Доказательство континуум гипотезы

[Alexeev_Andrey]

Доказательство континуум гипотезы

Определение: «Множеством называется совокупность различных элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества.»

Аксиома Цермело-Френкеля о существовании бесконечного множества строится как добавление на каждом шаге по $1$-му элементу к вновь образованному элементу.
Цитирую: «Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из ${\displaystyle \varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots } {\displaystyle \varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots }.$»
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
$0=\varnothing$
$S(n)=n\cup\left\{n\right\}$
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:
$0=\varnothing$
$1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing\right\}$
$2=\left\{0,1\right\}=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
$3=\left\{0,1,2\right\}=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

«Теория множеств не предполагает никакой топологии, связи между элементами, точками множества, она предполагает изначально только элементы, точки множества, отличные друг от друга».
Каждая же точка, элемент множества представляет собой отдельную целостность, $1$-цу!
И сие есть древнейшее базовое соответствие: (один) предмет, элемент множества – это $1$-ца. Это восходит еще к древности и к понятию числа вообще, первоначальной абстракции числа, если угодно, наряду с точкой.

По сути аксиома бесконечности Цермело-Френкеля есть не что иное как последовательный процесс построения множеств с увеличением на $1$ элемент. Это базовая аксиома построения увеличивающихся по количеству элементов множеств через прибавление одного элемента. Ниже мы просто продолжим логически этот процесс. То есть мы не выходим за рамки аксиоматики Цермело-Френкеля, да и вообще просто естественного понимания множества как состоящего из отдельных элементов, каждый из которых абстрактно можно считать за отдельную $1$-цу.

Утверждение $1$. Каждому отдельному элементу любого множества можно сопоставить единицу, $1$, обозначив тем целостность элемента и отличие его от других элементов. Таким образом любое множество можно рассматривать формально как состоящее из множества отличных друг от друга $1$-ц. Что является ничем иным как абстрагированием от природы элементов. То есть чистой воды математическим формализмом. Тогда количество элементов в множестве представляет собой количество $1$-ц данного множества.
Увеличением множества является его объединение с иным множеством, пополнением, чему соответствует прибавление некоторого количества элементов. В абстрактном представлении это соответствует добавлению к некоторому набору отдельных единиц еще набора отдельных единиц. Чему соответствует математическая операция сложения единиц.
Базовый процесс увеличения количества элементов множеств, увеличения множества на начальном этапе выглядит так. Нет элементов, пустое множество – $0$. Просто какой-то элемент – $1$ элемент. Добавление к просто элементу еще просто элемента – $2$ элемента. И т.д. Таким образом мы получаем конечные множества, равномощные по величине некоторому натуральному числу. По сути получаем натуральный ряд с нулем. До каких пор мы можем осуществлять данный процесс? Аксиома Цермело утверждает – до бесконечности. Мощность же бесконечного натурального ряда счетна. Между конечным и бесконечным множеством в соответствии с исключающим отрицанием не существует промежуточного множества. Множество на начальном этапе построения по аксиоме бесконечности Цермело-Френкеля либо конечно и тогда равномощно некоторому натуральному числу, либо бесконечно и тогда равномощно мощности бесконечного натурального ряда, то есть счетно. Построив таким образом множество натуральных чисел, мы можем продолжить этот процесс добавления элементов, начав сначала. То есть к множеству натуральных чисел начать снова добавлять по одному элементу. Это есть по сути продолжение бесконечного ряда Цермело-Френкеля. Это будет второй шаг, вторая итерация построения. Здесь уже в качестве элемента множества выступает процесс построения натурального ряда. $1$ – первый натуральный ряд. $2$ – новый натуральный ряд, добавляемый к первому. Наглядно это можно себе представить так. Рассмотрим вещественную прямую. На ней отметим ноль – начало координат. И вправо отметим последовательно числа $1, 2, 3$ и т.д. до бесконечности, то есть представим просто натуральный ряд поэлементно. Чтобы отдельно добавить к данному ряду еще один элемент, рассмотрим ось $y$. По ней отметим точку с координатами $(1, 1)$. Далее можно добавить еще один элемент, соответствующий координате $(2, 1)$ и т.д., продолжая данный процесс мы получим множество, соответствующее биективно множеству $\mathbb N \times \{ 0, 1 \}$. Далее мы можем начать сначала добавлять по одному элементу, - минимальному! ненулевому значению, на которое могут отличаться множества по количеству элементов между собой. Число итераций, построений натуральных множеств у нас может быть вначале конечным натуральным числом (в качестве элементов натурального ряда мы можем рассматривать сами натуральные ряды), далее же в отрицании – бесконечным – в соответствие с бесконечностью натурального ряда.

Продолжая процесс, начатый нами при добавлении $1$-ц к имеющемуся натуральному ряду, до бесконечности, мы получим множество $1$-ц по мощности равномощное множеству $\mathbb N \times \mathbb N = \mathbb N^2$. А именно формально на плоскости процесс прибавления по 1-це можно записать так:

$1+1+1+…$ (первый натуральный ряд)
$+1+1+1+…$ (второй натуральный ряд)
$+1+1+1+…$ (третий натуральный ряд)

$ …$

Используя диагональный метод Кантора пересчета элементов, количество элементов, единиц-$1$ в данной сумме, можно записать как $1+2+3+…$ (считая, например, по диагоналям слева вниз направо вверх). Что биективно соответствует количеству элементов множества $\mathbb N \times \mathbb N = \mathbb N^2$. Биекция: каждой единице ставится в соответствие координаты на плоскости. Заметим, что множество натуральных чисел с нулем равномощно мощности натуральных чисел без 0, поэтому будем просто рассматривать $\mathbb N$ (на плоскости мы просто сдвигаем первый натуральный ряд с оси $x$ на единицу по оси $y$ выше).
Продолжая далее аналогично процесс добавления элементов по одному, по $1$-це, мы будем получать конечномерные пространства $\mathbb N^k, \mathbb N^k=\prod\limits_{i=1}^{k} \mathbb N $, где $k \in \mathbb N$, которые при каждом конечном натуральном $k$ будут представлять счетные множества. На данном примере добавления $1$-ц (по одному элементу) мы видим, как операция сложения переходит в операцию умножения, которая в свою очередь переходит в операцию возведения в степень. И опять же, до каких пор мы можем продолжать данный процесс? До бесконечности, только теперь у нас степень будет пробегать весь натуральный ряд. При $k$ равном бесконечности мы получим множество, которое имеет мощность континуума. $\mathbb N^{\mathbb N} = \mathbb N^{\infty}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N$. Между конечной степенью и бесконечной степенью нет промежуточной. Значит нет и множества по мощности между счетным и континуальным множествами.

Иначе, любое множество $M$, находящееся по мощности между счетным и континуальным, состоит из какого-то числа $1$-ц, которые в сумме представляют общее количество элементов множества $M$. Значит по числу элементов это множество располагается где-то между $ \mathbb N^k =\prod\limits_{i=1}^{k} \mathbb N$, для какого-то $k$, где $k$ принадлежит $\mathbb N$ (хоть $k=1$), и $ \mathbb N^{\infty} = \prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N $ (см. сноску*). А тогда для фиксированного количества элементов $M$, либо существует такое $k^{*}$ из $\mathbb N$, что $|M| \leqslant| \mathbb N^{k^*}|$, а тогда $|M| = \aleph_0 $, либо такого $k^*$ не существует и тогда $|M| >|\mathbb N^k| = \aleph_0$ для любого конечного $k \in \mathbb N$, поскольку для любого $k$ из $\mathbb N$, то есть для всех $k$, что равносильно включению бесконечности, но поскольку для любого $k$ из $\mathbb N$, $|{\mathbb N}^k| = \aleph_0$, а для $k= \infty$, $|{\mathbb N}^{\infty}|=|\prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N| = \mathfrak c$, то $|M| = \mathfrak c$, ибо $\aleph_0 \leqslant |M| \leqslant \mathfrak c$. То есть $M$ либо счетно, либо континуально, то есть $\aleph_1= \mathfrak c$.

Для лучшего понимания. Рассмотрим множества, состоящие из одних $1$-ц. Назовем их унифицированными множествами. Причем, вместо единиц можно рассмотреть любые идеальные объекты, абсолютно тождественные друг другу (и такое возможно только в математическом идеализме). Любое множество, состоящее из каких-то элементов с точки зрения количества элементов можно рассмотреть просто, как множество, состоящее из одних $1$-ц, то есть как унифицированное множество. С точки зрения равномощности нам все равно из чего состоят множества, для нас важно количество его элементов. Так конечные множества в унифицированном виде будут представлять $0= \{ \varnothing \}, 1= \{ 1 \}, 2= \{ 1, 1 \}, k = \{ 1, 1, 1… 1 \}$ ($k$ единиц). Бесконечный натуральный ряд $\mathbb N = \{ 1, 1, 1… \}$. Теперь рассмотрим произвольное унифицированное множество $M$, состоящего из какого-то кол-ва $1$-ц. Тогда верно, либо существует $k^{*} \in \mathbb N$, такое что $|M| \leqslant | k^{*}| = k^{*}$ и $M \in k^{*}$ (множеству из $k^{*}$ единиц, где сравнение идет по $1$-цам), то есть $M$ – конечно, либо для любого $k \in \mathbb N, |M|>|k| = k$, и любое натуральное $k \in M$, то есть $N$ (бесконечное) $\in M$, и тогда $|M| \geqslant \aleph_0$, то есть множество $M$ не менее, чем счетно, и содержит по крайней мере бесконечное число $1$-ц. То есть $M$ либо конечно, либо бесконечно.
Аналогично. Для любого множества $M$, состоящего из некоторого числа единиц, такого что $\aleph_0 \leqslant |M| \leqslant \mathfrak c$ верно: либо существует такое $k^{*}$ из $\mathbb N$, что $M \in {\mathbb N}^{k^{*}}$ и $|M| \leqslant |\mathbb N^{k^{*}}| = \aleph_0$, а тогда $|M| = \aleph_0$, либо не существует такого $k^{*}$, то есть $|M| >|N^k| = \aleph_0$ для любого $k$ из $\mathbb N$, то есть для всех $k$ из $\mathbb N$, а тогда $\mathbb N^{\infty} \in M$ (бесконечность включается, входит в множество $M$ необходимо, коль $\mathbb N^{k} \in M$ для всех натуральных $k$, включение же здесь равносильно биекции с некоторым подмножеством, ну или со всем множеством $M$, сравнение идет по $1$-цам) и $|M| \geqslant \mathfrak c$, а так как изначально предполагалось, что $|M| \leqslant \mathfrak c$, то $|M| = \mathfrak c$.
Заметим также, что нам необязательно даже предполагать, что при $k=1, 2, 3… \infty, N^k$ и между ними по изменению на $1$ элемент представляют всевозможные множества единиц от $0$ до континуума, нам достаточно просто рассмотреть в таком случае решетку из $N^k$. И доказательство остается верным для произвольного $M$.

