Доказательство континуум гипотезы

[eugensk]

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

в книге Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза» понятнее написано

Главное, что там написано правильно. Напоминает историю с гросс-единицей и Сергеевым. Он решил тоже разрешить все якобы кажущиеся сложности простым и очевидным для себя образом, будучи совсем не в теме. Кончилось большим конфузом.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Положим $\infty = 1+1+1 \dots$
Тогда $2^{\infty } = 2^{(1+1+1 \dots )} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \dots = \prod\limits_{i=1}^{\infty} 2.$

Я не знаю, что это значит.
Я знаю, что значит например $42+100500+19$ (причем это может означать несколько разных вещей, т.к. $42$ в разных контекстах может обозначать натуральное, вещественное, комплексное или еще какое-нибудь число). Я знаю, что такое $\sum_{i=0}^n x_i$ для произвольных натуральных / вещественных / ... $x_i$. Я даже знаю, что такое $\sum_{i=0}^\infty x_i$ при условиии что существует (конечный) предел $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n x_i$. Что такое $\sum_{i=0}^\infty 1$ - я не знаю. Аналогично с произведением.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Можно перейти на язык кардиналов, заменив символ $\infty$ на $\aleph_0$, а символ $2^{\infty }$ на $\aleph_1$, то есть перейти на язык кардинальных чисел.

Нельзя. $2^{\aleph_0}$ и $\aleph_1$ имеют четкие определения, и утверждение $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ - и есть континуум-гипотеза. Пока ее не доказали (не договорились об использовании теории, где она доказуеме), такой переход делать нельзя.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Так вот я утверждаю, что $\mathbb N = \{ 1, 2, 3 \dots \aleph_0 \}$, то есть кардинальное число $\aleph_0$ принадлежит $\mathbb N$, оно же составляет его мощность.

Я могу легко это опровергнуть. По определению, $\mathbb{N}$ - это наименьшее индуктивное множество. Ваше множество не является индуктивным, т.к. содержит $\aleph_0$, но не содержит $\aleph_0 + 1$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Это определение 200-летней давности.

Вроде поменьше, но неважно. С тех пор ничего принципиально в этой части не изменилось.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Величина $1/2^{\infty}$ определяется как величина, получаемая бесконечным делением пополам некоторой единичной длины.

Что такое "бесконечное деление пополам"? Предел $\frac{1}{2^n}$? Он равен $0$. Если "бесконечное деление пополам" определяется как-то иначе - приведите определение.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Положим $\varepsilon = 1/2^{\infty}$ (в определении сказано о любом $\varepsilon$).

Не положим. В определении сказано о любом $\varepsilon$ из $\mathbb{R}$. Возьмем скажем определение вещественных чисел как сечений рациональных (без максимального элемента). Принадлежат ли вашему $\frac{1}{2^\infty}$ рациональные числа $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{-1}{2}$?

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Равно числа $0,1$ и $0,0111 \dots$ в абсолютной точности не равны, а уже хотя бы банально различаются по записи.

Числа - это не записи. В зависимости от деталей определения, строки $0.1$ и $0.0(1)$ либо разные способы обозначить одно и то же число, либо одна из них вообще не обозначает никакого числа.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

P. S. Рекомендуемую вами книгу Н. К. Верещагин, А. Шень «Начала теории множеств» я штудировал относительно кардиналов, оттуда-то я и понял, что $0,111 \dots$ не равно 1, и даже написал автору, на что автор ответил, что это в силу определения предела по Коши.

Ну вот вы ее явно плохо читали.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

стоит различать бесконечно большие и бесконечное

Кто это писал? Разбирающиеся люди могли писать, что надо различать "сколь угодно большие" и "бесконечные".

В общем у вас через весь текст одна методологическая ошибка - использование неопределенных понятий, и несколько семантических - непонимание, что такое кардиналы, натуральные числа, конечность множества и т.д. Читайте учебники, решайте задачки, будет что-то непонятно - задавайте вопросы в ПРР. А писать длинные тексты, претендующие на переворот, не зная базовых определений - так себе идея.

[Alexeev_Andrey]

Someone в сообщении #1277808 писал(а):

Совершенно верно: различных кардиналов так много, что их невозможно собрать в одно множество.

