Фейнман о экстремуме функции

[provincialka]

Ну, на уровне вариационного исчисления может сложно... Посмотрите на аналогию в поведении функций.
Например, $f(x)=x^2$ имеет минимум в $0$. Ее значение в этой точке равно также $0$. А функция $g(x)=x^2+x$ в нуле минимума не имеет. Попробуем изменять $x$:

$$ \begin{array}{ccc} x &f(x)&g(x) \\ 1 &1& 2\\ 0.1 &0.01& 0.11\\ 0.01 &0.0001& 0.0101\\ \end{array} $$

Как видите, значения $g(x)$ малы при малых $x$, но не настолько малы, как значения $f(x)$. В нулевом приближении обе функции маленькие в $0$, но ясно, что $f(x)$ гораздо меньше. То есть равна $0$ в первом приближении.

[misha.physics]

provincialka, спасибо! В этом что-то есть. И что-то очень важное.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1307546 писал(а):

Получается как-бы, что о 1-м приближении говорят для того, чтобы подчеркнуть, что у нас существует производная?

Нет, что мы знаем производную, и используем её в своём приближении.

misha.physics в сообщении #1307546 писал(а):

Но если мы возьмем например квадратическую параболу, то у нее в каждой точке сущесвует произвдная (я понимаю, что есть не такие уж хорошие функции, но та, которая у Фейнмана - явно хорошая :D ). Но только в её вершине (минимуме) касательная горизонтальна.

Ну да.

У вас в голове мешаются два факта, вам их надо как-то выстроить в иерархию.

1 факт - что такое вообще "приближения степенными функциями" (формула Тейлора, я приводил с остаточным членом Пеано).
2 факт - что происходит с функцией и приближениями в экстремуме. То есть, более частная ситуация в рамках "1".

misha.physics в сообщении #1307577 писал(а):

А сейчас вернусь к главному вопросу. Есть утверджение:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в первом приближении время прохождения практически одинаковое.

Напишем ещё так:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в нулевом приближении время прохождения практически одинаковое.

И так:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ во втором приближении время прохождения практически одинаковое.

Почему было сказано именно первое. Это ведь неспроста?

Да, неспроста. Третий вариант сказать вообще было нельзя: во втором приближении время прохождения разное.

Почему Фейнман сказал про первое приближение? Потому что он дальше это использует в своих рассуждениях и выкладках. Приведите более широкий контекст, и вы сами это увидите.

В физических и математических текстах иногда складывается впечатление, что автор "заранее знает, что выбрать" для дальнейшего повествования. Ну так да, знает. Но исторически сначала людям понадобилось некоторое приближение, чтобы разобраться, а потом они выяснили, что нужно именно первое, и только после этого можно стало написать (задом наперёд) такой связный рассказ.

misha.physics в сообщении #1307577 писал(а):

Везде говорится о точности 1-го порядка. Почему именно 1-го?

Вы понимаете смысл обозначения $o(\Delta x^1)$?
Если нет, то откройте Википедию, и прочитаете там

$$R_1(\Delta x)=o(\Delta x^1)\quad\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\quad\forall\,C\in(0,+\infty)\quad\exists\,\varepsilon\in(0,+\infty)\quad\forall\,\Delta x,0<|x|<\varepsilon\quad |R_1(\Delta x)| < C|\Delta x^1|$$

Если вы в этом разберётесь, и перечитаете всё то, что было написано вам раньше в этой теме с обозначением $o(\Delta x^1),$ то вы поймёте, почему это обозначение говорит именно об этой точности.

provincialka в сообщении #1307583 писал(а):

Ведь слова "в первом приближении" можно считать не строго математическими, просто фигура речи..

Можно, но не нужно. Здесь это не просто фигура речи.

misha.physics в сообщении #1307586 писал(а):

Может быть вам будет интересно прочитать об этом у самого Фейнмана.

Может быть, вам самому стоит почитать Фейнмана чуть дальше той точки, на которой вы споткнулись.

[misha.physics]

Munin,

Цитата:

...то вы поймёте, почему это обозначение говорит именно об этой точности.

Да само обзоначение $o(\Delta x^1)$ понятно. Оно говорит о "точности первого порядка". Это значит, что то слагаемое, которое стоит перед $o(\Delta x^1)$ есть меньше чем $\Delta x^1$. Это как меньший порядок малости.

Цитата:

Может быть, вам самому стоит почитать Фейнмана чуть дальше той точки, на которой вы споткнулись.

Да, наверное. Я только 3-й параграф до конца дочитал.

Цитата:

1 факт - что такое вообще "приближения степенными функциями" (формула Тейлора, я приводил с остаточным членом Пеано).

Здесь уже была речь о представлении $y=\cos x$ рядом.
Я понимаю, что:
$P_0=1$
$P_1=1-\frac{x^2}{2}$...
Я вижу как с каждым приближением графики этих полиномов стают больше похожими на график косинуса. И как формируется его "волновой" характер.

Цитата:

Нет, что мы знаем производную, и используем её в своём приближении.