*Изначально перечисляя множества по количеству элементов, мы словно отсчитываем косточки на бесконечных счетах, начиная с самого нижнего ряда, где число косточек представляет собой первый натуральный ряд, далее поднимаясь все выше и выше до бесконечности, мы просто прибавляем по одному элементу к уже имеющимся… затем и счеты у нас становятся бесконечномерными. То есть все множества по количеству элементов у нас буквально сосчитаны на счетах, учтены в нашей бухгалтерии (начиная от $0$ и до континуума). Мы можем и далее продолжать этот процесс, выходя уже за пределы континуума.

Если бы промежуточное по мощности множество существовало, то оно по количеству элементов было бы представимо количеством, набором отдельных единиц. Но выше мы перечислили все возможные множества по количеству единиц вплоть до континуума, путем прибавления по $1$-це, по одному – минимально возможной величине при увеличении множества по количеству элементов последовательно. И промежуточных множеств между счетными и континуальными нет в силу того, что нет промежуточного множества между конечным и бесконечным. Здесь дело все в качестве исключающего отрицания.

Примечание. Параллельно вышеизложенному последовательному построению множеств, отличающихся между собой на минимально возможное число элементов – $1$, можно рассмотреть непрерывный интервал $(0, 1)$. Берем $1$-цу, на интервале ей может соответствовать любая точка, берем произвольно точку на интервале. И далее добавляем по одной точке, как описано выше. В результате $\mathbb N^k$ шагов, где $k$ – конечное число мы таким образом отметим только счетное число точек, $\mathbb N^k =\prod\limits_{i=1}^{k}\mathbb N $, где $ k \in \mathbb N$. Если же мы рассмотрим $\mathbb N^{\infty} = \prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N$, то это множество имеет уже мощность континуума.
Рассмотрим $\mathbb N^{\infty}= \prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N$. $\mathbb N$ у нас состоит из элементов $1, 2, 3, 4…$ Рассмотрим $1^{\infty}= \prod\limits_{i=1}^{\infty}1$, это просто один элемент $(1, 1, 1, 1…)$, состоящий из счетного числа единиц. Далее за $1$-цей следующий элемент $2$-ка. $2^{\infty} = \prod\limits_{i=1}^{\infty}2$, этому произведению соответствуют по мощности счетные множества, состоящие из $0$ и $1$, что является количеством множества подмножеств натурального ряда, $\mathbb N$. Этому же множеству соответствует программа $2^{\infty}$ построения вещественных точек на интервале от $0$ до $1$. А именно: делим интервал $(0, 1)$ пополам одной точкой, получаем два интервала, каждый делим в свою очередь пополам и т.д., считая пограничные точки. На каждой итерации у нас число интервалов будет удваиваться. Это соответствует представлению вещественных чисел на интервале $(0, 1)$ в двоичной системе счисления.
Программа $10^{\infty}$ - соответствует построению представления вещественных чисел в десятичной записи по разрядам. Здесь на каждом шаге интервал $(0, 1)$ делится на $10$ интервалов.
Для каждого натурального числа $n$, $n^{\infty}$ будет представлять построение вещественного интервала $(0, 1)$, можем рассмотреть и все счетное множество $\mathbb N$ в программе $\mathbb N^{\infty}$, тогда деление интервала на первом шаге можно представить делением интервала $(0,1)$ рациональными числами. Далее мы получим через бесконечное число итераций все вещественные точки интервала, не более, ибо множество вещественных точек на интервале $(0, 1)$ здесь предельно возможное множество.

*Попутно вспомним индийского математика, который предложил падишаху, властителю мира, мироздания, класть в клетки шахматной доски зерна, каждый раз удваивая их, начиная с одного зерна. Общая же сумма зерен на шахматной доске $8$ на $8$ исчисляется как $1+2+2^2+2^3…+2^{63} = 2^{64} - 1$. Так вот я являюсь как индийский математик, предлагая выкладывать зерна на бесконечной шахматной доске, где класть зерна можно по расходящимся квадратам из любой клетки… Но мы знаем, что множество клеток бесконечного квадрата счетно, ибо равно $\mathbb N^2$, а теперь знаем, что в Природе=Натуре, где произрастают зерна, не существует такого количества зерен вовсе, ибо сумма такой бесконечности равна $(-1)$, что ненатурально. А равно не существует никаких предметов, вещей в таком количестве (то есть их счетное число).
Само понятие натурального (природного, ибо Натура = Природа) ряда говорит о счете вещей в Натуре. Счетность же натурального ряда сама за себя уже свидетельствует о счетности вещей в Природе. С чего, кстати сказать, и начиналась вообще математика: со счета предметов и с измерения предметов, а также земли… это уже потом математика оторвалась (от земли) так сказать и стала заниматься только лишь формальными конструкциями, но и сейчас существует прикладная математика.

То есть, похоже, фенита ля комедия, Гёдель! Основная моя цель доказательства континуум гипотезы является в том, что я не верю в утверждение Гёделя о том, что существуют нормальные, непротиворечивые утверждения, которые нельзя доказать, опираясь на аксиомы очевидной данности. А континуум гипотеза, являясь непротиворечивой, «нормальной» математической задачей, приводится как пример верности утверждения Гёделя о существовании неразрешимых задач. Но доказательство Гёделя есть, и! на мой взгляд, не что иное как переформулированный парадокс лжеца. Так считал, кстати, и Цермело! То есть, конечно, в математике есть сложные задачи, например, бесконечно сложные уравнения, про которые мы просто не в состоянии сказать, какие у него решения, есть противоречивые утверждения вроде парадокса лжеца, но это не касается чистых математических истин, где правит закон исключенного третьего. В этом моя цель. Мне просто для начала необходимо доказать континуум гипотезу.

С ув. Алексеев Андрей, Андрей Петербургский

[Karan]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

Итак, минимальное натурально бесконечное число - это $1+1+1+1... = N$, обозначим его просто $N$.

Бесконечные натуральные числа Вы ни в этой, ни в предыдущей теме, строго не определили. Опишите формально структуру, с которой Вы работаете.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

А $N^k$ при переходе $k$ в бесконечность дает нам бесконечно большие числа, причем, это уже континуум, начиная с $N=2$.

Вы по-прежнему неправильно употребляете понятие предела. Предел предполагает наличие топологии, а никакой топологии Вы не определили.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

Заметим, что из добавления не более счетного числа точек не более чем счетное число раз мы можем получить континуум, значит, мы можем так получить и любое промежуточное множество.

Не формализованное и не доказанное утверждение. Определите все строго.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Описание предмета дискуссии неполное и недостаточно формальное.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: теперь есть что-то, что можно обсуждать.

[Xaositect]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

При $k$ равном бесконечности мы получим множество, которое имеет мощность континуума. $\mathbb N^{\mathbb N} = \mathbb N^{\infty}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N$.

Символ $\infty$ в этом контексте никогда не употребляют.

Цитата:

Между конечной степенью и бесконечной степенью нет промежуточной. Значит нет и множества по мощности между счетным и континуальным множествами.

Ошибка тут. Не расматриваются подмножества, которые не имеют вида $\mathbb{N}^k$. Если рассматривать только множества, равномощные $\mathbb{N}^T$, то континуум-гипотеза для таких очевидно верна, вся проблема именно в "плохих" множествах.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

А тогда для фиксированного количества элементов $M$, либо существует такое $k^{*}$ из $\mathbb N$, что $|M| \leqslant| \mathbb N^{k^*}|$, а тогда $|M| = \aleph_0 $, либо такого $k^*$ не существует и тогда $|M| >|\mathbb N^k| = \aleph_0$ для любого конечного $k \in \mathbb N$, поскольку для любого $k$ из $\mathbb N$, то есть для всех $k$, что равносильно включению бесконечности, но поскольку для любого $k$ из $\mathbb N$, $|{\mathbb N}^k| = \aleph_0$, а для $k= \infty$, $|{\mathbb N}^{\infty}|=|\prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N| = \mathfrak c$, то $|M| = \mathfrak c$, ибо $\aleph_0 \leqslant |M| \leqslant \mathfrak c$. То есть $M$ либо счетно, либо континуально, то есть $\aleph_1= \mathfrak c$.

Типичная ошибка неразличения "произвольно большого" и "бесконечного". Не доказано, что из $|M| > |\mathbb{N}^k|$ для любого $k$ следует $|M| = |\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

Для лучшего понимания. Рассмотрим множества, состоящие из одних $1$-ц. Назовем их унифицированными множествами. Причем, вместо единиц можно рассмотреть любые идеальные объекты, абсолютно тождественные друг другу (и такое возможно только в математическом идеализме).
Любое множество, состоящее из каких-то элементов с точки зрения количества элементов можно рассмотреть просто, как множество, состоящее из одних $1$-ц, то есть как унифицированное множество. С точки зрения равномощности нам все равно из чего состоят множества, для нас важно количество его элементов. Так конечные множества в унифицированном виде будут представлять $0= \{ \varnothing \}, 1= \{ 1 \}, 2= \{ 1, 1 \}, k = \{ 1, 1, 1… 1 \}$ ($k$ единиц). Бесконечный натуральный ряд $\mathbb N = \{ 1, 1, 1… \}$.

В теории множеств такого быть не может - если единицы тождественны, то они равны и являют собой только один элемент. Для того, что Вы хотите, как раз и разработана теория мощностей. Суть там в том, что элементы множества различны (не тождественны), но конкретная их сущность нам не важна. Но в принципе я Вас понял.

