Задача о базисных матрицах

[asjdh]

Если матрица $ (\gamma_{jk}) $ соответствует какому-то базису $\Gamma$, то для любой пары индексов $r, s$ существует такой $\varepsilon > 0$, что каждая матрица с элементами

$$\delta_{jk}=\begin{cases} \gamma_{jk},&\text{если индексы не совпадают с r, s;}\\ \gamma_{jk}+\eta,&\text{если совпадают;}\\ \end{cases} $$

при $|\eta| < e$, соответствует некоторому базису $\Delta$

Даже не знаю, как подступиться.

[Xaositect]

Что значит "матрица соответствует базису"?

[asjdh]

То что её элементы соответствуют коэффициентам разложения базиса $\Gamma$ по какому-то другому базису $\Delta$
Получается, что каждой базисной системе векторов соответствует какая-то квадратная матрица.

[Xaositect]

А как это свойство связано с определителем матрицы, знаете?

[asjdh]

Нет. В учебнике определитель дается далеко после этой задачи.

[alcoholist]

asjdh
Используйте непрерывность (строго положительной!) функции

$$ \left(x_1,\cdots,x_n\right)\mapsto\frac{1}{\sum_ix_i^2}\sum_{i}\left(\sum_j\gamma_{ij}x_j\right)^2... $$

это же не алгебраическая задача, а аналитическая

[asjdh]

Почему именно такая функция?

[asjdh]

Придумал решение, вроде верное
Вектор, который задаёт $i$-тая строка, обозначим $v_{i}$
индексу $(r,s)$ соответствует какой-то один элемент матрицы системы $\Gamma_{0}$.
Вычеркнем столбец, в котором он лежит, то есть элементы $(.,s)$.
Получается матрица $\Gamma_{1}$, соответствующая системе векторов $\Pi={v_{i}-k_{i}e_{i}}$ Допустим эта система векторов линей-независимая, тогда к элементу с индексом $(r,s)$ в матрице $\Gamma_{0}$ можно прибавить любое число, полученная матрица соответствует какому-то базису.
Допустим $\Pi$ линейно-зависима. Выберем нетривиальную нулевую комбинацию и коэффициенты $\xi_{jk}$ перенесем на исходную систему векторов. Рассмотрим сумму в столбике $(.,s)$ всех домноженных коэффициентов, кроме числа соответствующего $(r,s)$. Обозначим её за $E$.
Возьмём $\varepsilon = |E-\xi_{r,s}k_{r,s}|$. $\varepsilon$ всегда больше нуля, потому что исходная система базисная. Тогда для всех $|\eta|<\varepsilon$ выполняется условие задачи.

[alcoholist]

asjdh в сообщении #1308199 писал(а):

Допустим эта система векторов линей-независимая

Если из $n\times n$ матрицы $\Gamma=(\gamma_{ij})$ вычеркнуть любой столбец, то получится линейно-зависимая система векторов-строк: строк $n$ штук, в каждой $n-1$ элементов.

-- Сб апр 28, 2018 10:37:00 --
непонятно, что вы имеете ввиду, когда пишете:

alcoholist в сообщении #1308245 писал(а):

Выберем нетривиальную нулевую комбинацию и коэффициенты $\xi_{jk}$ перенесем на исходную систему векторов

asjdh в сообщении #1308199 писал(а):

Рассмотрим сумму в столбике $(.,s)$

у нас нет коэффициента, соответствующего $s$-му столбцу, мы же его вычеркивали
У вас то один индекс ($k_i$), то два индекса ($k_{rs}$)... непонятно