А зачем нам использовать производную в своём приближении?

Я бы уже наверное разобрался со своим главный вопросом, если бы понял почему речь шла именно о первом приближении

[provincialka]

misha.physics в сообщении #1307646 писал(а):

что то слагаемое, которое стоит перед $o(\Delta x^1)$ есть меньше чем $\Delta x^1$

Нет, не меньше, не обязательно меньше. Скорее сравнимо с $\Delta x^1$, хотя может и быть равным 0.
А вот сам остаток $o(\Delta x^1)$ -- "меньше" чем $\Delta x^1$, если правильно понимать, что значит в этом случае "меньше".

[misha.physics]

provincialka в сообщении #1307649 писал(а):

misha.physics в сообщении #1307646 писал(а):

что то слагаемое, которое стоит перед $o(\Delta x^1)$ есть меньше чем $\Delta x^1$

Нет, не меньше, не обязательно меньше. Скорее сравнимо с $\Delta x^1$, хотя может и быть равным 0.
А вот сам остаток $o(\Delta x^1)$ -- "меньше" чем $\Delta x^1$, если правильно понимать, что значит в этом случае "меньше".

Ой, да-да, простите. Я думал так, но написал все наоборот почему-то
Я хотел сказать, что $o(\Delta x^1)$ имеет порядок малости больше чем само $\Delta x^1$.

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1306689 писал(а):

Здравствуйте. Хотел бы разъяснить для себя маленький вопрос и понять, правильно ли я понял, что имел ввиду Фейнман в 3-м томе ФЛФ, объясняя принцип найменьшего времени.

Если вместо того чтоб изучать математику по учебнику физики, вы ознакомитесь с вариационным счислением по 4 тому курса математики Смирнова или по учебнику Гельфанда Фомина, то весьма вероятно, что вы будете понимать принцип наименьшего действия лучше чем мистер Фейман

[misha.physics]

pogulyat_vyshel, спасибо. Да, вы правы. Нужно читать и разбираться.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1307890 писал(а):

то весьма вероятно, что вы будете понимать принцип наименьшего действия лучше чем мистер Фейман

Не-а.

Лучше Фейнмана - это далеко не уровень, простигосподи, Смирнова.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1307890 писал(а):

Если вместо того чтоб изучать математику по учебнику физики, вы ознакомитесь с вариационным счислением по 4 тому курса математики Смирнова или по учебнику Гельфанда Фомина, то весьма вероятно, что вы будете понимать принцип наименьшего действия лучше чем мистер Фейман

Munin в сообщении #1307939 писал(а):

Лучше Фейнмана - это далеко не уровень, простигосподи, Смирнова.

Следует различать принцип наименьшего действия, как часть физики (написание лагранжиана или гамильтониана--это физика, и на это учебник В.И.Смирнова не претендует), и вариационное исчисление, как часть математики, и на это учебник Р. Фейнмана не претендует.
И прости господи тех, кто пытается противопоставлять их.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1307953 писал(а):

Следует различать принцип наименьшего действия, как часть физики (написание лагранжиана или гамильтониана--это физика, и на это учебник В.И.Смирнова не претендует), и вариационное исчисление, как часть математики, и на это учебник Р. Фейнмана не претендует.
И прости господи тех, кто пытается противопоставлять их.

Написание лагранжиана это еще не принцип наименьшего действия. Следует различать математическую теорию и ее приложения к физике. Прежде чем читать про вариационные методы в физике их надо освоить в математике иначе результат будет нулевым. И физики сколько угодно могут рассказывать, что это они придумали вариационные методы. Да они их придумали, но они их не знают. А если какой физик думает что знает, то у меня есть протрезвляющее средство https://dxdy.ru/topic123579.html

[Munin]

Red_Herring
Следует различать. Полностью согласен.

pogulyat_vyshel в сообщении #1307964 писал(а):

Прежде чем читать про вариационные методы в физике их надо освоить в математике иначе результат будет нулевым.

К сожалению, курсы физики и математики в этом плане никогда не построены "как надо". И результат всё-таки ненулевой.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #871017 писал(а):

Чтобы не быть голословным.

Алгебра числовых величин. В физике в 7 классе - в математике 7 класс.
Алгебра векторов (сложение, скалярное произведение). В физике в 7 классе - в математике 8 класс - 1 год.
Интегрирование плотности (скаляра) по объёму. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Интегрирование давления (вектора) по поверхности. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Дифференцирование скалярной функции по времени (по 1 переменной). В физике в 7 классе - в математике 10 класс - 3 года.
Алгебра векторов (векторное произведение - 2-формы). В физике в 7 классе - в математике 1 курс - 5 лет.
Центр тяжести - интегрирование вектора по объёму. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Экстремумы функций (хотя бы 1 переменной). В физике в 7 классе - в математике 10 класс - 3 года.

