2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:12 


27/04/18
5
Если матрица $ (\gamma_{jk}) $ соответствует какому-то базису $\Gamma$, то для любой пары индексов $r, s$ существует такой $\varepsilon > 0$, что каждая матрица с элементами
$$\delta_{jk}=\begin{cases}
\gamma_{jk},&\text{если индексы не совпадают с r, s;}\\
\gamma_{jk}+\eta,&\text{если совпадают;}\\
\end{cases}
$$
при $|\eta| < e$, соответствует некоторому базису $\Delta$

Даже не знаю, как подступиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Что значит "матрица соответствует базису"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:27 


27/04/18
5
То что её элементы соответствуют коэффициентам разложения базиса $\Gamma$ по какому-то другому базису $\Delta$
Получается, что каждой базисной системе векторов соответствует какая-то квадратная матрица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А как это свойство связано с определителем матрицы, знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:36 


27/04/18
5
Нет. В учебнике определитель дается далеко после этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
asjdh
Используйте непрерывность (строго положительной!) функции
$$
\left(x_1,\cdots,x_n\right)\mapsto\frac{1}{\sum_ix_i^2}\sum_{i}\left(\sum_j\gamma_{ij}x_j\right)^2...
$$
это же не алгебраическая задача, а аналитическая

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение27.04.2018, 17:32 


27/04/18
5
Почему именно такая функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение28.04.2018, 03:36 


27/04/18
5
Придумал решение, вроде верное :mrgreen:
Вектор, который задаёт $i$-тая строка, обозначим $v_{i}$
индексу $(r,s)$ соответствует какой-то один элемент матрицы системы $\Gamma_{0}$.
Вычеркнем столбец, в котором он лежит, то есть элементы $(.,s)$.
Получается матрица $\Gamma_{1}$, соответствующая системе векторов $\Pi={v_{i}-k_{i}e_{i}}$ Допустим эта система векторов линей-независимая, тогда к элементу с индексом $(r,s)$ в матрице $\Gamma_{0}$ можно прибавить любое число, полученная матрица соответствует какому-то базису.
Допустим $\Pi$ линейно-зависима. Выберем нетривиальную нулевую комбинацию и коэффициенты $\xi_{jk}$ перенесем на исходную систему векторов. Рассмотрим сумму в столбике $(.,s)$ всех домноженных коэффициентов, кроме числа соответствующего $(r,s)$. Обозначим её за $E$.
Возьмём $\varepsilon = |E-\xi_{r,s}k_{r,s}|$. $\varepsilon$ всегда больше нуля, потому что исходная система базисная. Тогда для всех $|\eta|<\varepsilon$ выполняется условие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о базисных матрицах
Сообщение28.04.2018, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
asjdh в сообщении #1308199 писал(а):
Допустим эта система векторов линей-независимая

Если из $n\times n$ матрицы $\Gamma=(\gamma_{ij})$ вычеркнуть любой столбец, то получится линейно-зависимая система векторов-строк: строк $n$ штук, в каждой $n-1$ элементов.

-- Сб апр 28, 2018 10:37:00 --
непонятно, что вы имеете ввиду, когда пишете:
alcoholist в сообщении #1308245 писал(а):
Выберем нетривиальную нулевую комбинацию и коэффициенты $\xi_{jk}$ перенесем на исходную систему векторов


asjdh в сообщении #1308199 писал(а):
Рассмотрим сумму в столбике $(.,s)$

у нас нет коэффициента, соответствующего $s$-му столбцу, мы же его вычеркивали
У вас то один индекс ($k_i$), то два индекса ($k_{rs}$)... непонятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group