Определить интервал сходимости

[Key27]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}=\frac{1}{\sqrt[3]{n+2}} \left( \frac{x-1}{3} \right)^n$

$x_0=1$
Находим предел ряда по формуле Деламбера
$a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n+2}}$

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$
тогда $R=(0;2)$
Проверяем сходимость на концах интервала
при $x=2$
расходится(можно сравнить с гармоническим)

при $x=0$
$\frac{1}{\sqrt[3]{n+2}} \left( \frac{-1}{3} \right)^n$
расходится

[gris]

1. Ряд на левом конце Вашего интервала не расходится.
2. Ряд на правом конце Вашего интервала не расходится.
3. Интервал определён неправильно.
А всё потому, что Деламбера не было и нет.

[Metford]

Key27
Вы перепутали признак сходимости с формулой для радиуса сходимости (которая Коши-Адамара) (!). И к тому же с общим членом ряда повнимательнее бы нужно.
А "предел ряда" - это вообще непонятно.

[Dan B-Yallay]

Рассмотрите ряд без сомножилеля с корнем в знаменателе.

[Key27]

Общий член ряда $(x-1)^n$
Радиус сходимости определяется формулой $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ в моем случае получается равен 3, тогда интервал $(-2;4)$

[Dan B-Yallay]

Key27 в сообщении #1308031 писал(а):

Общий член ряда $(x-1)^n$

Тройку в знаменателе забыли. Тем не менее, интервал сходимости нашли верно. Границы проверьте.

А теперь, посмотрите, насколько влияет на сходимость исходного ряда тот сомножитель, который временно был опущен.

[Key27]

Dan B-Yallay в сообщении #1308035 писал(а):

А теперь, посмотрите, насколько влияет на сходимость исходного ряда тот сомножитель, который временно был опущен.

Он вроде как расходится

[alcoholist]

Key27 в сообщении #1308071 писал(а):

Он вроде как расходится

сомножитель не может расходиться

[thething]

Key27 в сообщении #1308031 писал(а):

Общий член ряда $(x-1)^n$

Общий член ряда -- это всё, что стоит под знаком суммы, а не только иксы

В граничных точках интервала применяйте известные Вам признаки сходимости, а не говорите просто "расходится". Тем более что у Вас в одной из границ будет всё-таки сходимость.

[Dan B-Yallay]

thething в сообщении #1308202 писал(а):

Общий член ряда -- это всё, что стоит под знаком суммы, а не только иксы

Мне кажется, ТС отвечал на мой совет отбросить первый сомножитель в общем члене ряда.

[thething]

Dan B-Yallay
Да, я это предположил но он всё-равно неправильно сказал, вот я и попытался дать ему определение "на все случаи жизни"