Здесь я с Вами соглашусь, но отчасти (выше я ошибся, предполагая существование бесконечно удаленного кардинала в цепочке Кантора, которому могла быть равна сумма всех этих кардиналов). Множества кардиналов не существует, но не потому, что их собрать невозможно, а потому, что у них нет максимального кардинала.
Ибо если множество всех кардиналов существовало бы, то мы бы взяли их сумму, от полученного суммарного кардинала взяли бы множество подмножеств, получили бы еще больший кардинал, который в данное множество не попадает. Кстати, так же парадокс Бурали Форти основан на том, что в множестве ординалов нет максимального.
Но вот теперь встает вопрос, когда перестает существовать множество кардиналов и почему? Цепочку Кантора (как взятие множеств подмножеств) мы строим до бесконечности. Рассмотрим все кардиналы в цепочке Кантора, которые мы будем нумеровать натуральными числами, прямо как алефы, $\aleph_k$, $k \in \mathbb N$. Предположим, что это множество существует. Тогда рассмотрим сумму по данным кардиналам, $\sum \aleph_i = K$, где в силу существования множества данных кардиналов суммарный кардинал также существует, а поскольку сумма состоит только из кардиналов, входящих в данное множество, то она необходима равна максимальному кардиналу (ибо мы рассматриваем не более чем счетное число кардиналов строго нумерованным по конечным числам и сумма бесконечных кардиналов равна максимуму из них), но такового не существует (да и в случае существования мы могли бы взять множество подмножеств от него и получить еще больший кардинал). Полученное противоречие показывает, что уже не существует множества всех кардиналов в цепочке Кантора.
Так в чем же отличие? Почему множество натуральных чисел существует, а соответствующее ему множество кардиналов в цепочке Кантора нет?

Утверждение. Теорема. Множества всех конечных чисел без счетной $\infty$-ти не существует (еще одно док-во, что $\infty \in \mathbb N$). Док-во. Действительно, если $\infty \notin \mathbb N$ и множество $\mathbb N$ существует, состоя только из конечных чисел, то мы можем занумеровать все кардиналы (алефы) в цепочке Кантора как $\aleph_i$, где i – строго конечное натуральное число, а тогда вместе с существованием множества всех конечных чисел без $\infty$ -ти существует и множество кардиналов в строго возрастающей цепочке Кантора (то есть алефов). А тогда существует и сумма всех этих кардиналов, $\sum \aleph_i = K$, как кардинал. Но в силу того, что сумма состоит только из возрастающих кардиналов, она необходима равна максимальному кардиналу в данной цепочке, но такого кардинала не существует, а значит не существует и суммы. А потому необходимо $\infty \in \mathbb N$ и $\mathbb N$ не может существовать, состоя только из конечных чисел.
Сама же счетная бесконечность существует (и без аксиомы существования) в силу того, что натуральных чисел не конечно число, а бесконечное число.
Отметим, что $\infty$-ти не может соответствовать кардинал в цепочке Кантора $\aleph_{\infty} = \aleph_{\aleph_0}$, так как $\infty = \aleph_0 = \aleph_0 + 1 = \infty + 1$. А $\aleph_{\infty + 1} \ne \aleph_{\infty}$. Вот здесь-то и происходит качественное различие между существованием множества натуральных чисел $\mathbb N$ непротиворечивым образом, которое имеет максимальный элемент в качестве $\infty$, и не существованием множества кардиналов в цепочке Кантора, которое не имеет подобного элемента. Это согласуется с тем, что для каждого конечного натурального числа $k+1 > k$, а для $\infty$-ти: $\infty = \infty + 1$.
То есть, если изначально предположить, что $\mathbb N = \{0, 1, 2 \dots \infty \}$ имеет максимальный элемент $\infty$, то тогда ему бы соответствовал максимальный кардинал в цепочке Кантора $\aleph_{\infty} = \aleph_{\aleph_0}$, с таким свойством, что $\aleph_{\infty + 1} = \aleph_{\infty}$, но это невозможно в силу теоремы Кантора.
А теперь, если мы рассмотрим сумму $\sum\limits_{k=0}^{\infty} = \infty$, где k – конечные натуральные числа, то получим в сумме $\infty$-ть. И видим нечто похожее, о чем говорилось выше, а именно, что максимальный элемент равен $\infty$-ти и принадлежит $\mathbb N$. Но здесь для доказательства сего факта вышеизложенные аргументы не проходят (например, сумма $\sum\limits_{k=0}^{\infty} 1$ также равна $\infty$-ти,) в силу того, что для двух конечных кардиналов их сумма дает больший кардинал, а для бесконечных кардиналов их сумма является максимальным кардиналом из рассматриваемых (не более счетного числа).