Цитата:

Аналогично. Для любого множества $M$, состоящего из некоторого числа единиц, такого что $\aleph_0 \leqslant |M| \leqslant \mathfrak c$ верно: либо существует такое $k^{*}$ из $\mathbb N$, что $M \in {\mathbb N}^{k^{*}}$ и $|M| \leqslant |\mathbb N^{k^{*}}| = \aleph_0$, а тогда $|M| = \aleph_0$, либо не существует такого $k^{*}$, то есть $|M| >|N^k| = \aleph_0$ для любого $k$ из $\mathbb N$, то есть для всех $k$ из $\mathbb N$, а тогда $\mathbb N^{\infty} \in M$ (бесконечность включается, входит в множество $M$ необходимо, коль $\mathbb N^{k} \in M$ для всех натуральных $k$, включение же здесь равносильно биекции с некоторым подмножеством, ну или со всем множеством $M$, сравнение идет по $1$-цам) и $|M| \geqslant \mathfrak c$, а так как изначально предполагалось, что $|M| \leqslant \mathfrak c$, то $|M| = \mathfrak c$.

Не доказано, просто безосновательно повторяется формулировка континуум-гипотезы. Обоснованием поставлено лишь слово "аналогично", когда аналогии здесь совсем нет - если взять объединение всех конечных множеств $\{1,2,\dots,k\}$, то получится $\mathbb{N}$, а вот если взять объединение всех счетных множеств $\mathbb{N}^k$, то получится все равно счетное множество, перехода к континууму тут нет.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

фенита ля комедия, Гёдель!

Финита. от слова "конец".

[Alexeev_Andrey]

(ответ на критику оппоненту c именем $\aleph_0$)

Можно несколько формализовать приведенное выше док-во. Множество натуральных чисел, $\mathbb N$, у нас есть по аксиоме бесконечности ZCF (аксиоматике Цермело-Френкеля), получаемое через последовательное добавление 1-го элемента в множество. Рассмотрим множество элементов произвольной природы $\{ x_i \}$, где $i \in {\mathbb N}$, биективное $\mathbb N$. Теперь продолжим построение множеств, добавлением по одному элементу к уже имеющимся элементам, нумерацию задавая следующим образом, первым элементом будет $x_{11}$, вторым $x_{12}$ и т. д. Таким образом мы добавим (через объединение) еще множество элементов $\{ x_{1i} \}$ где $i \in {\mathbb N}$, биективное $\mathbb N$. Продолжая таким же образом добавлять по одному элементу мы получим множество элементов $ \{ x_{(i_1 \dots i_k )} \}$, биективное ${\mathbb N}^k$, для произвольно большого конечного $k \in \mathbb N$, $i_j \in {\mathbb N}$, а в конечном счете, если не будем останавливаться по k, то получим ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ (что представляет континуум). Тогда как все ${\mathbb N}^k$, для $k \in {\mathbb N}$, счетны. Так вот существует чисто логически две возможности, либо мы в нашем построении остановимся где-то с точностью до одной точки (одного элемента) или $\mathbb N$, либо нет. Если мы остановимся по степеням, то с точностью до одной точки или счетного множества $\mathbb N$, мы попадем для какого-то фиксированного! (ибо остановились) k в множество меньшее по числу элементов, чем ${\mathbb N}^k$, а если не остановимся, то попадем в ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ (это следует из того, что между конечными k и $\mathbb N$ нет иных мощностей, а прибавление и умножение самого множества $\mathbb N$ не меняет мощности множества). В первом случае мы имеем счетное множество, во втором – континуум. (Заметьте в основании степени k мы рассматриваем бесконечное множество $\mathbb N$ сразу целиком, а не отдельные, конечные натуральный числа, - это, чтобы вас не смущала параллель с построением натурального ряда вплоть до бесконечности и по степеням; и также точна здесь параллель с построением натурального ряда, а именно, когда мы строим натуральный ряд естественным образом через добавление по одному элементу, то у нас есть две возможности, либо остановиться и получить какое-то конечное натуральное число, либо не останавливаться, и тогда мы получаем натуральную бесконечность). То есть промежуточное множество по мощности не построить через естественное добавление по одному элементу. А так как в определении множества сказано, что оно состоит из отдельных элементов, то есть распадается на отдельные элементы и слагается из отдельных элементов, то множества промежуточной мощности и вовсе не существует! (вот это то, чего не хватало общему доказательству, понимания, что в определении множества заложен конструктивизм). Также заметим, что так как у нас элементы произвольные, то по существу мы можем считать, что каждый занимает единственное, свое место в множестве, поэтому мы могли бы изначально рассматривать множество голых единиц, представляющих места в множестве.

Да, вы правы, перехода к континууму нет, если рассматривать объединение ${\mathbb N}^k$ только по конечным степеням, $\bigcup\limits_{k \in {\mathbb N}} {\mathbb N}^k $. Это и хорошо, как мы увидим ниже! Ибо тогда $\bigcup\limits_{k \in {\mathbb N}} 2^k $ по конечным степеням 2-ки также счетно в частности. Но здесь тонкая кючевая грань, ибо в сумме $\sum\limits_{k=1}^{\infty} {\mathbb N}^k$ переход к континууму есть, так как $\sum\limits_{i=1}^{\infty} ( \prod\limits_{k=1}^{i} {\mathbb N} ) $ , то есть под знаком суммы стоит произведение, а именно в произведении происходит переход к континууму (а не в объединении счетного числа счетных множеств, которое я не рассматриваю). $\sum\limits_{i=1}^{k} {\mathbb N}^i = {\mathbb N}^1 + {\mathbb N}^2 + \dots + {\mathbb N}^k$. Если даже просто положить символично $k={\infty}$, то $\sum\limits_{i=1}^{\infty} {\mathbb N}^i = {\mathbb N}^1 + {\mathbb N}^2 + \dots + {\mathbb N}^{\infty}$. Отмечу, что уже сумма $\sum\limits_{k=0}^{\infty} 2^k$ континуальна и равна (-1). Отличие же здесь только во включении бесконечной степени, в первом случае мы ее исключаем, во втором включаем. Без добавления бесконечной степени мы остаемся в счетном множестве, с добавлением мы попадаем сразу в континуум. Между ними мы добавляем по 1-це или по ${\mathbb N}$, ${\mathbb N}^k$, и это не меняет мощности, меняет только добавление ${\mathbb N}^{\mathbb N}$.
И заметим на будущее, что сложение ${\mathbb N}+{\mathbb N}$ и умножение ${\mathbb N}^2$ не дают изменения мощности, дает только бесконечная степень, то есть степень, равная мощности самого бесконечного множества.

Приведу в ответ аналогию с вашими рассуждениями (это на то, что аналогии в моих нет): если мы рассматриваем натуральный ряд, состоящий из конечных чисел, то он состоит только из конечных чисел и перехода к бесконечности здесь нет, ибо счетная бесконечность не принадлежит натуральному ряду, и мы не знаем, есть ли «плохие» множества между конечными числами и счетной бесконечностью.
Где та грань, когда конечные, обычные натуральные числа переходят в бесконечность? А грань та пролегает в условной остановке (ибо в математике времени нет). Либо мы останавливаемся при построении натурального ряда где-то и тогда имеем вполне определенное конечное натуральное число, пусть бесконечно большое, либо не останавливаемся и получаем счетную бесконечность.
Аналогично дело обстоит и с построением множеств ${\mathbb N}^k$ и всех множество между ${\mathbb N}^k$ и ${\mathbb N}^{(k+1)}$ последовательно через добавление по 1-ой точки или ${\mathbb N}$. Так вот если мы остановимся, то попадем куда-то между ${\mathbb N}^k$ и ${\mathbb N}^{(k+1)}$ для какого-то k с точностью до одной точки или ${\mathbb N}$ (это следует из того, что между конечными k и ${\mathbb N}$ нет иных мощностей), а если не остановимся уже по степеням, то попадем в ${\mathbb N}^{\mathbb N}$.

Впрочем, вы уже сказали, что для ${\mathbb N}^k$ КГ очевидна: «Не рассматриваются подмножества, которые не имеют вида ${\mathbb N}^k$. Если рассматривать только множества, равномощные ${\mathbb N}^T$, то континуум-гипотеза для таких очевидно верна.»

Насчет множеств «только вида ${\mathbb N}^k$». Я не рассматриваю множества только вида ${\mathbb N}^k$ , я рассматриваю и все множества вида ${\mathbb N}^{k} + L$ до ${\mathbb N}^{(k+1)}$ включительно, с точностью до 1-го элемента или ${\mathbb N}$ в переходе по степеням. О каких других множествах вы говорите?
Все множества по определению состоят, то есть составлены из своих отдельных элементов, по сути 1-ц. Это прямо говорится в определении множества:
Колмогоров («Функциональный анализ»): «множество – совокупность, собрание элементов».
Хаусдорф, «Теория множеств» (определение множества): «Множество возникает путем объединения отдельных элементов (вещей) в одно целое».
Так что по определению любое множество является как объединение своих элементов, то есть 1-ц, вот я и объединяю по одному элементу и получаю на пути ${\mathbb N}^{k} + L, {\mathbb N}^{(k+1)}$ и т.д. Так что других попросту нет, это следует из определения множества.
Так что можете строить, определять какие угодно множества, задавать как угодно, хоть через голову, в конце концов это будет набор объединения отдельных элементов, по сути 1-ц.
Из этого, кстати, следует, что никакого недостижимого кардинала, который не представляется множествами меньшей мощности, не существует, ибо он по определению состоит из одноэлементных множеств и их объединения.

Если лично вас не вполне убедило приведенное выше доказательство. То привожу 2-адическое док-во КГ (выполненное в духе решения красивых олимпиадных задач), где тоже самое, о чем я говорю, видно более отчетливо.
Рассмотрим множество подмножеств натурального ряда с нолем (аксиома ZCF о множестве подмножеств гарантирует нам существование такого множества, а теорема Кантора то, что оно континуально). Каждому такому множеству сопоставим последовательность из 0 и 1, где 0 и 1 в соответствующем разряде говорит о том, принадлежит ли данное натуральное число подмножеству или нет: 0 – не принадлежит, 1 – принадлежит. Например, подмножеству $\{ 0, 1, 2 \}$ соответствует последовательность $ (1, 1, 1, 0, 0 \dots ) $. Это биекция между множеством подмножеств натурального ряда и бесконечными последовательностями из 0 и 1. А далее сопоставим каждой такой последовательности соответствующее 2-(адическое) число, то есть буквально занумеруем континуум 2-(адическими) числами, где любые ближайшие 2-(адические) числа отличаются ровно на 1-цу (один элемент в множестве), и это тоже будет чистой биекцией (где буквально одной последовательности из 0 и 1 сопоставляется ровно такая же последовательность из 0 и 1)!