Теория вероятностей, случайный процесс, усреднение. В физике в 8 классе - в математике 3 курс - 6 лет.
Интегрирование скалярной функции по 1 переменной (по температуре). В физике в 8 классе - в математике 11 класс - 3 года.
Векторные поля. Линии поля. Бездивергентные поля. В физике в 8 классе - в математике 2 курс - 5 лет.
Сферическая геометрия: угловые размеры и площади. В физике в 8 классе - в математике 2 курс - 5 лет.
Тригонометрия (закон преломления). В физике в 8 классе - в математике 8 класс.
Эволюта (фокусы и каустики в оптике). В физике в 8 классе - в математике 1 курс - 4 года.

Координаты векторов. В физике в 9 классе - в математике 8-9-10 класс (по разным курсам).
Функции 1 переменной: вторая производная, анализ по графикам, векторные функции. В физике в 9 классе - в математике 11 класс - 2 года.
Замены переменных (относительность движения). В физике в 9 классе - в математике 1 курс - 3 года.
Дифференциальные уравнения (для векторов!). В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Разные задачи для дифференциальных уравнений, свойства решений. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Дифференциальные уравнения в частных производных. В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Спектр Фурье функции 1 переменной. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Интерференция волн (свойства решений ДУЧП). В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Векторные поля. Линии поля. Гармонические (Laplacian) поля. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Интегрирование вектора по линии. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Теорема Стокса. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Нелинейные преобразования сигналов (интегро-дифференциальные). В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Дисперсия волн. В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.

Группы (симметрия). В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Линейные преобразования координат. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Потенциальное векторное поле и его потенциал. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.
Эллипс. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Статистические распределения. В физике в 10 классе - в математике 3 курс - 4 года.
Частные производные. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Минимальные поверхности. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.
Типы кристаллических решёток, кристаллографические плоскости. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Экстремумы функций нескольких переменных. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Граничные условия векторных полей. Условия Дирихле. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.

Комплексные числа. В физике в 11 классе - в математике 10 класс / 1 курс.
Степенные асимптотики на бесконечности. В физике в 11 классе - в математике 2 курс - 2 года.
Принцип Гюйгенса (функция Грина в ДУЧП). В физике в 11 классе - в математике 3 курс - 3 года.
Собственные колебания (в ДУЧП). В физике в 11 классе - в математике 3 курс - 3 года.

[im g]http://s9.postimg.org/a1sp3k7gf/mph.png[/img]

Это только за школьный курс. За вузовский я даже не берусь, прежде всего потому, что нужную математику часто вообще не преподают тем нематематикам (физикам, инженерам), которым она нужна в курсах физики.

Цифры примерные, но взяты по популярным учебникам и программам, и не сильно колеблются в зависимости от конкретных программ.

(Честно говоря, пока я не проделал эту подборку, я не думал, что настолько всё плохо.)

pogulyat_vyshel в сообщении #1307964 писал(а):

И физики сколько угодно могут рассказывать, что это они придумали вариационные методы.

Вот уж на это физики никогда не претендовали. Если не говорить про Эйлера и Гюйгенса, которых трудно отнести однозначно к физикам или математикам, в ту эпоху они работали в обеих областях.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1307964 писал(а):

Написание лагранжиана это еще не принцип наименьшего действия. Следует различать математическую теорию и ее приложения к физике. Прежде чем читать про вариационные методы в физике их надо освоить в математике иначе результат будет нулевым. И физики сколько угодно могут рассказывать, что это они придумали вариационные методы. ... А если какой физик думает что знает, то у меня есть протрезвляющее средство https://dxdy.ru/topic123579.html

На самом деле в физике принцип наименьшего действия серьезно работает (локально) только для задач ОДУ, а реально там принцип стационарного действия, т.е. физики вообще пишут только вариации и не заботятся, попали они на минимум или седло или бог знает что. Если Лагранжиан для волнового уравнения $\int \bigl(u_t^2-c^2|\nabla u|^2\bigr)\,dx$, а для Шредингера вообще $\int \bigl(\operatorname{Im}(\psi_t\psi^\dag) - |\nabla \psi|^2 -V(x)|\psi|^2\bigr)\,dx$, то ни о каком минимуме говорить не приходится.

А уж об экстремумах с односторонними ограничениями (которые также важны в приложениях) физики вообще знают немного....

Но Ваш пример это уже не ПНД, и даже не вариационное исчисление, а теория гамильтоновых систем ...

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1307995 писал(а):

На самом деле в физике принцип наименьшего действия серьезно работает (локально) т

на самом деле "принцип наименьшего действия" это просто дань традиции, только название, и все (кто вообще что-нибудь понимает) понимает и это, ну в смысле то, что вы там дальше пишите. меня приучали говорить "принцип стационарного действия Гамильтона" , но увы, безуспешно т.к. моей первой книжкой был Савельев :)

-- 27.04.2018, 18:28 --

Red_Herring в сообщении #1307995 писал(а):

Но Ваш пример это уже не ПНД, и даже не вариационное исчисление, а теория гамильтоновых систем .

теорема доказывается вариационными методами

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1307998 писал(а):

теорема доказывается вариационными методами

Ну вариационными методами много чего доказывается ... напримет в УЧП