Теорема. Более обще, если множество, составленное из кардиналов (что являются сравнимыми по величине), существует, то оно необходимо имеет максимальный элемент (а если максимального нет, то оно не существует как множество). Для конечных множеств это верно. Для счетного бесконечного, содержащего максимальный элемент $\infty$, верно. Если множество содержит конечное число бесконечных кардиналов, то тоже верно. Множества же строго возрастающего бесконечного числа кардиналов не существует, ибо у них нет максимума (в противном случае их сумма равнялась бы максимуму).
Нечто похожее (цитирую): «Каждое множество ординалов обладает супремумом, который представляет собой ординал, равный объединению всех порядковых чисел, содержащихся в данном множестве. В силу аксиомы объединения такой ординал существует всегда, независимо от размера исходного множества.»

Построение цепочки кардиналов через один шаг все же счетная операция. Множества всех кардиналов не существует, потому что нет максимального кардинала в цепочке Кантора, но кардиналов получается все равно не более, чем счетное число.

(на мое утверждение, что число кардиналов не более чем счетно)

Someone в сообщении #1277808 писал(а):

У Вас воображения не хватает.

Просьба привести хотя бы один конкретный пример (хотя бы из Вашего воображения), выходящий за рамки множеств в цепочке Кантора (когда последовательно берутся множества подмножеств).
К большим кардиналам. Если нечто определять аксиоматически, то следуя тому, что аксиомы не берутся из ниоткуда, хорошо бы иметь хотя бы один конкретный объект, удовлетворяющий вводимым аксиомам-определениям.
А то так можно и «гномов» аксиоматически ввести в мир математики. На что вы скажете, что из того, что «гномов» никто не видел, еще не следует, что их не существует. А я отвечу, что ваша аксиоматика «гномов» противоречит определению существа «гномов». Параллель здесь в том, что «гномы» - большие кардиналы, а существо «гномов» - определение понятия «множества», в котором говорится, что множество именно состоит, то есть составлено, сложено из своих элементов, то есть, что конструктивизм присущ понятию множества вообще. Вот я и составляю, начиная со сложения, которое естественным образом переходит в умножение, переходя в степень, которая в свою очередь порождает цепочку Кантора. Иначе так можно мнительно предполагать и какие-то множества по мощности между натуральными числами (Лузин, к примеру, в шутку полагал аксиоматически 17 кардиналов между счетным кардиналом и континуумом, теперь мы видим, что это совершенно неправомерно).
Обще учитывая то, что все развивается от простого к сложному, тем более кажется странным иметь некую сложную (в данном случае сложенную из 1-ц, элементов, - даже слова здесь одни и те же, - сложная и сложенная!) конструкцию, которая не состоит, не складывается из простых частей, как недостижимый кардинал. (Если мы рассмотрим произвольное непустое множество, то от него можно отщипнуть один элемент, чтобы убедиться, что оно именно составлено из элементов как 1-ц, ну это верно по определению).
То есть по определению понятия множества большой кардинал состоит, составлен, сложен из 1-ц, элементов, но его по определению большого кардинала не составить, не сложить из 1-ц, элементов. Что противоречиво само по себе. То есть определение большого кардинала противоречит определению понятия множества. Поэтому никаких больших кардиналов не существует.
Так что я жду хотя бы одного конкретного примера, выходящего за рамки множеств в цепочке Кантора. Проверим Ваше вежество специалиста (звучит как обращение).

Someone в сообщении #1277808 писал(а):

Агрессивное невежество. Убедить специалистов Вы не сможете

Таких, как вы, конечно.
Вы не приводите ни одного действенного аргумента своим голословным утверждениям. 0. Это не достойно «специалиста».
Да, и говорите только за себя. Имейте привычку говорить за себя. А не от лица каких-то (мифических) сообществ. Тем более, что вас никто не уполномочивал. Ваши же оценочные нелепые ярлыки мне не интересны. Я сам могу вам тележку ярлыков навесить.