$ (0, 0, 0, 0 \dots )$ – 2-число, равное 0.
$ (1, 0, 0, 0 \dots )$ – 2-число, равное $2^0 = 1$.
$ (0, 1, 0, 0 \dots )$ – 2-число, равное $2^1 = 2$.
$ (1, 1, 0, 0 \dots )$ – 2-число, равное $2^0 + 2^1 = 3$ и т. д.
$ (1, 1, 1 \dots )$ – весь натуральный ряд, 2-число, равное (– 1).

А теперь скажем, что соответствующее 2-число – это порядковый номер добавления одной точки как 1-цы в множество. И нам безразлично, какие точки добавляются с точки зрения мощности. То есть в таком случае 2-числа выступают порядковыми номерами добавления последовательно по одной точке в множество. А теперь спросим, каким может быть номер добавляемой одной точки последовательно? А номер у нас соответствует 2-числу, которое представлено какой-то счетной последовательностью 0-ей и 1-ц. Эта последовательность может иметь конечное число 1-ц или бесконечное число 1-ц! То есть представлять конечные степени двойки или бесконечные степени 2-ки (вот оно – опять то же самое, как и в вышеприведенном док-ве!) Между конечным и бесконечным происходит взаимоисключающее отрицание. Здесь происходит качественный скачок. Если число 1-ц конечно, то мы имеем возможно сколь угодно большой, но конечный набор точек, то есть любое натуральное число, что и представляет собственно 2-число с конечным числом ненулевых разрядов, оно же представляет в точности единственное разложение натурального числа по степеням 2-ки. Если же нет максимальной конечной степени, то есть она бесконечна, то мы получаем континуум из-за включения бесконечной степени 2-ки.

Примечание. Далее заметим, что бесконечные позиционные числа есть естественное продолжение конечных позиционных чисел, попросту натуральных чисел, в переходе от конечной степени основания в позиционном представлении к бесконечной. Так, любое натуральное число имеет единственное представление, к примеру, по конечным степеням двойки, а бесконечное позиционное, например, 2–(адическое) число – единственное представление, уже включая бесконечные степени двойки. И переход осуществляется между ними как переход от конечной степени к бесконечной. Это естественный переход, как переход +1 в построении натуральных чисел, когда мы переходим к бесконечности.

Также отметим, что, если мы нумеруем континуум 2-числами, то счетное множество у нас не пропадает, оно получается как объединение всех точек с номерами, в двоичном разложении которых имеется только конечное число единиц, по сути мы рассматриваем множество натуральных чисел, которое и представляется как объединение всех конечных (натуральных) чисел. Точки же с бесконечной степенью двойки не принадлежат этому объединению, а бесконечная степень 2-ки свидетельствует о континууме. Так что здесь осуществляется искомый качественный скачок от счетного множества к континууму (как от всех 2-чисел с конечным числом единиц к 2-числам, содержащим бесконечно удаленную 1-цу).

Примечание. Критика 2-адического доказательства КГ. В доказательстве при нумерации промежуточно мы не получаем счетного множества, то есть у нас получается, что есть только две возможности: либо множества конечные (представленные конечным числом единиц в 2-адическом разложении), либо континуальные (когда 1-ц бесконечное число), а тогда возможно и какие-то другие мы пропустили?

На что отвечаю, мы нумеровали точки через +1, каждая континуальная точка получила свой единственный! номер (через +1), тогда как счетное множество не представляет точки, оно не может быть номером, потому что натуральная бесконечность в отличие от континуальной представляет неопределенность (в смысле счетная бесконечность в отличие от континуальной не структурирована, то есть нельзя двум разным континуальным точкам приписать два разных счетных номера, тогда как двум разным точкам можно приписать два разных континуальных номера с точность до 1-цы). Но исходя из структуры 2-адических чисел видно, что точек, у которых единиц может быть конечное число, бесконечное число, это представляет счетность разрядов 2-адического разложения. То есть мы не учли еще один вариант, что возможность конечного числа 1-ц бесконечна. Это и представляет счетность, как бесконечное объединение всех конечных чисел. Несчетность появляется только как бесконечное произведение 2-ек (но не как счетное объединение конечных или счетных). То есть точное утверждение 2-адического доказательства такого: точка может иметь 2-адический номер из конечного числа 1-ц (что представляет конечные множества), но таких точек бесконечное число (так как счетно-бесконечно число разрядов в 2-адическом представлении), что представляет счетное множество; либо точка может иметь бесконечное число 1-ц в своей записи, что представляет континуум. И других множеств не может быть, потому что других вариантов нет в структуре 2-адических чисел.

2-(адические) же числа в аксиоматике ZCF можно задать через степени 2-ки как произведение множеств, а двойку рассмотреть как множество $ \{ 0, 1 \} $.

Минимальное же отличие между двумя ближайшими 2-(адическими)-числами (да и m-числами), даже бесконечными, это в точности 1-ца. Так что нумерация у нас соответствует структуре любого множества, где минимальное отличие множеств по мощностям составляет один атом – в точности один элемент! Что отвечает коренному существу понятия количества элементов (и в множестве), где каждый элемент есть по сути 1-ца.

Примечание. Еще раз отметим удивительную вещь, любое натуральное число представляется в любой системе счисления по степеням какого-то натурального основания единственным образом. Для 2-чисел. $1+2+ \dots +2^{(n-1)} = 2^{n}-1$, вся сумма ровно на 1-цу меньше, чем следующая степень двойки n. То есть, если мы используем складывая все степени 2-ки до (n-1), мы не дотягиваемся до следующей степени ровно на 1-цу, и только $2^n$ дает нам новое превышающее число. Таким образом мы нумеруем все натуральные числа и еще получаем все 2-числа, если степень 2-ки устремляем в бесконечность, полагаем равной бесконечности. Таким образом 2-числа являются естественным продолжением построения натурального ряда. Только где степени 2-ки уже представлены бесконечным натуральным рядом.

P. S. (Далее я обобщаю этот результат и у меня получается по индукции, что кардиналы оказываются квантованными собственной степенью). А именно, для бесконечных кардиналов, лишь кардинал в собственной степени дает превосходящий по мощности кардинал. Но для этого оказывается достаточно и просто степени 2-ки. Ибо для любого алефа, строящегося по Кантору (как множество подмножеств), верно ${\aleph}^{\aleph} = 2^{\aleph}$.

Относительно квантованности множеств. Например, $\aleph_0 + 1 = \aleph_0$, $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$, $\aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0$. Тогда определение квантованности множества звучит так: множество квантовано, если по мощности сложение его с самим собой и умножение его на себя не меняет мощности множества. Тогда как, например, для конечных степеней 2-ки, конечные множества $2^2=4$ и $2^3=8$ имеют между собой иные множества, например, $4+1=5$. Это происходит в силу того, что конечные множества квантованы 1-цей, базовым элементом теории множеств (то есть отличаются друг от друга минимум на 1-цу). А бесконечные алефы квантованы собственной степенью (ибо сложение с самим собой и умножение не выводит из кванта мощности, а степень является естественным продолжением операции сложения и умножения). То есть прибавление алефа к себе и умножение алефа на себя не выводит из кванта мощности алеф, и лишь только степень, равная самому алефу, повышает алеф на 1-цу.

[Someone]

Alexeev_Andrey в сообщении #1259736 писал(а):

Если даже просто положить символично $k={\infty}$, то $\sum\limits_{i=1}^{\infty} {\mathbb N}^i = {\mathbb N}^1 + {\mathbb N}^2 + \dots + {\mathbb N}^{\infty}$.

Это, извините, бред. Что такое $\mathbb N^{\infty}$ — никому неизвестно, поскольку символ $\infty$ в таких выражениях никогда не употребляется, о чём Вам было сказано в сообщении, непосредственно предшествующем вашему. В сумме $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\ldots$ параметр $i$ по определению этой суммы принимает натуральные значения $1,2,3,\ldots$, в то время как $\infty$ натуральным числом не является. Поэтому Вы пишете просто бессмыслицу.

Alexeev_Andrey в сообщении #1259736 писал(а):

Отмечу, что уже сумма $\sum\limits_{k=0}^{\infty} 2^k$ континуальна и равна (-1).

Извините, а определение суммы числового ряда Вы можете сформулировать? И что, Вы хотите сказать, что континуум — это $(-1)$? Вы можете привести пример множества, мощность которого была бы меньше мощности пустого множества?

Alexeev_Andrey в сообщении #1259736 писал(а):

Если же нет максимальной конечной степени, то есть она бесконечна, то мы получаем континуум из-за включения бесконечной степени 2-ки.

Видите ли, множество целых $2$-адических чисел действительно имеет мощность континуум. И число $\ldots 1111$ действительно, в некотором смысле, соответствует действительному числу $-1$, поскольку пуолучается вычитанием $0-1$ в поле $2$-адических чисел (однако знак "$-$" при записи $2$-адических чисел не употребляется). Но никаких "бесконечных степеней" там нет. Просто по определению $2$-адических чисел, которое Вы безбожно перевираете, заменяя собственными фантазиями.

Как перевираете и многое другое, упомянутое в вашем сообщении. И, что существенно, к континуум-гипотезе всё это не имеет ни малейшего отношения. Просто тот факт, что Вы не в состоянии определить множество промежуточной мощности, не означает, что такого множества нет.

[Мастак]

Alexeev_Andrey, Вам не кажется, что в Ваших выводах и доводах много просто
логически противоречивых утверждений, из которых, если они рассматриваются вместе, не может ничего следовать?
И такие противоречия появляются уже на уровне исходных понятий, когда они еще
не применяются к бесконечным множествам разной мощности (и в связи с кардинальными числами).

Вот, например, пара таких противоречий.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

Определение: «Множеством называется совокупность различных элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества.»

................

Утверждение $1$. Каждому отдельному элементу любого множества можно сопоставить единицу, $1$, обозначив тем целостность элемента и отличие его от других элементов. Таким образом любое множество можно рассматривать формально как состоящее из множества отличных друг от друга $1$-ц. Что является ничем иным как абстрагированием от природы элементов. То есть чистой воды математическим формализмом. Тогда количество элементов в множестве представляет собой количество $1$-ц данного множества.

...............

