибо он устарел.

Хорошо, мы раскроем и все вроде хорошо, но куда делись $dm/dt$ и $d(mv)/dt$? Ведь интегрируя эти члены, мы получим $m$ и $mv$, а в ответе их нет. Прошу пояснить это

[Pphantom]

Descartes в сообщении #1308435 писал(а):

Хорошо, мы раскроем и все вроде хорошо, но куда делись $dm/dt$ и $d(mv)/dt$?

Вы преобразуете обе части равенства, представляя каждую из них как производную по времени от какой-то функции. Соответственно, интегрировать именно эти члены Вам уже не придется.

[Descartes]

Pphantom в сообщении #1308442 писал(а):

Descartes в сообщении #1308435 писал(а):

Хорошо, мы раскроем и все вроде хорошо, но куда делись $dm/dt$ и $d(mv)/dt$?

Вы преобразуете обе части равенства, представляя каждую из них как производную по времени от какой-то функции. Соответственно, интегрировать именно эти члены Вам уже не придется.

Но почему тогда этих членов нет в конечном варианте равенства $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$ ?

[Pphantom]

Descartes в сообщении #1308451 писал(а):

Но почему тогда этих членов нет в конечном варианте равенства $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$ ?

А почему они должны там быть?

В связи с этим вопрос. У Вас как дела с основами матанализа?

[Descartes]

Pphantom в сообщении #1308470 писал(а):

Descartes в сообщении #1308451 писал(а):

Но почему тогда этих членов нет в конечном варианте равенства $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$ ?

А почему они должны там быть?

В связи с этим вопрос. У Вас как дела с основами матанализа?

Если бы я именно знал матанализ, то не думаю что я мучился с этим равенством. То есть, исходя из вашего ответа, равенство $c^2(2m) dm/dt = 2mv d(mv)/dt$ равносильно равенству $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$, я ничего не перепутал? Но ведь если мы представляем каждую часть как производную от какой-то функции (находим первообразную, кажется так), то слева у нас получится $c^2m^2dm/dt$, а справа $(mv)^2d(mv)/dt$. Интегрируя это, мы получим (в моей версии, я знаю что ответ, представленный в учебнике, верный) $с^2m^2m = m^2v^2mv$

[Pphantom]

Descartes в сообщении #1308475 писал(а):

Если бы я именно знал матанализ, то не думаю что я мучился с этим равенством.

Логично. Может быть, тогда с него и начать?

Descartes в сообщении #1308475 писал(а):

То есть, исходя из вашего ответа, равенство $c^2(2m) dm/dt = 2mv d(mv)/dt$ равносильно равенству $c^2 d(m)^2/dt = d(m^2v^2)/dt$, я ничего не перепутал?

Да.

Descartes в сообщении #1308475 писал(а):

Но ведь если мы представляем каждую часть как производную от какой-то функции (находим первообразную, кажется так), то слева у нас получится $c^2m^2dm/dt$, а справа $(mv)^2d(mv)/dt$.

А вот это полная чушь.