Кстати, говоря о «специалистах», у меня есть официальное подтверждение (государственный красный диплом), что я являюсь «специалистом» по специальности «чистая математика» (01) (и я, по крайней мере, себя убедил; если можете, переубедите аргументированно по существу, укажите на ошибки, в противоборстве рождается истина). Правда, мне приходится что-то освежать в памяти, изучать, но это не страшно. И одной из моих любимых специализаций в свое время были олимпиадные задачи. Оформление же всегда было моим слабым местом, на что пеняли преподаватели (в данном случая я в начале топика исходил из аксиоматики Цермело-Френкеля, а потом доказываю гипотезу континуума, делая утверждения и доказывая их, иногда по ходу не употребляя слова «теорема», «лемма»).
Надеюсь, у вас хотя бы для начала базово диплом мех-мата МГУ по специальности «чистая математика» абсолютно красный, на одни 5-ки. Потом уже идут ученые степени, годы преподавания… одного и того же, в чем можно «закоснеть».
Вы писали, что являетесь «топологом» и, наверное, плохо себе представляете топологию без открытых множеств. Понимаю. Время нас рассудит. Я не собираюсь бороться с чьей-либо «косностью», «инертностью», «догматичностью». Истина (тем более, математическая) – упрямая вещь (поупрямее некоторых мнений), она не зависит от чьих либо желаний. Если в человеческом мире она что-либо стоит, то она в конце концов восторжествует. Мы всего лишь освещаем математические истины, а не создаем их. (Возможно и я в чем-то ошибаюсь, тем более, я исправляю свои прежние ошибки).

О «невежестве» могу процитировать Эйнштейна (кстати, теория относительности которого очень похожа на представления об относительности аксиоматик Гёделя и Коэна, причем Эйнштейн и Гёдель были приятелями-релятивистами, я же выступаю на позициях абсолютизма математических истин, учитывая и относительное разнообразие геометрий):
«Только те, кто предпринимают абсурдные попытки, смогут достичь невозможного.
Все знают, что это невозможно. Но вот приходит невежда, которому это неизвестно — он-то и делает открытие.
Воображение важнее, чем знания. Знания ограничены, тогда как воображение охватывает целый мир, стимулируя прогресс, порождая эволюцию.
Ты никогда не решишь проблему, если будешь думать так же, как те, кто ее создал.
Чтобы покарать меня за отвращение к авторитетам, судьба сделала авторитетом меня самого.»

О теориях Коэна, Гёделя (и Эйнштейна) могу процитировать Кантора (это относится и к вам, ибо вы сейчас демонстрируете-представляете как раз то самое невежество, о котором говорит Кантор, при этом вы, видимо, считаете себя каким-то супер-«знатоком», но я даже не буду приводить мнений на этот счет, что о таких думают): «Математик Георг Кантор говорил о законе сохранения невежества. Не так-то легко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли, и оно получило достаточно широкое распространение, причем, чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются.»

Меня интересуют только аргументы. Вы же приводите короткие отрицательные положения (строить короткие отрицательные предложения, тем более и так знакомые, много ума не надо), но не приводите ни одного действенного аргумента, обоснования на их счет (кроме «так не обозначается», «так определяется» - это из области догматики*, включая определение предела Коши). Нет аргументов, не пишите. Если есть аргументы, приводите.

*«догма или догмат — основное положение какого-либо учения, принимаемое в рамках данного учения истинным, без требования доказательства. Догматизм – способ мышления, оперирующий догмами (считающимися неизменными положениями, не подвергаемыми критике); для догматизма характерны некритичность по отношению к догмам (отсутствие критики и сомнений) и консерватизм мышления (неспособность воспринимать информацию, противоречащую догмам), слепая вера в авторитеты».

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Так в чем же отличие? Почему множество натуральных чисел существует, а соответствующее ему множество кардиналов в цепочке Кантора нет?

Так множество $X$ такое что $\forall x: x \in X \leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}: x = \aleph_n$ существует (если принять аксиому выбора; без нее надо еще сказать, что вообще такое $\aleph_n$).

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

а бесконечное число

Понятие "бесконечное число" не определено.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

$\infty \in \mathbb N$

Приведите уже определение $\mathbb{N}$, которым вы пользуетесь.

(Оффтоп)

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Надеюсь, у вас хотя бы для начала базово диплом мех-мата МГУ по специальности «чистая математика»

Не знаю, как было во времена учебы Someone, но в моем дипломе мехмата написано "математик, математик-прикладник", и дипломов по специальности "чистая математика" в нашем выпуске мехмат не выдавал.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Меня интересуют только аргументы.