Для лучшего понимания. Рассмотрим множества, состоящие из одних $1$-ц.
Назовем их унифицированными множествами. Причем, вместо единиц можно рассмотреть любые идеальные объекты, абсолютно тождественные друг другу (и такое возможно только в математическом идеализме). Любое множество, состоящее из каких-то элементов с точки зрения количества элементов можно рассмотреть просто, как множество, состоящее из одних $1$-ц, то есть как унифицированное множество. С точки зрения равномощности нам все равно из чего состоят множества, для нас важно количество его элементов.

Элементы, которые рассматриваюся и условно называются "единицами" различимы?

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

$0=\varnothing$
$1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing\right\}$
$2=\left\{0,1\right\}=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
$3=\left\{0,1,2\right\}=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

...................

Так конечные множества в унифицированном виде будут представлять $0= \{ \varnothing \}, 1= \{ 1 \}, 2= \{ 1, 1 \}, k = \{ 1, 1, 1, … 1 \}$ ($k$ единиц). Бесконечный натуральный ряд $\mathbb N = \{ 1, 1, 1, … \}$.

Условно-называемые и рассматриваемые "единицы" составляют множества, либо кортежи, либо еще что-то?

Наборы же \{ 1 \}, \{ 1, 1 \}, \{ 1, 1, 1… 1 \}$ не являются множествами.
Длины кортежей (наборов, tuples, ...) [ 1 ], [ 1, 1 ], [ 1, 1, 1… 1 ]$ разные,
а мощности множеств, составленных из элементов каждого кортежа одинаковы.

_________
И т.п.

[atlakatl]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144505 писал(а):

При $k$ равном бесконечности мы получим множество, которое имеет мощность континуума. $\mathbb N^{\mathbb N} = \mathbb N^{\infty}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb N$

Попробуйте описать процесс пересчёта "не останавливаясь" по этому множеству. Например, начали мы с единиц:
(1, 1, 1, 1, ...) - первый элемент.
Каким будет второй?
На каком шаге мы достигнем элемента (2, 2, 2, 2, ...)?
К счётному множеству можно прибавлять сколь угодно подобных ему, - получится тоже счётное множество. Но пробуя перейти ко "второй бесконечности", полезно практически опробовать свои идеи.

[Мастак]

Xaositect в сообщении #1157981 писал(а):

Цитата:

Между конечной степенью и бесконечной степенью нет промежуточной. Значит нет и множества по мощности между счетным и континуальным множествами.
...
И промежуточных множеств между счетными и континуальными нет в силу того, что нет промежуточного множества между конечным и бесконечным. Здесь дело все в качестве исключающего отрицания.

Ошибка тут. Не расматриваются подмножества, которые не имеют вида $\mathbb{N}^k$. Если рассматривать только множества, равномощные $\mathbb{N}^T$, то континуум-гипотеза для таких очевидно верна, вся проблема именно в "плохих" множествах.

Имхо, это не столько "ошибка", а сколько то, что как раз требуется доказать в контексте континуум-гипотезы.

Имхо, даже теорема Кантора о несчетности отрезка ("о несчетности континуума", ...), не смотря на кажущуюся очевидность, еще не доказана (в парадигмах существующих в классических теориях множеств понятий), хоть и является интуитивно-внятной гипотезой. А континуум-гипотеза совсем не очевидна, и, имхо, в, так сказать, неканторовских теориях множеств не верна.

[Alexeev_Andrey]

Ответ оппонентам:

Мастак, поразмышляйте над $1 + 1 = 2$ (я серьёзно, с одной стороны складываются абсолютно тождественные единицы, а с другой стороны это различные 1-цы).

P. S. Также существует понятие «мультимножества», допускающее повторение элементов.
Пример 1. Пусть у вас есть множество $\{ 3, 4 \}$. Сколько элементов в данном множестве? $1+1 = 2$, а не $3+4 = 7$.
Пример 2. У Пети есть три рубля, новеньких, блестящих, только что из Монетного двора. Сколько у Пети может быть денег по величине? Ничего, 1 рубль, 2 рубля, 3 рубля. Как ни крути. Но Петю убеждают, что рубли все же разные $\{ 1, 2, 3 \}$ и, к примеру, одни 2 рубля – это не те 2 рубля, что из других момент, которые Петя как ни старался, не мог отличить.
Суть элемента в множестве с точки зрения мощности – место. Одно место. Единицами я обозначаю места в множестве, как колышками.
Когда вы едете, например, в путешествие на каком-то транспорте, вам говорят, вы можете иметь, к примеру, только 3 места $\{ 1, 1, 1 \}$, а чем вы их заполните, каким багажом, сумками, чемоданами – это ваше дело. По сути в унифицированном множестве 1-ца обозначает место в множестве. Три единицы – три места, куда можно поместить какие угодно три различных элемента. Это же по сути и означает количество элементов.
Мне же просто удобно рассматривать множества, состоящие из одних 1, понимая, что обычная сумма их дает их естественное количество. И не нужно, когда я складываю кол-во элементов $ \{ a, b, c \} $ все же складывать $1+1+1$. И 1–ца для меня вместе с тем – обозначение некоей целостности (элемента), отличной от всего остального.
К тому же, знаете, Коэн в своем док-ве рассматривал независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 0 и 1, причем брал их в количествах, больших континуума. Так вот они тоже между собой равны, унифицированы, а значит представляют один элемент по вашей логике. Я же рассматриваю просто независимые 1-цы. Тождественные величины и все же разные, $x=1, y=1$ (перпендикулярные) функции, которые еще проще, чем независимые случайные величины, просто независимые 1-цы, безликие места в множестве.
Еще пример относительно использования случайных величин Коэном. У Вани есть три попытки подбросить монетку. Рассмотрим это как множество попыток Вани подбросить монетку. Ваню просят провести эксперимент с подбрасыванием монетки в соответствие с множеством подмножеств данного множества попыток. И Ваня не понимает, то ли у него есть всего четыре возможности – это не подбрасывать монетку, подбросить одни раз – одна попытка, подбросить два раза подряд – две попытки и подбросить три раза подряд – три попытки, или есть возможность ничего не делать, три возможности по одной попытке, три возможности по две попытки, одна возможность совершить три попытки. Ваня в растерянности.
А вот что по этому поводу говорит сам Кантор: «Мощностью или кардинальным числом множества M мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из M, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания. Так как из каждого отдельного элемента m, когда мы отвлекаемся от качества, получается некая «единица», то само кардинальное число оказывается множеством, образованным исключительно из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как проекция заданного множества M в наш разум».

P. S. Впрочем, чтобы это не смущало, я потом взял произвольные элементы $x_i$, нумерацию переведя в индексы.

По поводу док-ва, у нас есть соответствие:

$1 - {\mathbb N}^1$
$2 - {\mathbb N}^2$
…
$\infty - {\mathbb N}^{\mathbb N}$

И у нас есть только два числа: 0 (конечные степени) и 1 (бесконечная степень). Пусть есть число $a > 0$, чему оно равно? $a = 1$. Если это не кажется очевидным и мнится, что там может быть еще что-то между, то обратитесь к 2-адическому док-ву, поскольку, если оно верно, то верно и то, о чем я говорю. (Впрочем, так как вы лично в континуум не верите, и, как я понял, считаете его счетным, то и континуум гипотезы для вас не существует; кстати, существуют теории, которые считают континуум счетным, но я эти теории почитаю псевдотеориями, это все равно, что, к примеру, если я имею одно и одно яблоко – два яблока, но мне хотят доказать, что у меня их 3 или 4 и т.д., эти теории авторы пусть рассказывают кассирам, когда они им сдачу давать будут, я же придерживаюсь понятия, что мощность множества – понятие абсолютное, как 1-ца).

atlakatl, от точки $(1, 1, 1 \dots )$ до точки $(2, 2, 2 \dots )$ – 0 шагов, ибо это результат бесконечной степени. С тем, что простым прибавлением 1-ц к счетному множеству получается только счетное множество, я согласен. Но и к конечному числу если вы будете прибавлять конечное число 1-ц, то все равно будете получать конечное число, а не счетное. Чтобы из конечного получить счетное, надо прибавить бесконечное счетное.
Прибавляя по 1-це я получаю конечные степени, у меня возникает таким образом единственная переменная величина – это степень $\mathbb N$, которая может быть только конечной или бесконечной. (Я давно поправил, что по одной точке прибавлением нельзя дойти до континуума, просто я не могу отредактировать здесь).

Someone. Посмотрите на суммы $S_k = \sum\limits_{i=1}^{k}1 = k, k \in \mathbb N$ (эта сумма включительно до k, а не только до k-1), для каждого конечного $k \in \mathbb N$ она конечна, то есть, во-первых, в этом ряду, множестве $\{ S_k \} (k \in \mathbb N)$, нет суммы $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1$, а во-вторых сумма $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$ (и любое бесконечное количество 1-ц бесконечно). Вопрос: бесконечность как верхний показатель суммы включен в сумму? Мы видим, что включен. Вы можете утверждать, что это сумма по всем конечным, исключая бесконечность, но сумма 1-ц до бесконечности утверждает обратное. Ибо, если мы рассмотрим частные суммы только по конечным числам $k, S_k$, то бесконечная сумма не будет принадлежать им, ибо она представляет бесконечность, но коль запишем $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$, то бесконечность уже включается. Также и $\sum\limits_{i=0}^{k} 2^i = 1 + 2 + \dots + 2^k$; $\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^i = 1 + 2 + \dots + 2^{\infty}$. Вот вам и определение суммы, нижний и верхний показатели суммы включены. Если же вы скажите, что сумма только по конечным, тогда нельзя писать символ бесконечности, ибо он указывает на включение бесконечности. Если брать сумму только по конечным, то до бесконечности мы не дотягиваем, она исключается.
Я и в учебнике (академика) П. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» видел, что он понимал под бесконечной суммой только по конечным числам, но это оказывается неверным, вот и все.
Далее предположим, что 2-адическая сумма $m_2 = 1+2+4+ \dots = - 1$ счетна, то есть она только по конечным степеням из $\mathbb N$ и не включает в себя $2^{\infty}$. Так как она является заведомо самой большой из всех 2-адических сумм, предшествующих ей, то каждая из предшествующих также не более чем счетна. Причем все они различны, в смысле отличаются друг от друга по крайней мере на 1-цу. А тогда мы занумеровали континуум счетными числами, то есть построили биекцию между континуумом и счетными числами, что противоречиво (?!) Странно было бы, если бы мы слева выписали континуум чисел, а справа различные суммы оставались бы счетными. Проще говоря, если последний 2-адический номер счетен, то континуум счетен. Полученное противоречие доказывает, что исходная сумма континуальна и включает в себя $2^{\infty}$. А посему $\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^i = 1 + 2 + \dots + 2^{\infty}$.
Давайте прямо посчитаем, сколько у нас справа и слева чисел. 2-адических чисел $2^{(\infty+1)}$ (степень по числу в ряде $0, 1, 2 \dots $) – видите, бесконечность включается уже (а если нет, то тогда и вещественных чисел в двоичном представлении на отрезке $[0, 1]$ будет счетное число); слева будем считать так: множество со всеми нулями и множество с одной единицей в нулевом разряде – 2, множества с двумя единицами в первом разряде – 2, множества с двумя единицами во втором разряде – 4 и т.д. В сумме $2+2+4+ \dots +2^{\infty} = $ $1 + 2^{(\infty+1)} - 1= 2^{(\infty+1)}$. А вот если мы будем слева брать только по конечным степеням, то до континуума мы не дойдем, так что бесконечность включена.
Также заметим, что в начале до континуума у нас имеется следующее неравенство $2^{\infty} > 2^k > 1+2+ \dots +2^{(k-1)}$, для любого $k \in \mathbb N$. А $1+2+ \dots +2^{(k-1)}$ задает все натуральные числа до $2^k - 1$ включительно путем всевозможных комбинаций степеней 2-ки от 0 до k-1. Это к тому, что до континуума порядок на 2-числах вполне определен.
Если к числу $m_2$ прибавить единицу 1, то получится $0 = 2^{(\infty+1)}$, можете считать это пустым множеством. Я же даю иную интерпретацию сему факту как показателю некого предела мощности континуума, предела точек евклидова пространства, являющегося основой нашей физической реальности. Для меня же то, что $m_2+1= 0$ вовсе не означает, что это пустое множество и, например, нет множества подмножеств континуума. Похоже: находясь в трехмерном пространстве, составляющим нашу реальность, мы все же рассматриваем пространства и 4-ой и больших размерностей уже как чисто идеальные конструкции, похоже и с мощностями, превышающими континуум. Но вот что важно и что дает мне право давать такую интерпретацию, так это то, что операции умножения на 2 до бесконечности соответствует обратная операция деления пополам до бесконечности. Так вот если взять некую единичную длину и делить ее пополам до бесконечности, то мы получаем величину $1/{2^{\infty}}$ , а в силу того, что $2^{(\infty+1)} = 0$, мы получаем, что величина $1/{2^{\infty}}$ неделима более, ибо на ноль делить нельзя. Вот это величину я и полагаю в качестве величины точки, отличной от ноля, что соответствует древнему определению точки Эвклида, как идеального неделимого атома, того, что не имеет частей. А отсюда проистекает важное следствие, что на ${\mathbb R}^n$ и вовсе нет открытых множеств кроме пустого множества и всего ${\mathbb R}^n$, то есть все множества на ${\mathbb R}^n$ замкнуты, что вполне естественно в силу того, что все множества содержат все свои точки и граничные в том числе, но это предмет другой темы. Отмечу также, что я теперь несколько критически отношусь к понятию предела сходимости по Коши, и к пределу сходимости ряда в частности (ибо $1/{\infty} \ne 1/{2^{\infty}} \ne 0 $ ).
С утверждением, что «если мы не можем нечто определить, это не значит, что оно не существует» я согласен. Только это вы к чему? К тому, что если мы не можем определить множества промежуточные по мощности между конечными и счетным, то это не значит, что они не существуют, не прячутся где-то между? Ну так вам никто не запрещает так считать. Каждый волен верить в какую угодно глупость.
И в математике не достаточно только заучивать стандартные формулировки.
Примечание. Гильберт об одном из аспирантов, бросившем математику и «переквалифицировавшемся» в поэты: «Это хорошо, у него было слишком мало фантазии для математика». Хотя я с этим не вполне согласен, ибо в математике полет фантазии довольно ограничен математической определенностью.

Можно спросить, а какому натуральному числу слева в нашей биекции между множествами подмножеств $\mathbb N$ и 2-числами соответствует бесконечно удаленная единица справа в 2-числах? Ответ: бесконечно удаленному числу слева, ибо бесконечность – это то, что не имеет конца…

Натуральные (конечные) числа составляют счетную бесконечность, поэтому счетная бесконечность должна принадлежать множеству натуральных чисел. Ведь мы говорим, натуральный числа до бесконечности (поэтому бесконечность и включается в этот ряд в пределе символично как $\matnbb N$). Ибо интересно отметить, что хотя множеству конечных натуральных чисел $S_k = \sum\limits_{i=1}^{k}1 = k$, для конечных $k \in \mathbb N$, и не принадлежит сумма $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$, но она уже является подмножеством множества натуральных чисел, ибо натуральный ряд составляет уже бесконечность и содержит в себе бесконечные множества (например, множество четных чисел или все $\mathbb N$), первичной же их основой является просто $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$, бесконечно удаленная 1-ца слева в множестве подмножеств натурального ряда, которой справа отвечает бесконечно удаленная 2-адическая 1-ца, $2^{\infty}$, равная как раз континууму.
Парадоксальность натурального ряда состоит в том, что он хоть и состоит по определению из конечных чисел, но если мы рассмотрим все конечные числа, то ряд составляет бесконечность, то есть «максимальным натуральным» числом оказывается не конечное число, а счетная бесконечность $N = \sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$. Если мы безостановочно будем прибавлять по 1-це, то получим ее, а с остановками – все натуральные, конечные числа. Поэтому счетная бесконечность оказывается подмножеством натурального ряда как элемент.
Для примера рассмотрим бесконечное подмножество $\mathbb N$, которое имеет вид $(1, 0, 1, 0 \dots)$ И спрашивается, какое конечное натуральное число соответствует бесконечно удаленной единице? Это может быть только бесконечное число, равное бесконечной суме 1-ц. Поэтому $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$ включается в множество натуральных чисел, $\mathbb N$.
Если бы $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$ не принадлежало бы $\mathbb N$, то $\mathbb N$ вообще не было бы бесконечным, ибо мы имеем бесконечную последовательность возрастающих чисел, то есть последовательность $\sum\limits_{i=1}^{\infty}1 = \infty$. Поэтому множество всех конечных чисел содержит и бесконечность как элемент. Конечные переходят в бесконечность, когда мы не останавливаемся на пути их увеличения.
Мы заключаем о бесконечности конечных чисел на основании того, что каким бы большим ни было конечное число прибавление 1-цы дает большее число, то есть ряд конечных чисел не имеет конца. Но когда мы говорим о «всех» строго возрастающих конечных числах, то тут же в их ряд естественным образом включается бесконечность. Если нет, то так как натуральных (конечных) чисел бесконечное число (счетное), то просьба назвать бесконечное конечное число? Такового нет, а потому бесконечность как элемент необходимо входит в бесконечное множество $ \mathbb N = \{ 1, 2, 3 \dots \infty \}$. Если же мы говорим только о конечных числах, то мы не можем допустить бесконечность в их ряды. Поэтому строго говоря мы не можем рассмотреть все только конечные числа. Когда мы говорим о бесконечно больших конечных, у нас процесс оказывается всякий раз не завершенным, не уходящим в бесконечность, а фиксируется, останавливается на каком-то бесконечно большом конечном числе.

Примечание. Также я понял еще одну интересную вещь, исходя из того, что $\infty$ принадлежит как бесконечно удаленный элемент множеству натуральных чисел, $\mathbb N$. Рассмотрим множество всех кардиналов $\{ k_1, k_2 \dots \}$. Это строго возрастающая последовательность кардинальных чисел, мощностей. Так вот Кантор, а вслед за ним и Хаусдорф в своей книги «Теория множеств» (под редакцией академиков Колмогорова и Александрова) утверждают, что этого множества не существует, наткнувшись на поразительный парадокс, то есть данное множество по их представлениям оказывается невозможным. В связи с чем Кантор даже ввел понятия «консистентных» (состоятельных) множеств и «неконсистентных» множеств. А парадокс, по их мнению, заключается в том, что если мы рассмотрим простую сумму всех этих кардиналов $K = \sum k_i$, то получим кардинал, во-первых, больший каждого из представленных в множестве кардиналов, а во-вторых, не совпадающий ни с одним из представленных в множестве кардиналов по мощности, то есть строго больше каждого. И отсюда заключается, что мы построили кардинал строго больший, чем все представленные в множестве кардиналы (О, как и я ошибался, спотыкался на похожем, когда произносил слова «если строго больше каждого, то больше всех»!). На что хочется заметить, во-первых, данный суммарный кардинал состоит только из представленных кардиналов и более не из чего! То есть, он естественно не может быть строго больше всех представленных в множестве кардиналов, ибо состоит только из них, и сливается воедино с бесконечно удаленным кардиналом по мощности. Действительно, предположим, что суммарный кардинал строго больше, чем все представленные в множестве кардиналы, тогда давайте вычтем из него все эти кардиналы, и что тогда от него останется? Ничего. 0. То есть он не может быть строго большим, чем все представленные кардиналы.
Давайте рассмотрим примеры, иллюстрирующие данное положение.
Рассмотрим множество только строго конечных степеней 2-ки, где k – строго конечно: $ \{ 1, 2, 2^2 \dots 2^k \dots \}$. С одной стороны – это множество не конечно (а значит бесконечно), с другой стороны, каждый его член принадлежит строго множеству натуральных, конечных чисел, а общая сумма строго по конечным степеням счетна. Так вот из нашего понимания множества натуральных чисел, как бесконечного и содержащего бесконечно удаленный элемент, данное множество включает необходимо в себя бесконечность как бесконечно удаленный элемент $\{ 1, 2, 2^2 \dots 2^k \dots \infty \}$, с которым и сливается общая сумма.
Рассмотрим вышеприведенный ряд, но где k может быть и бесконечным, то есть множество $\{ 1, 2, 2^2 \dots 2^k \dots 2^{\infty} \}$. Тогда сумма данного ряда сливается с бесконечно удаленным элементом по мощности $2^{\infty}$, то есть эта сумма континуальна и опять не строго больше, чем все члены в данном множестве.
Рассмотрим теперь обычный натуральный ряд $\{ 1, 2 \dots k \dots \}$. Так вот по нашим представлениям он необходимо содержит бесконечность как бесконечно удаленный элемент $\{ 1, 2 \dots k \dots \infty \}$. Вспомним, k может быть строго конечным или бесконечным! А потом сумма данного ряда в любом случае счетна и хотя и строго больше каждого конечного члена в множестве, но сливается воедино с бесконечно удаленным элементом, то есть с $\infty$-тью. В любом случае натуральный ряд счетен и сумма счетна, и не возникает при суммировании кардинала строго большего, чем счетный.
Тем самым множество всех кардиналов существует непротиворечивым образом, противоречие снимается. И если принять во внимание, что операция построения множества подмножеств идет как +1, то мы получаем, что множество кардиналов счетно. Кардио Кардинале (Кардинал кардиналов) счетен.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Петя как ни старался, не мог отличить

Я помогу Пете: эти рубли легко отличить по признаку "лежат ли они в кармане Пети или нет".