Аргумент: вы используете термины "бесконечно большое число", "натуральные числа", значки $\frac{\cdot}{\cdot}$ и $\infty$, не указывая их значения, в контекстах, в которых их общепринятое употребление либо бессмысленно, либо делает ваши утверждения неверными. Кучу примеров вам уже привели.

[Xaositect]

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Меня интересуют только аргументы. Вы же приводите короткие отрицательные положения (строить короткие отрицательные предложения, тем более и так знакомые, много ума не надо), но не приводите ни одного действенного аргумента, обоснования на их счет (кроме «так не обозначается», «так определяется» - это из области догматики*, включая определение предела Коши). Нет аргументов, не пишите. Если есть аргументы, приводите.

Проблема в том, что континуум-гипотеза - это утверждение теории множеств, и чтобы работать с континуум-гипотезой, надо использовать именно теорию множеств и общепринятые определения входящих в континуум-гипотезу терминов - кардинал, $\aleph_0$, $\aleph_1$, равенство кардиналов, "функция" $2^{\alpha}$ для кардиналов. Для этого надо, соответственно, использовать определения понятий, используемых в этих определения - счетное множество, индуктивное множество, ординал итп, и аксиомы теории множеств, которые дают неявное определение понятиям множества и равенства множеств.
А Вы, как Вам уже сказали, не используете общепринятые определения для некоторых этих понятий, а также вводите свои понятия, для которых определений не даете. А также используете утверждения, которые не следуют из аксиом.
И пока Вы этих определений не дадите на формальном языке и этих утверждений не докажете (или не укажете ссылку на литературу, где они даны и доказаны), Вас никто не поймет. Так работает математика, и пока Вы не начнете так работать, на математическое доказательство Вы претендовать не можете.
Например:

Alexeev_Andrey в сообщении #1308021 писал(а):

Тогда $2^{\infty } = 2^{(1+1+1 \dots )} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \dots = \prod\limits_{i=1}^{\infty} 2.$

Согласно общепринятому определению символа $\prod\limits_{i = 1}^{\infty}$, это бесконечное произведение расходится. Значит, Вы имеете в виду какое-то свое определение. Его нужно дать.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

если $\infty \notin \mathbb N$ и множество $\mathbb N$ существует, состоя только из конечных чисел, то мы можем занумеровать все кардиналы (алефы) в цепочке Кантора как $\aleph_i$, где i – строго конечное натуральное число

Неочевидное утверждение (особенно в свете того, что существуют, например, кардиналы $\aleph_{\omega^{\omega}}$ или $\aleph_{\varepsilon_0}$). Его надо доказать.

[Someone]

mihaild в сообщении #1308053 писал(а):

Так множество $X$ такое что $\forall x: x \in X \leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}: x = \aleph_n$ существует (если принять аксиому выбора; без нее надо еще сказать, что вообще такое $\aleph_n$).

Вполне упорядоченные множества и ординалы существуют в ZF без аксиомы выбора, а алефы определяются как мощности бесконечных вполне упорядоченных множеств и обычно отождествляются с начальными ординалами, то есть, с наименьшими ординалами данной мощности. При наличии аксиомы выбора все бесконечные кардиналы являются алефами.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Отметим, что $\infty$-ти не может соответствовать кардинал в цепочке Кантора $\aleph_{\infty} = \aleph_{\aleph_0}$, так как $\infty = \aleph_0 = \aleph_0 + 1 = \infty + 1$. А $\aleph_{\infty + 1} \ne \aleph_{\infty}$.

Это безграмотная ерунда. Как я уже однажды Вам писал, символ $\infty$ в теории множеств не употребляется и не имеет никакого отношения к кардиналу $\aleph_0$ или к ординалу $\omega_0$. Последовательность бесконечных алефов нумеруется не кардиналами, а ординалами, и имеет вид $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$, …, $\aleph_{\omega_0}$, $\aleph_{\omega_0+1}$, $\aleph_{\omega_0+2}$, …, $\aleph_{\omega_0\cdot 2}$, $\aleph_{\omega_0\cdot 2+1}$, …. Где-то невообразимо далеко появится $\aleph_{\omega_1}$, $\aleph_{\omega_1+1}$, $\aleph_{\omega_1+2}$, …. И так далее. Здесь $\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}^+$, где $\aleph_{\alpha}^+$ — наименьший алеф, превосходящий $\aleph_{\alpha}$ ("следующий за $\aleph_{\alpha}$"), и $\aleph_{\alpha}=\sum\limits_{\lambda<\alpha}\aleph_{\lambda}$ для предельного $\alpha$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

Так в чем же отличие? Почему множество натуральных чисел существует, а соответствующее ему множество кардиналов в цепочке Кантора нет?