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Вопрос: бесконечность как верхний показатель суммы включен в сумму?

Ответ: обозначение $\sum\limits_{i=k}^\infty$ обозначает отдельное понятие, существенно отличающееся от конечных сумм $\sum\limits_{i=k}^n$. Если сильно хочется, можно вообще вместо $\sum\limits_{i=k}^\infty$ писать $\underset{i=k}\bigstar$, и по определению будет $\underset{i=k}\bigstar x_i = X$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \forall n > n_0: \left|\sum\limits_{i=k}^n x_i - X\right| < \varepsilon$.

Заметьте, что тут вообще нет символа $\infty$. Этот символ нельзя выдрать из обозначения $\sum\limits^\infty$, и искать у него самостоятельный смысл - это примерно как анализировать отдельно вертикальную черту и точку в символе $i$.

Что значит $2^\infty$ вы не определили, поэтому все рассуждения про него можно и не пытаться читать.

(общие рекомендации)

Вообще, я бы предложил вам ознакомиться с какой-нибудь современной книгой по теории множеств (например, Верещагин, Шень, "Введение в теорию множеств"), посмотреть, как там вообще формулируются определения и утверждения, и если что-то останется непонятным - приходить с вопросами.
Да, аккуратно работать с бесконечными множествами - сложно, человечеству не просто так понадобились сотни лет, чтобы сформулировать современную теорию. Если вы будете пытаться ее переизобрести, начиная с наивных понятий - вряд ли у вас получится что-то хорошее.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Некоторым сложно сделать шаг назад, подумать и иметь частицу терпения — а разобраться с бесконечными множествами в том объёме, в котором они необходимы здесь, по-моему, совершенно несложно. Пока сложности первого вида не будут преодолены, вообще мало что можно освоить.

[Someone]

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Вопрос: бесконечность как верхний показатель суммы включен в сумму?

Мы знаем, что не включён: в определении суммы $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сказано, что $k$ — натуральное число, в то время как символ "$\infty$" никакого натурального числа не обозначает, как бы Вам этого ни хотелось. Я понимаю, что Вам этого очень хочется, но этого нет.

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Рассмотрим множество всех кардиналов $\{ k_1, k_2 \dots \}$. Это строго возрастающая последовательность кардинальных чисел, мощностей. Так вот Кантор, а вслед за ним и Хаусдорф в своей книги «Теория множеств» (под редакцией академиков Колмогорова и Александрова) утверждают, что этого множества не существует

Совершенно верно: различных кардиналов так много, что их невозможно собрать в одно множество.

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Так вот из нашего понимания множества натуральных чисел, как бесконечного и содержащего бесконечно удаленный элемент

Это исключительно ваше "понимание", противоречащее определению натурального ряда.

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

$2^{\infty}$

Такая запись в теории множеств никогда не используется, поскольку сам символ $\infty$ — не из теории множеств, а из математического анализа, и вводится исходя из нужд теории пределов, а вовсе не теории множеств. Этот символ не имеет никакого отношения к понятию мощности множества. Тем более бессмысленно утверждение, что

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

по мощности $2^{\infty}$, то есть эта сумма континуальна

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Тем самым множество всех кардиналов существует непротиворечивым образом, противоречие снимается. И если принять во внимание, что операция построения множества подмножеств идет как +1, то мы получаем, что множество кардиналов счетно.

У Вас воображения не хватает.

Alexeev_Andrey в сообщении #1277618 писал(а):

Я и в учебнике (академика) П. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» видел, что он понимал под бесконечной суммой только по конечным числам, но это оказывается неверным

Безнадёжно. И не потому, что Павел Сергеевич был академиком, а потому, что Вы читаете учебник, видите, что учебник с Вами не согласен, но считаете себя умнее всех.

Бросили бы это всё. Ведь всё равно дело кончится тем, что Вас заблокируют за агрессивное невежество. Убедить специалистов Вы не сможете, потому что у специалистов есть чётко сформулированные аксиомы, правила вывода, определения, теоремы… А у Вас ничего этого нет, только смутные представления на бытовом уровне и желание прославиться. Но Вы неудачно выбрали место, где хотите прославиться.

[Alexeev_Andrey]

mihaild в сообщении #1277625 писал(а):

Что значит $2^{\infty }$ вы не определили

Мне казалось, это очевидно.

Положим $\infty = 1+1+1 \dots$
Тогда $2^{\infty } = 2^{(1+1+1 \dots )} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \dots = \prod\limits_{i=1}^{\infty} 2.$
На языке теории множеств $|2^{\mathbb N}| $ - мощность множества всевозможных функций из $\mathbb N$ в $\{ 0, 1 \}$ (что биективно множеству всех подмножеств $\mathbb N$, что биективно счетным последовательностям из 0 и 1), количество которых равно $2 \cdot 2 \cdot 2 \dots = \prod\limits_{i=1}^{\infty} 2$. Так что $|2^{\mathbb N}| = |2^{\infty}|$. Также $ \infty = |\mathbb N| = \aleph_0$. $|2^{\mathbb N}| = 2^{|\mathbb N |} = 2^{\infty} = 2^{\aleph_0}$.
Если в записи $2^n = \prod\limits_{i=1}^{n} 2$ символически положить $n=\infty$, то получим $2^{\infty} = \prod\limits_{i=1}^{\infty} 2$. Что представляется естественным.
Можно перейти на язык кардиналов, заменив символ $\infty$ на $\aleph_0$, а символ $2^{\infty }$ на $\aleph_1$, то есть перейти на язык кардинальных чисел. Тогда в запись натуральных чисел можно просто добавить эти числа по необходимости: $\{ 1, 2, 3 \dots \aleph_0 \}$ и $\{ 1, 2, 3 \dots , \aleph_0, \aleph_1 \}$, понимая под этим последовательность кардинальных чисел.
Так вот я утверждаю, что $\mathbb N = \{ 1, 2, 3 \dots \aleph_0 \}$, то есть кардинальное число $\aleph_0$ принадлежит $\mathbb N$, оно же составляет его мощность.
Но отметим, что последовательность $1, 2, 3 \dots \infty$ заключает в себе строгий порядок, а кардинальное число $\aleph_0$ лишь говорит о счетной мощности.

mihaild в сообщении #1277625 писал(а):

Обозначение $\sum\limits_{i=k}^\infty$ обозначает отдельное понятие, существенно отличающееся от конечных сумм $\sum\limits_{i=k}^n$. Если сильно хочется, можно вообще вместо $\sum\limits_{i=k}^\infty$ писать $\underset{i=k}\bigstar$, и по определению будет $\underset{i=k}\bigstar x_i = X$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \forall n > n_0: \left|\sum\limits_{i=k}^n x_i - X\right| < \varepsilon$

Это определение 200-летней давности.

Величина $1/2^{\infty}$ определяется как величина, получаемая бесконечным делением пополам некоторой единичной длины. И в конце концов сперва мы получаем некую неделимую величину, точку, прямо по Эвклиду, то, что не имеет частей, что не делится (что согласуется с тем, что $2 \cdot 2^{\infty} = 0$). И это не 0 по сути, а потому некая величина, большая 0 (даже не затрагивая понятия меры, да и чистый ноль сколько не суммируй и не умножай, все равно будет ноль).
Положим $\varepsilon = 1/2^{\infty}$ (в определении сказано о любом $\varepsilon$). Просьба указать $n_0 \in \mathbb N$, начиная с которого последовательность $1/n$ будет сходиться к 0. То есть будет $1/n < 1/2^{\infty}$ для всех $n\geqslantn_0, n \in \mathbb N$.
А также просьба указать епсилон-шар (радиус) с центром в точке $1/2^{\infty}$, не касающийся нуля.

Говоря о бесконечной сумме, какой бы ни был символ, это символ по существу бесконечной суммы.
Более внимательно присмотревшись к определению понятия бесконечной суммы, как предела последовательности конечных, частичных сумм, по конечным аргументам, обнаружил, что связано это и с неудобными моментами в представлении вещественных чисел и 2-адических чисел, относительно элементов $1/2^{\infty}$ и $2^{\infty}$. Ну так эти «неудобные моменты» существенны. Ибо хотя бы $1/2^{\infty}$ - это действительная точка, а $2^{\infty}$ - это 2-адическое число.

Например, считается, что величина $0,1111… = 1$. Но если мы даже запишем то, что слева в виде строго упорядоченной суммы не только по конечным степеням, но как $1/2 + 1/{2^2} + \dots + 1/{2^{\infty}}$, то все равно не получим в точности 1-цу. Ибо если к указанной сумме еще добавить величину $1/2^{\infty}$, то в силу строгой упорядоченности натурального ряда, формально считая, что $1/2^{\infty} + 1/2^{\infty} = 1/2^{\infty - 1}$, $1/2^{\infty - 1} + 1/2^{\infty - 1} = 1/2^{\infty - 2}$ и т.д., общая сумма в аккурат свернется до $1/2 + 1/2 = 1$. Равно числа $0,1$ и $0,0111 \dots$ в абсолютной точности не равны, а уже хотя бы банально различаются по записи. И равенство здесь условное в силу определения предела сходимости.

P. S. Рекомендуемую вами книгу Н. К. Верещагин, А. Шень «Начала теории множеств» я штудировал относительно кардиналов, оттуда-то я и понял, что $0,111 \dots$ не равно 1, и даже написал автору, на что автор ответил, что это в силу определения предела по Коши.

Someone в сообщении #1277808 писал(а):

В определении суммы $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сказано, что $k$ — натуральное число, в то время как символ "$\infty$" никакого натурального числа не обозначает, как бы Вам этого ни хотелось. Я понимаю, что Вам этого очень хочется, но этого нет.
Это исключительно ваше "понимание", противоречащее определению натурального ряда.

Бесконечность – не конечное число. Это предел всех конечных чисел.
Можно определять, что угодно и как угодно, но остается вопрос, будет ли это существовать так, как мы определили.
Говоря о «всех» натуральных числах, получается, что они неразрывно (то есть не оторвать от «всех» натуральных чисел) связаны со своим бесконечным пределом. И этот предел ($\infty$) необходимо оказывается в множестве натуральных чисел.
Говоря о «всех конечных числах», надо понимать, что конечные числа при слове «все» переходят неразрывно в бесконечность. Когда же мы говорим только о конечных, то всегда с некоторой остановкой, как о бесконечно больших конечных.

Утверждение. $\infty$ как элемент $\in \mathbb N$.
Помнится, я из утверждения, что счетность ${\mathbb N}^k$ верна для любого конечного $k \in \mathbb N$ , делал вывод, что значит это верно и для всего $\mathbb N$, например, что ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ – счетно (коль $\mathbb N$ состоит только из конечных чисел), на что мне было указано на ошибку, что «до бесконечных множеств мне не дотянуться», что «стоит различать бесконечно большие конечные и бесконечное», то есть я не могу заключить из утверждения, что если для любого конечного $k \in \mathbb N$ нечто верно, например, что ${\mathbb N}^k$ счетно, то это верно и для всего $\mathbb N$ (для ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ это не верно). А отсюда также как раз и следует, что $\infty$ принадлежит $\mathbb N$, что $\mathbb N$ не ограничивается только конечными числами.
Далее приведу утверждение: от каждого конечного натурального числа до счетной $\infty$-ти – счетная $\infty$-ть. Раз от каждого, любого конечного, значит, от всех конечных натуральных чисел до $\infty$-ти – $\infty$-ть, то есть от всего $\mathbb N$. И таким образом получается, что счетная $\infty$-ть недостижима. Но конечные числа составляют эту самую бесконечность, что противоречиво. А тогда $\infty$, как предел, принадлежит $\mathbb N$. $\infty$ прямо «светится» в $\mathbb N$, $\infty = |\mathbb N|$.
В утверждении «множество натуральных чисел бесконечно» звучит «натуральное число может быть бесконечным» (но счетным, как, например, число вещей, предметов в нашем мире – доказывается это, к примеру, по наличию епсилон-шара с рациональными координатами в каждом ограниченном материальном объекте, хоть в атоме); «нет максимального натурального конечного числа – оно бесконечно, как бесконечен натуральный ряд».
Если мы рассмотрим максимальный элемент множеств $\{ 1, 2, 3 \dots n \}$ с бесконечно большим, но конечным числом элементов $n \in \mathbb N$, то увидим, что максимальный элемент совпадает с количеством элементов в множестве. В принципе n может быть либо бесконечно большим, но конечным, либо бесконечным. В множестве $\mathbb N$ бесконечное число элементов, значит максимальный элемент в нем очевидно равен счетной $\infty$ -ти, ибо в нем нет максимального конечного элемента.
То есть можно говорить о конечных натуральных числах и о бесконечном натуральном числе. (Это опять же подтверждает и тот факт, что кол-во вещей, натуральных, материальных предметов счетное число.)

Еще раз о бесконечной сумме и существе тела доказательства континуум-гипотезы.
Выпишем 2-адические числа, соответствующие множествам подмножеств $\mathbb N$, более точно, структурно, по блокам, где каждый блок 2-адических чисел состоит из $2^k$ чисел ($k \in \mathbb N$), оканчивающихся строго на 1-цу:

$ (0, 0, 0, 0 \dots )$ 2-число, равное 0.

$ (1, 0, 0, 0 \dots )$ - 2-число, равное $2^0 = 1$.

$ (0, 1, 0, 0 \dots )$ - 2-число, равное $2^1 = 2$.
$ (1, 1, 0, 0 \dots )$ - 2-число, равное $2^0 + 2^1 = 3$

$ (0, 0, 1, 0 \dots )$ - $2^2=4$.
$ (1, 0, 1, 0 \dots )$
$ (0, 1, 1, 0 \dots )$
$ (1, 1, 1, 0 \dots )$ - $2^3 - 1 = 7$ и т. д.

Если рассматривать степени только по конечным натуральным числам, то мы имеем бесконечно большие конечные блоки:

$ (0, 0 \dots 0, 1 \dots )$ - это соответствует бесконечно удаленной, но конечной степени
$ (1, 1 \dots 1, 1 \dots )$ - $1+2+2^2 \dots$ в сумме они как раз составляют сумму по конечным натуральным числам, что счетно! На этом 2-адические числа не могут кончится, ибо их континуум.

А вот дальше идет блок бесконечных, и вот здесь заключается ключевой момент, качественный скачок от бесконечно больших конечных к бесконечному, что лишний раз подтверждает, что $\infty$ как элемент $\in \mathbb N$. Это следует из того, что 2-адических чисел континуум (и вещественных чисел континуум, между ними имеется точная биекция). Кстати, в первый раз я и столкнулся с этим здесь:

$ (0, 0 \dots 0, 1 )$ - бесконечная единица, которая представляет $\infty$ -ть и соответствует 2-адическому числу $2^{\infty}$.

$\dots$
$\dots$

$ (1, 1, 1 \dots 1, 1)$ - 2-адическое число, равное $1+2+2^2 + \dots + 2^{\infty} = - 1$.

Причем заметим, что в последнем блоке ровно $2^{\infty}$ чисел и начинается этот блок с числа $2^{\infty}$.
То есть в начале мы рассматриваем 2-адичеснкие числа только по конечным степеням, которых счетное число, а дальше идет блок, включающий бесконечную степень, что как раз представляет континуум.
Мы можем положить для примера по конечным числам нулевые слагаемые. Тогда у нас останутся только бесконечные множества, до которых не дотянуться только по конечным числам. Это как раз последний блок бесконечных множеств и соответствующих им 2-адических чисел, начиная с числа $2^{\infty}$.

Также отметим, что количество 2-адических чисел во всех блоках по конечным множествам в сумме совпадает с последним 2-адическим числом в последнем блоке (за исключением числа 0, соответствующего $(0, 0, 0 \dots 0)$)! Если же мы берем блоки только по конечным натуральным числам, то соответственно в сумме мы имеем только по конечным числам $1+2+2^2 + \dots$, что счетно, а равно имеем последнее 2-адическое число, которое оказывается счетным. Но 2-адических чисел континуум! Поэтому очевидно, что с помощью определения суммы лишь по конечным натуральным числам нельзя задать все 2-адические числа, а также нельзя задать все вещественные числа, например, в двоичном представлении, а именно, тогда мы не учитываем числа с бесконечным числом ненулевых знаков после запятой.
Каждое вещественное число в двоичной записи может быть представлено в виде бесконечной суммы $\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i (1/2)^i$, где $a_i = 0$ или 1. Так вот если использовать определение суммы как только по конечным числам, то мы можем таким образом выписать только счетное число вещественных чисел.
Если мы установим чистую биекцию между вещественными числами из полуинтервала $[0, 2)$ в двоичном представлении и 2-адическими числами, и расположим их как и ранее 2-адические числа, понимая в качестве бесконечной суммы номер вещественного числа в множестве, то если мы ограничимся только конечными степенями, то получим только счетное число вещественных чисел.

Выпишем вещественные числа из полуинтервала $[0, 2)$ в виде двоичной записи, выписывая числа порциями так, что у чисел каждой порции последний символ в записи 1-ца и сразу сопоставим им биективно соответствующее 2-адическое число:

$0,0000 - 0$

$1,0000 = 1$ - 2-число - $2^0$

$0,1 = 2^{-1}$ - 2-число – $2^1 = 2$
$1,1 = 2^0 + 2^{-1}$ - 2-число - $2^0 + 2^1= 3 $

и т.д. (где отрицательная степень у вещественного числа просто заменяется на положительную у 2-адического числа)

Количество таких чисел $1+1+2+2^2+…$
Так вот если бесконечную сумму считать только по конечным числам, то мы получим, что не сможем посчитать кол-во вещественных чисел. В сумму не войдут вещественные числа с бесконечным числом 1-ц в двоичном представлении. Ибо до бесконечности мы не дотягиваем. Для того, что бы их посчитать, необходимо добавить слагаемое $2^{(- \infty)} = 1/{2^{\infty}}$. Аналогично обстоит дело и с 2-адическими числами, которые представляются бесконечной суммой. Выписывая 2-адические числа подобным образом и используя определение суммы только по конечным числам, мы получим, что в нее войдут не все 2-адические числа, а только счетное число, не попадут числа с бесконечным числом 1-ц. Но это противоречит, как количеству вещественных чисел, так и количеству 2-адических чисел!
Итак мы обнаруживаем, что в определении как вещественных чисел в двоичном представлении, так и 2-адических чисел, в бесконечной сумме необходимо брать слагаемые не только по конечным степеням, но и слагаемое по бесконечной степени. В противном случае мы получаем, что представляемых чисел счетное число. И это только из-за того, что бесконечная сумма определяется только по конечным степеням. Более широкое определение бесконечной суммы – это когда включается и верхняя граница суммирования. В любом случае, если мы хотим посчитать количество вещественных чисел в двоичном представлении или 2-(адических)чисел, используя бесконечную сумму, мы не можем ограничиться определением бесконечной суммы только по конечным степеням.
Также отметим, что сумма $1+2+2^2 + \dots + 2^{\infty} = - 1$ является предельной в том смысле, что добавление 1-цы обращает ее в ноль.

Заметим также, что любое конечное натуральное число задается суммой конечных степеней двойки единственным(!) образом. А равно верно и обратное, что любая сумма по конечным степеням двойки представляет конечное натуральное число, то есть здесь имеет место чистая биекция. То есть по конечным степеням можно получить только конечные натуральные числа. Так что о каком континууме может идти речь, если сумма рассматривается только по конечным степеням.

Если Вам не понятны такие элементарные вещи, то не знаю.
P. S. Надеюсь, в книге Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза» понятнее написано, и он Вас элементарно убедил.