Разница в том, что множество натуральных чисел является счётным, а совокупность кардиналов намного больше.

Кстати, что Вы подразумеваете под цепочкой Кантора? Степенную иерархию алефов? Тогда она такая же трансфинитная, как и последовательность всех алефов: $\mathfrak{a}_0$, $\mathfrak{a}_1$, $\mathfrak{a}_2$, …, $\mathfrak{a}_{\omega_0}$, $\mathfrak{a}_{\omega_0+1}$, $\mathfrak{a}_{\omega_0+2}$, …, $\mathfrak{a}_{\omega_0\cdot 2}$, $\mathfrak{a}_{\omega_0\cdot 2+1}$, …, $\mathfrak{a}_{\omega_1}$, $\mathfrak{a}_{\omega_1+1}$, $\mathfrak{a}_{\omega_1+2}$, …. И так далее. Здесь $\mathfrak{a}_0=\aleph_0$, $\mathfrak{a}_{\alpha+1}=2^{\mathfrak{a}_{\alpha}}$, и $\mathfrak{a}_{\alpha}=\sum\limits_{\lambda<\alpha}\mathfrak{a}_{\lambda}$ для предельного $\alpha$.

Добавление 28/IV-2018: забыл сказать, что без аксиомы выбора кардиналы $\mathfrak{a}_{\alpha}$ не обязаны быть алефами.

Сравнение обеих иерархий является неблагодарным делом. Например, континуум $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}=\mathfrak{a}_1$ может быть расположен в ряду алефов достаточно произвольно: он может совпадать с любым из $\aleph_k$, $1\leqslant k<\omega_0$, но не может совпадать с $\aleph_{\omega_0}$. Однако, если не ошибаюсь, может совпадать с $\aleph_{\omega_1}$. Может быть и больше $\aleph_{\omega_1}$. И ещё гораздо больше. А без аксиомы выбора не обязан быть алефом.

Добавление 28/IV-2018: обобщённая континуум-гипотеза [GCH] состоит в том, что две рассмотренные выше иерархии совпадают, то есть, для всех ординалов $\alpha$ выполняется равенство $\mathfrak{a}_{\alpha}=\aleph_{\alpha}$; так [GCH] сформулирована в книге К. Куратовского и А. Мостовского "Теория множеств".
Там же сформулирована гипотеза, что для каждого бесконечного кардинала $\mathfrak{m}$ не существует кардинала, промежуточного между $\mathfrak{m}$ и $2^{\mathfrak{m}}$, то есть, такого $\tau$, что $\mathfrak{m}<\tau<2^{\mathfrak{m}}$, и доказано, что из этой гипотезы следует аксиома выбора. Часто именно эту гипотезу и называют обобщённой гипотезой континуума; при наличии аксиомы выбора обе формулировки [GCH] эквивалентны.

[mihaild]

Someone в сообщении #1308110 писал(а):

Вполне упорядоченные множества и ординалы существуют в ZF без аксиомы выбора, а алефы определяются как мощности бесконечных вполне упорядоченных множеств и обычно отождествляются с начальными ординалами, то есть, с наименьшими ординалами данной мощности.

И правда. Мои извинения, у меня в голове видимо какая-то путаница с алефами и кардиналами.

[Someone]

(mihaild)

mihaild в сообщении #1308121 писал(а):

у меня в голове видимо какая-то путаница с алефами и кардиналами

На мой взгляд, эта путаница вполне естественная, так как мы все привыкли к аксиоме выбора и часто забываем, что без неё не все бесконечные кардиналы являются алефами.

[arseniiv]

(Внутри несерьёзно)

Alexeev_Andrey в сообщении #1308039 писал(а):

$\infty \in \mathbb N$

mihaild в сообщении #1308053 писал(а):

Приведите уже определение $\mathbb{N}$, которым вы пользуетесь.

$\mathbb N_{\text{от AA}} = \nu x.1+x$. Коданные!

[Lia]

Alexeev_Andrey заблокирован бессрочно. Агрессивное невежество и псевдонаука.